1、2.1函数 第一课时(教学设计)一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解构成函数的基本要素，理解并掌握函数的概念，熟悉用“区间”、“无穷大”等符号表示取值范围，在数学抽象、数学建模中体会对应关系在刻画函数概念中的作用（二）学习目标1通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型2学习用集合语言和对应关系刻画函数，并明确函数的基本要素，掌握判别两个函数是否相同的方法3会求一些简单函数的定义域，并能正确使用“区间”表示（三）学习重点1体会函数的重要模型化思想，了解构成函数的要素并理解函数的概念2会求一些简单函数的定义域，并能正确使用“区间”表示（四）学习难点1体会并理解函数概
2、念中的“任意性”和“唯一性” 2符号“y=f(x)”的含义二、教学设计（一）课前设计1预习任务（1）读一读：阅读教材第15页至第18页，填空：设是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（2）写一写：区间(设ab)定义名称区间数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|axb半开半闭区间(a，bx|xa半开半闭区间a，)x|xa开区间(a，)x|xa半开半
3、闭区间(，ax|xa开区间(，a)2预习自测(1)与的区别与联系？答：表示当时函数的值，是一个常量，而是自变量的函数，在一般情况下，它是一个变量；是的一个特殊值(2)通过学习函数的概念，你觉得函数的基本要素有哪些？定义两个函数是否相等时，是否需要函数的几个基本要素必须都相同？答：基本要素有定义域、对应关系、值域。在判定两个函数是否为同一函数时，只需判定两个函数的定义域和对应关系是否分别相同即可这是因为只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，它们的值域就一定相同(3)用区间表示下列集合_；_；函数的定义域是_。答案：； (二)课堂设计1知识回顾初中函数定义：在一个变化的过程中，有两个变量和，如果
4、给定了一个值，相应地_就确定了唯一的值与之对应_，那么我们称的函数，其中是自变量，是因变量_2问题探究探究一引出新知活动整合旧知，感受学习新知的必要性。问题：研究下面三个实例：A. 一枚炮弹发射后，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度（米）与时间t（秒）的变化规律是.B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.年份19911992199319941995恩格尔系数%53.852.95
5、0.149.949.9讨论：以上三个实例中存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间是否有主动和被动关系?利用初中函数的概念能否判断他们是否为函数？【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，以三种不同形式的变量间关系让学生体会初中函数概念的局限性（），从而需要从新的高度来认识函数。活动抽象函数概念分析以上三个实例，结合之前所学的集合知识，能否试着将这种变量间的对应关系用集合的语言描述出来？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，函数概念：设是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯
6、一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做定义域（domain），与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）【设计意图】体会概念的提炼、抽象过程探究二辨析新知活动明确定义域、值域概念抢答：下列对应是否为函数，若是函数，说出定义域与值域【答案】是函数，一对一的函数，定义域A1，2，3，值域C4，5，6B；是函数，一对一的函数，定义域A1，2，3，值域C4，5，6 B4，5，6，7；是函数，多对一的函数，定义域A1，2，3，值域C4，6 B4，5，6，；不是函数，因为不满足对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定
7、的数和它对应，也就是说，一对多的不是函数显然，值域是集合B的子集。注意：(1)“A、B”是非空的数集，一方面强调了A、B只能是数集，即A、B中的元素只能是实数；另一方面指出来定义域、值域都不能是空集，也就是说，定义域为空集的函数是不存在的(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性(3)定义域、值域的结果应该写成集合形式【设计意图】通过简单例子，加深对定义域，值域的理解活动正确理解函数符号如图，自变量相当于是原材料，对应关系是加工器，而函数值则是产品。故定义域、对应关系、值域是函数的三个基本要素。显然原材料和加工器确定了，产品也就会相应的确定下来，所以三个基本要素中若定义域和对应关系相
8、同，则值域一定相同，这也是判断两个函数是否相等的重要依据注意：(1)“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”都可以； (2) 函数符号“”中的表示与对应的函数值，是一个数，而不是乘.如一次函数，对应关系的含义就是“乘2减1”，故【设计意图】通过“加工器”形象比喻，帮助学生正确理解抽象函数符号 活动抢答：是函数吗？为什么？如果是，说说其定义域、对应关系、值域【设计意图】进一步体会高中函数定义的合理性，进一步加深对函数概念的理解。探究三实例分析与课堂巩固活动巩固基础检查反馈例1.判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数？ABN*，f：xy|x3|；AR，B0，1，f：xy ABR，f：xy；A
9、Z，BQ，f：xy；【知识点】函数的概念及其构成要素【数学思想】【解题过程】利用函数的概念进行判断【思路点拨】注意非空数集、任意性、存在性、唯一性等要求【答案】对于A中的元素3，在f作用下得0，但0B，即3在B中没有元素与之对应，所以不是函数对于A中任意一个非负数都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数都有唯一元素0与之对应，所以是函数集合A中的负数，在B中没有元素与之对应，故不是函数集合A中的元素0在B中没有元素和它对应，故不是函数集合A不是非空数集，故不是函数同类训练1.下图中，能表示函数yf(x)的图像的是()【知识点】函数的概念及其构成要素.【数学思想】【解题过程】对于A，B两图，
10、可以找到一个x与两个y对应的情形；对于C图，当x0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应因此，D图可以表示函数yf(x)。【思路点拨】注意非空数集、任意性、存在性、唯一性等要求【答案】D例2下列各组函数是否表示同一个函数？(1)f(x)x，g(x)()2；(2)f(x)x，g(x)()3；(3)f(n)2n1，(nZ)，g(n)2n1(nZ)；(4)f(x)x22x1，g(t)t22t1.【知识点】判断两个函数是否为同一函数.【数学思想】【解题过程】(1)定义域不同，不是同一函数(2)是同一函数(3)虽然f(n)与g(n)的定义域及值域均相同，但对应法则不同，不是同一函数(4)
11、尽管表示自变量和对应法则的字母分别不相同，但它们的实质相同，因此是相同的函数【思路点拨】只有当两个函数的定义域、值域，对应法则都相同时，两个函数才表示同一函数，但由于值域是由定义域和对应法则确定的，所以只要定义域及对应法则相同，两函数即表示同一函数【答案】(2)(4)表示同一函数同类训练2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )Af(x)|x|，g(x)Bf(x)，g(x)()2Cf(x)，g(x)x1Df(x)，g(x)【知识点】判断两个函数是否为同一函数.【数学思想】【解析过程】A项，中，g(x)|x|，f(x)g(x)B项中，f(x)|x|，g(x)x(x0)，两函数的定义域不同C项中，
12、f(x)x1 (x1)，g(x)x1，两函数的定义域不同D项中，f(x)(x10且x10)，f(x)的定义域为x|x1；g(x)(x210)，g(x)的定义域为x|x1或x1两函数的定义域不同故选A项【思路点拨】只有当两个函数的定义域、值域，对应法则都相同时，两个函数才表示同一函数，但由于值域是由定义域和对应法则确定的，所以只要定义域及对应法则相同，两函数即表示同一函数【答案】A活动强化提升、灵活应用例3.已知函数f(x)3x22x求f(2)，f(a)，f(a1)，f(2x)的值【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】f(2)3(2)22(2)8，f(a)3a22a3a22a，f(a
13、1)3(a1)22(a1)3(a22a1)2(a1)3a28a+5f(2x)3(2x)22(2x)12x2+4x【思路点拨】回到定义中去！弄清对应关系的含义，即如何将原材料进行加工？就是将原材料平方的3倍加上原材料的2倍。本例中是常数是函数值；而是函数表达式。【答案】略同类训练3.已知，求【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】【思路点拨】回到定义中去！弄清对应关系的含义。【答案】略活动自主探究举一反三例4.设函数，其中集合求可构成多少个函数？【知识点】函数的概念.【解题过程】A集合任一元素在B集合中对应的函数值都有4种可能，故个。【思路点拨】注意满足任意性和唯一性。【答案】64同类
14、训练4. 设函数，其中集合，求可构成多少个函数？【知识点】函数的概念.【数学思想】【解题过程】A集合任一元素在B集合中对应的函数值都有n种可能，故有nm个【思路点拨】注意满足任意性和唯一性【答案】nm3. 课堂总结知识梳理（1）函数的概念：设是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做定义域（domain），与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）（2）函数的三要素：定义域、对应关系、值域。如果两个函数的定义域和对应关系相同则值域一定相同
15、（3）能正确使用“区间”表示取值范围重难点归纳（1）正确理解函数概念中的“任意性”和“唯一性”，定义域就是非空数集中的，而值域则是集合的子集（2）符号“y=f(x)”的含义，对所进行的计算相当于加工器对原材料进行加工，对应关系不变的情况下，其运算过程也就是加工过程不变（三）课后作业基础型自主突破1下列式子中不能表示函数yf(x)的是()Ax B3x2y1 Cx2y21 Dx【知识点】函数的概念【数学思想】【解题过程】易知ABD是可以表示函数的【思路点拨】利用任意性，唯一性辨析【答案】C2已知f(x)(xR)，则f(2)等于()A2BC.D不确定【知识点】函数的对应法则【数学思想】【解题过程】因
16、为2R，所以f(2).【思路点拨】辨析常数函数【答案】B解析3.下列函数f(x)和g(x)中，表示同一函数的是()Ayf(x)与yf(x1)Byf(x)，xR与yf(t)，tRCf(x)x2，g(x)Df(x)2x1与g(x)【知识点】判断两个函数是否为同一函数.【数学思想】【解题过程】判断定义域和对应关系【思路点拨】只要定义域和对应关系相同，值域则一定相同【答案】B4设函数f(x)3x21，则f(a)f(a)的值是()A0B3a21C6a22 D6a2【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】f(a)f(a)3a213(a)210.【思路点拨】正确运算，注意符号。【答案】A5设f(x
17、)，则f()是()Af(x) Bf(x)C.D.【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】f()f(x)【思路点拨】正确理解的含义，注意运算。【答案】A6将下列集合用区间表示出来(1)x|x1_；(2)x|2x8_；(3)y|y_【知识点】区间与无穷的概念.【数学思想】【解题过程】逐一改写。【思路点拨】注意区间两端的开，闭。【答案】(1)1，)(2)2，8 (3)(，0)(0，)能力型师生共研7函数yf(x)的图像如图所示，那么f(x)的定义域是_；其中只与x的一个值对应的y值的范围是_【知识点】函数的定义域及其值域.【数学思想】【解题过程】观察函数图像可知f(x)的定义域是3，02，
18、3；只与x的一个值对应的y值的范围是1，2)(4，5【思路点拨】根据定义仔细辨图识图。【答案】 3，02，3；1，2)(4，58已知ABR，xA，yB对任意xA，xyaxb是从A到B的函数，若输出值1和8分别对应的输入值为3和10，求输入值5对应的输出值【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】由题意可得解得所以对应关系f：xyx2，故输入值5对应的输出值为3.【思路点拨】正确运算，正确理解对应关系的含义【答案】3探究型多维突破9.函数满足，则这样的函数个数共有（ ） A.1个 B.4个 C.8个 D.10个【知识点】函数的概念.【数学思想】【解题过程】f(1)=f(2)=f(3)=1
19、或2或3，共3个；f(1)=1，f(2)=f(3)=2或3，共2个；f(2)=2，f(1)=f(3)=1或3，共2个；f(3)=3，f(2)=f(1)=2或1，共2个；f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，共1个；【思路点拨】注意满足任意性和唯一性【答案】D10已知f(x)，求f(2)f(3)f(2018)f()f()f()【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】f(x)f()1，则原式2017.【思路点拨】仔细观察，寻求规律【答案】2 017自助餐1下列四种说法中，不正确的一个是()A在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B函数的定义域和值域一定是无限集合C定
20、义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素【知识点】函数的概念【数学思想】【解题过程】易知ACD是正确的【思路点拨】利用概念以及三要素辨析【答案】B2已知Px|0x4，Qy|0y2，下列对应不表示从P到Q的函数的是()Af：xyBf：xyCf：xyDf：xy【知识点】函数的概念【数学思想】【解题过程】ABD都满足函数概念，而C选项中f(4)=6在集合Q中没有元素与之对应.【思路点拨】利用任意性，唯一性辨析【答案】C3若函数f(x)的定义域为2，3，则yf(x)的图像与直线x2的交点个数为()A0 B1C2 D不确定【知识点】函数的概念【数学思想】【解题过程】易知ACD是错误的【思路点拨】利用唯一性辨析【答案】B4四个函数：yx1；yx3；yx21；y.其中定义域相同的函数有()A和 B和C和 D和【知识点】函数的定义域【数学思想】【解题过程】略【思路点拨】注意的限制条件【答案】A5.若函数满足且则=_。【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】令求出；令求出；再令求出【思路点拨】赋值法【答案】6已知函数g(x)，(1)点(3，14)在函数的图像上吗？(2)当x4时，求g(x)的值；(3)当g(x)2时，求x的值【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】略【思路点拨】正确运算【答案】(1)不在(2)3(3)14