1、第二节 空间图形的基本关系与公理【教材知识精梳理】1.平面的基本性质 公理1:过_的三点,有且只有一个平面.作用:可用来确定一个平面;证明点线共面.不在一条直线上 公理2:如果一条直线上的_在一个平面内,那么这 条直线在此平面内.作用:可用来证明点、直线在平面内.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它 们_过该点的公共直线.两点 有且只有一条 作用:可用来确定两个平面的交线;判断或证明多点共线;判断或证明多线共点.公理4:平行于同一条直线的两条直线_.作用:可用来判断空间两条直线平行.平行 2.空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类:相交 平行 任何一个平面(2)异面直线所成的角:
2、定义:过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的 平行线l1,l2(al1,bl2),这两条相交直线所成的_ _就是异面直线a,b所成的角.范围:_.锐角(或直角)(0,2(3)定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这 两个角_.相等或互补 3.空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相 交 _ _个 平 行 _ _个 在 平 面 内 _ _个 a=A 1 a 0 a 无数 图形语言 符号语言 公共点 平面与平面 平 行 _ _个 相 交 _个 0 =l无数【教材拓展微思考】1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗?提示:不一定.因为
3、异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行.2.空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角一定相等吗?提示:不一定.如果这两个角开口方向一致,则它们相等,若反向则互补.【教材母题巧变式】题号 1 2 3 4 源自 P27例2 P26T3 P27T2 P30例2 1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是 AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 ()A.30 B.45 C.60 D.90【解析】选C.如图,连接B1D1,D1C,则B1D1EF,故D1B1C(或其补角)为所求,又B1D1=B1C=D1C,所以D1B1C=60.
4、2.过已知平面外的一点可以作_条直线与已知平面平行.【解析】根据直线与平面平行的定义知,可以作无数条直线与已知平面平行.答案:无数 3.给出下列命题:经过三点确定一个平面;梯形可以确定一个平面;两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.其中真命题的序号是_.【解析】对于,未强调三点不共线,故为假命题;易知是真命题;对于,三条直线两两相交,如空间直角坐标系,能确定三个平面,故是真命题.答案:4.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E,F分别为侧棱PC,PB的中点,则EF与平面PAD的位置关系为_,平面AEF与平面ABCD的交线是_.【解析】由题易知EFBC,BCAD,所以EFAD,故
5、EF平面PAD,因为EFAD,所以E,F,A,D四点共面,所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线.答案:平行 AD 考向一 平面的基本性质 夯基练透【技法点拨】共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题,一般有两种途径:首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.(2)证明点共线问题,一般有两种途径:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些点都在同一条特定的直线上.(3)证明线共点问题,常用的方法是先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.【基础保分题组】1.如
6、图所示,平面 平面=l,A,B,ABl=D,C,Cl,则平面ABC与平面 的交线是()A.直线AC B.直线AB C.直线CD D.直线BC【解析】选C.由题意知,Dl,l ,所以D,又因为DAB,所以D平面ABC,所以点D在平面ABC与平面的交线上.又因为C平面ABC,C,所以点C在平面与平面ABC的交线上,所以平面ABC平面=CD.2.如图,在四边形ABCD中,已知ABCD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面 相交于点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点必定共线.【证明】因为ABCD,所以AB,CD确定一个平面.又因为AB=E,AB ,所以E,E,即E为平面与的一个公共点.同理可证F
7、,G,H均为平面与的公共点,因为两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,所以E,F,G,H四点必定共线.【拓展提升高考模拟预测】3.(2017大连模拟)给出下列四个命题:平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;若平面 内的一条直线a与平面 内的一条直线b相交,则 与 相交;若一条直线和两条平行线都相交,则这三条直线共面;若三条直线两两相交,则这三条直线共面.其中真命题的序号是_.【解析】正确,因为直线在平面外即直线与平面相 交或直线平行于平面,所以最多有一个公共点.正 确,a,b有交点,则两平面有公共点,则两平面相交.正 确,两平行直线可确定一个平面,又直线与两平行直线 的
8、两交点在这两平行直线上,所以过这两交点的直线也 在平面内,即三线共面.错误,这三条直线可以交于同 一点,但不在同一平面内.答案:4.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证:世纪金榜导学号99972219(1)E,C,D1,F四点共面.(2)CE,D1F,DA三线共点.【证明】(1)如图,连接CD1,EF,A1B,因为E,F分别是AB和AA1的中点,所以EFA1B且EF=A1B.又因为A1D1BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1,所以EFCD1,即EF与CD1确定一个平面.且E,F,C,D1,即E,C,D1,F四
9、点共面.12(2)由(1)知,EFCD1,且EF=CD1,所以四边形CD1FE是梯形.所以CE与D1F必相交,设交点为P,如图,则PCE 平面ABCD,且PD1F 平面A1ADD1.又因为平面ABCD平面A1ADD1=AD,所以PAD,所以CE,D1F,DA三线共点.125.(2017郑州模拟)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是 梯形,BC AD,BE FA,G,H分别为FA,FD的中点.世纪金榜导学号99972220 1212(1)证明:四边形BCHG是平行四边形.(2)C,D,F,E四点是否共面?【解析】(1)因为FG=GA,FH=HD,所以GH AD,又因为BC AD,所以GH BC
10、,所以四边形BCHG是平行四边形.1212(2)方法一:由BE AF,G为FA中点知BE GF,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EFBG,由(1)知BGCH,所以EFCH,所以EF与CH共面.又DFH,所以C,D,F,E四点共面.12方法二:延长FE,DC分别与AB交于点M,M.因为BE AF,所以B为MA的中点.因为BC AD,所以B为MA的中点.所以M与M重合,即FE与DC交于点M(M),所以C,D,F,E四点共面.1212【加固训练】如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K,求证:M,N,K三点共线
11、.【证明】因为MPQ,直线PQ 平面PQR,MBC,直线 BC 平面BCD,所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线上.同理可证N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上,又如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,所以M,N,K三点共线.考向二 异面直线所成的角 提能互动【典例】(1)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()1234A.B.C.D.5555(2)(2016浙江高考)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,A
12、D=,ADC=90.沿直线AC将ACD翻折成ACD,直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_.世纪金榜导学号99972221 5【解题指南】(1)连接BC1,先利用AD1BC1找出所求的角,再利用余弦定理求解.(2)借助余弦定理及三角函数的有界性解答.【规范解答】(1)选D.连接BC1,则A1BC1即为异面直线 A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,则A1C1=,A1B=BC1=,故cosA1BC1=255 5 24.5255(2)如图,作DFAC于点F,作BEAC于点E,作FM垂直 于过点B且平行于AC的直线,垂足为M,则DBM是AC与 BD所成的角(或其补角).在AD
13、C中 DC=1,AD=,ADC=90,所以AC=,DF=,CF=56566.6在BAC中,BC=BA=3,BE=而AE=所以EF=因为MF=BE=226153(),226,26666.62315,2所以DM=因为BM=EF=,所以BD=所以cosDBM=所以直线AC与BD所成角的余弦的最大值是 .答案:22D FFM2D F FM cos D FM 515515252cos D FM5cos D FM62623 ，6322D MBM9 5cos D FM，66BM633,BD69 5cos D FM9 5 6666【母题变式】若本例题(1)条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若异面直线A
14、1B与AD1所成角的余弦值为 ”,试求 的值.9101AAAB【解析】设 =t,则AA1=tAB.因为AB=1,所以AA1=t,连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1为异面直线A1B与AD1所成角,连接A1C1,又因为A1C1=,A1B=BC1,所以cosA1BC1=所以t=3,即 =3.1AAAB22t12222t1 t1 29,102t1t1 1AAAB【技法点拨】1.平移法求异面直线所成角的常见类型(1)利用图中已有的平行线平移.(2)利用特殊点(线段的端点或中点、空间某特殊点)作平行线平移.(3)补形平移.2.求异面直线所成角的三个步骤(1)作:通过作平行线,得到相交直线.(2)证
15、:证明相交直线夹角为异面直线所成的角(或其补角).(3)求:解三角形,求出作出的角.提醒:在求异面直线所成的角时,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.【拓展提升高考模拟预测】1.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是()52 51A.B.C.D.2552【解析】选B.如图,取AC中点G,连接FG,EG,则FGC1C,FG=C1C;EGBC,EG=BC,故EFG即为EF与C1C所成的 角,在RtEFG中,cosEFG=12FG22 5.FE552.
16、(2017赣州模拟)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,GH与EF平行;BD与MN为异面直线;GH与MN成60角;DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是_.世纪金榜导学号99972222【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60角,DE与MN为异面直线,且所成的角为90,即DE与MN垂直.答案:3.(2015浙江高考)如图,三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是_.【解题指南】利用中位线定
17、理寻找异面直线AN,CM所成的角.【解析】如图,连接DN,取DN的中点P,连接PM,PC,则PMC即为异面直线AN,CM所成的角(或其补角),易得PM=AN=,所以cosPMC=即异面直线AN,CM所成角的余弦值为 .答案:1222222PCPNCN2 13 CMACAM2 2，82 3782 2 22，7878【加固训练】(2017大连模拟)在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=,且ADBC,对角线BD=,AC=,求AC和BD所成的角.313232【解析】如图,分别取AD,CD,AB,BD的中点E,F,G,H,连接EF,FH,HG,GE,GF.由三角形的中位线定理知,EFAC,且EF=
18、,GEBD,且GE=.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角.34134同理,GH=,HF=,GHAD,HFBC.又ADBC,所以GHF=90,所以GF2=GH2+HF2=1.在EFG中,EG2+EF2=1=GF2,所以GEF=90,即AC和BD所成的角为90.1232考向三 空间直线的位置关系 高频考点微课【考情快递】命题点 命题视角 1.异面直线的判定 以平面或简单几何体为载体,判断空间直线是否是异面直线 2.平行和垂直的判 定 主要以简单几何体为载体,考查三角形(梯形)的中位线,平行四边形等在平行判断中的应用,考查线面垂直的性质在判定线线垂直中的应用【考题例析】命题点1:异
19、面直线的判定【微思考】怎样判定空间两条直线是异面直线?【微提示】可以利用判定定理和反证法.【典例】(2017黄山模拟)在图中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号).【解题指南】根据异面直线的判定定理判断.【规范解答】图中,直线GHMN;图中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;图中,连接MG,GMHN,因此GH与MN共面;图中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH与MN异面,所以在图中GH与MN异面.答案:命题点2:平行和垂直的判定【微思考】如何判断空间两条直线平行和垂直?【微提示】可以
20、利用平面几何知识和线面平行及垂直的有关性质和定理.【典例】(2017渭南模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是()世纪金榜导学号99972223 A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行【解题指南】先证MN与BD平行,然后根据BD与各直线的位置关系,判断MN与各直线的位置关系.【规范解答】选D.如图,连接C1D,在C1DB中,MNBD,故C正确;因为CC1平面ABCD,所以CC1BD,所以MN与CC1垂直,故A正确;因为ACBD,MNBD,所以MN与AC垂直,故B正确;因为A1B1与BD
21、异面,MNBD,所以MN与A1B1不可能平行,故D错误.【技法点拨】1.异面直线的判定方法(1)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.(2)定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.线线平行或垂直的判定方法(1)对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断.(2)对于线线垂直,往往利用线面垂直的定义,由线面垂直得到线线垂直.【拓展提升高考模拟预测】1.(2017抚州模拟)如图,在正方体ABCD
22、-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是()A.相交但不垂直 B.相交且垂直 C.异面 D.平行【解析】选D.连接D1E并延长,与AD交于点M,因为A1E=2ED,可得M为AD的中点,连接BF并延长,交AD于点N,因为CF=2FA,可得N为AD的中点,所以M,N重合,且 所以 ，所以EFBD1.1ME1 MF1ED2 BF2，1MEMFEDBF2.设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是_(填序号).若AC与BD共面,则AD与BC共面;若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线;若AB=AC,DB=D
23、C,则AD=BC;若AB=AC,DB=DC,则ADBC.【解析】对于,由于点A,B,C,D共面,显然结论正确.对于,假设AD与BC共面,则AC与BD共 面,这与题设矛盾,故假设不成立,从而结论正确.对于,如图,当AB=AC,DB=DC,平面ABC与平面BCD的夹角的大小变化时,AD与BC不一定相等,故不正确.对于,如图,取BC的中点E,连接AE,DE,则由题设得BCAE,BCDE,根据线面垂直的判定定理得BC平面ADE,从而ADBC.答案:3.(2017上饶模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点P,Q,R分别是线段B1B,AB和A1C上的动点,观察直线CP与D1Q,CP与D1R,给出下
24、列结论:对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP;对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q;对于任意给定的点R,存在点P,使得CPD1R;对于任意给定的点P,存在点R,使得D1RCP.其中正确的结论是_.世纪金榜导学号99972224【解析】只有D1Q平面BCC1B1,即D1Q平面ADD1A1时,才能满足对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP,因为过D1点与平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1,而D1C1AB,所以错误;当点P与B1重合时,CPAB,且CPAD1,所以CP平面ABD1,因为对于任意给定的点Q,都有D1Q 平面ABD1,所以对于任意给定的点Q,存在点P,使得C
25、PD1Q,所以正确;当R与A1重合时,在线段B1B上找不到点P,使CPD1R,所以不正确;只有当CP平面A1CD1时,才正确,所以对于任意给定的点P不存在点R,使D1RCP,故不正确.答案:【加固训练】已知a,b,c为三条不同的直线,且a 平面,b 平面,=c.给出下列命题:若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;若ab,则必有ac;若ab,ac,则必有 .其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.中若c与a,b都不相交,则ca,cb,故ab,这与a与b是异面直线矛盾,正确;中若 ,bc,则b,ba,这与a与c是否垂直无关,错;中若ab,则a,又 =c,所以ac,正确;中当bc时,与 可能不垂直,错.