1、上海交通大学附中2014版创新设计高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：空间几何体本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1以下四个命题： 正棱锥的所有侧棱相等； 直棱柱的侧面都是全等的矩形； 圆柱的母线垂直于底面； 用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形其中，真命题的个数为( )A4B3C2D1【答案】B2下列命题中正确的是( )A若aa，ab，则abBab，bg，则agCaa，ab，则abDab，aa则ab
2、 【答案】D3若，则的形状是( )A不等边锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形【答案】A4m和n是分别在两个互相垂直的面、内的两条直线，与交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是 ( ）A可能垂直，但不可能平行B可能平行，但不可能垂直C可能垂直，也可能平行D既不可能垂直，也不可能平行【答案】D5下列说法中正确的是( )三角形一定是平面图形；若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；圆心和圆上两点可以确定一个平面；三条平行线最多可确定三个平面。A B. C. D. 【答案】C6如左图所示，ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD平面ABCDM
3、为平面ABCD内的一动点，且满足MP=MC则点M在正方形ABCD内的轨迹为右图中的（O为正方形ABCD的中心）( )【答案】A7如图，长方体中，交于顶点的三条棱长分别为，则从点沿表面到的最短距离为( )ABCD【答案】B8已知向量，且，则的值为 ( )A或2B2CD1【答案】B9在半径为的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径的最大值为( )AB CD【答案】A10长度分别为1，a，a，a，a，a的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是( )ABCD【答案】C11下面列举的图形一定是平面图形的是( )A有一个角是直角的四边形B有两个角是直角的四边形 C有三个角是直角的四边形D有四个角是直角
4、的四边形【答案】D12若一个棱锥的各棱长均相等，则该棱锥一定不是( )A三棱锥B四棱锥C五棱锥D六棱锥【答案】D第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为 .【答案】614在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为 【答案】15如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 _cm3【答案】16已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥的表面积为 【答案】三、解答题 (
5、本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是等腰直角三角形，且ACB=90，AC=2，D是A A1的中点 (）求异面直线AB和C1D所成的角（用反三角函数表示）； (）若E为AB上一点，试确定点E在AB上的位置，使得A1EC1D； (）在（）的条件下，求点D到平面B1C1E的距离【答案】（）法一：取CC1的中点F，连接AF，BF，则AFC1DBAF为异面直线AB与C1D所成的角或其补角ABC为等腰直角三角形，AC=2，AB=又CC1=2，AF=BF=cosBAF=，BAF=， 即异面直线AB与C1D所成的
6、角为法二：以C为坐标原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，2，0），B（2，0，0），C1（0，0，2），D（0，2，1），=（2，2，0），=（0，2，1）由于异面直线AB与C1D所成的角为向量与的夹角或其补角设与的夹角为，则cos=，=，即异面直线AB与C1D所成的角为 (）法一：过C1作C1MA1B1，垂足为M，则M为A1B1的中点，且C1M平面AA1B1B连接DM.DM即为C1D在平面AA1B1B上的射影要使得A1EC1D，由三垂线定理知，只要A1EDMAA1=2，AB=2，由计算知，E为AB的中点法二：过E作ENAC，垂足为N，则EN平面AA1C
7、1C.连接A1N.A1N即为A1E在平面AA1C1C上的射影要使得A1EC1D，由三垂线定理知，只要A1NC1D四边形AA1C1C为正方形，N为AC的中点，E点为AB的中点法三：以C为坐标原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1（0，2，2），B（2，0，0），C1（0，0，2）， D（0，2，1），设E点的坐标为（x，y，0）,要使得A1EC1D，只要=0，=（x，y2，2），=（0，2，1），y=1又点E在AB上，x=1E点为AB的中点(）法一：取AC中点N，连接EN，C1N，则ENB1C1 B1C1平面AA1C1C， 面B1C1NE平面AA1C1C 过点D
8、作DHC1N，垂足为H，则DH平面B1C1NE，DH的长度即为点D到平面B1C1E的距离在正方形AA1C1C中，由计算知DH=，即点D到平面B1C1E的 距离为法二：连接DE，DB1.在三棱锥DB1C1E中，点C1到平面DB1E的距离为，B1E=，DE=，又B1EDE，DB1E的面积为，三棱锥C1DB1E的体积为1设点D到平面B1C1E的距离为d，在B1C1E中，B1C1=2，B1E= C1E=，B1C1E的面积为由，得d=，即点D到平面B1C1E的距离为18将两块三角板按图甲方式拼好，其中，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙()求证：平面；()求二面角的余弦值；【答案】（1）
9、设在的射影为，则平面， 又，平面 ，又，平面 (2）由（1），又， 为中点以为轴，为轴，过且与平行的直线为轴建系，则设为平面的法向量，由，可得易知为平面的法向量，因为所求二面角是锐角，所以所求二面角的余弦值为。19如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,垂足为A,PA=AB,点M在棱PD上,PB平面ACM. (1)试确定点M的位置；(2)计算直线PB与平面MAC的距离；(3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得AE平面PBD？【答案】 (1)设，则点O为BD中点，设点M为PD中点在PBD中，PBOM，平面ACM,PB平面ACM (2)设AB=1，则PA=AB=1
10、,底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，CDPD，,取AD中点为F，连结MF，则MFPA，MF平面ABCD，且MF=,又PB平面ACM，M为PC的中点,直线PB与平面MAC的距离为点D到平面MCA的距离，设为h由可得(3)以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系则B(1,0，0)，D(0，1， 0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，设平面PBD的法向量则法向量,设，则,AE平面PBD，即点E为PC中点.20如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、 的中点. (1）求证：平面； (2）若， 求异面直线与所成的角的大小【答案】(1D的中点E连结NE，AE易证M
11、NEA为平行四边形所以MN/AE，可得MN/面ABD (2AC,BD交于点O连结OM,ON，由中位线定理可得MN/PA,OM/BC,所以ONM为异面直线MN与PA所成的角，由余弦定理可得ONM=30021如图，平面四边形ABCD关于直线AC对称，把ABD沿BD折起（如图），使二面角ABDC的余弦值等于。对于下图，完成以下各小题：(1）求A，C两点间的距离；(2）证明：AC平面BCD；(3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值。【答案】（1）取BD的中点E，连接AE，CE，由AB=AD，CB=CD得，就是二面角ABDC的平面角，在ACE中，(2）由AC=AD=BD=2，AC=BC=CD=2，(3）以CB，CD，CA所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则22如图，在三棱拄中，侧面，已知(1）求证：； (2）、当为的中点时，求二面角的平面角的正切值.【答案】（1）因为侧面，故 在中，由余弦定理有 故有 而 且平面 (2）取的中点，的中点，的中点，的中点， 连则，连则，连则 连则，且为矩形，又 故为所求二面角的平面角在中， (法二： 建系：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角因为 故 ）