1、甘肃省兰州一中2021届高三数学上学期10月月考试题 文（含解析）一、选择题1. 已知集合，.则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据补集和并集的运算，即可得出结果.【详解】解：，所以.即故选：C.【点睛】本题考查补集和并集的运算，考查分析问题能力，属于基础题.2. i为虚数单位， 则的共轭复数为 （ ）A. 2-iB. 2+iC. -2-iD. -2+i【答案】A【解析】试题分析：，则复数的共轭复数为；选A考点：1.复数运算；2.共轭复数；3. 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行
2、体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生【答案】C【解析】【分析】等差数列性质渗透了数据分析素养使用统计思想，逐个选项判断得出答案【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到学生号构成等差数列，公差，所以，若，则，不合题意；若，则，不合题意；若，则，符合题意；若，则，不合题意故选C【点睛】本题主要考查系统抽样.4. 函数的零点所在区间（ ）A. B. C. D. ，【答案】A【解析】【分析】根据函数零点存在性定理即可得到结论.【
3、详解】函数的定义域为，且函数单调递增，（1），（2），在内函数存在零点，故选：.【点睛】本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键.5. 已知向量，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【答案】A【解析】【分析】向量，则，即，或者-1，判断出即可【详解】解：向量，则，即，或者-1，所以是或者的充分不必要条件，故选：A【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.6. 周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷
4、是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ）A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺【答案】D【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为d，根据题意列出方程组求解即可.【详解】夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，设其首项为，公差为d，根据题意，立秋的晷长为.故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式、求和公式，
5、属于基础题.7. 下列函数中，既是奇函数又在单调递减的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数为奇函数可排除B，再利用函数的单调性可排除A、C，即选出正确答案.【详解】对A，函数在单调递增，故A不符合；对B，函数为偶函数，故B不符合；对C，函数在恒成立，所以在单调递增，故C不符合；对D，函数既是奇函数又在单调递减，故D符合；故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查数形结合思想的应用，考查逻辑推理能力.8. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据函数的奇偶性排除A，C选项，再根据函数在上的单调性排除D.【详解
6、】，为偶函数，排除A，C选项；当时，排除D选项，故选B故选B【点睛】本题考查函数图象的辨别，可以利用函数的定义域、单调性及奇偶性来排除选项，属于基础题.9. 已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由和奇函数推出周期，根据周期和奇函数推出，根据解析式求出，由解得结果即可.【详解】因为函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，因为，故函数的周期为4，则；而，所以由可得；而，解得.故选：C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的周期性，属于基础题.10. 函数的定义域为R，对任意的，有，且函数为偶函数，则（ ）A. B. C. D
7、. 【答案】C【解析】分析】由函数单调性的定义可得在上单调递减，由偶函数的性质可得，再由函数的单调性即可得解.【详解】因为对任意的，有，所以对任意的，与均为异号，所以在上单调递减，又函数为偶函数，即，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性的定义及应用，考查了函数奇偶性的应用，属于基础题.11. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将函数在区间内存在单调递增区间，转化为在区间上有解，再转化为，进而可求出结果.【详解】因为在区间内存在单调递增区间，所以在区间上成立，即在区间上有解，因此，只需，解得.故选D【点睛】本
8、题主要考查由导数在某区间内的单调性求参数的问题，只需对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性即可，属于常考题型.12. 已知定义在上的函数满足，且当时，函数，实数，满足.若，使得成立，则的最大值为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】B【解析】【分析】求出函数的周期，利用数形结合求出，的值，然后求解的最大值即可【详解】当时，令可得.，的周期为2，所以在1，5的图象所示：结合题意，当，时，取得最大值.最大值为1.故选：B.【点睛】本题考查函数的最值的求法，考查数形结合以及计算能力二、填空题13. 设曲线在点处的切线方程为，则_.【答案】【解析】【分析】由题意得知，函数在处的导数值为，由此可求
9、出实数的值.【详解】，.由题意可知，当时，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用切线方程求参数，一般要结合以下两点来考虑：（1）切点为切线与函数图象的公共点；（2）切线的斜率是函数在切点处的导数值.考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14. 函数的单调递增区间是_【答案】【解析】【分析】先确定函数的定义域，再考虑内外函数的单调性，利用复合函数的单调性即可得到结论【详解】由，可得或，所以函数的定义域为又在区间的单调递减，单调递减,函数的单调递增区间是,故答案为【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的
10、热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.15. 已知对一切上恒成立，则实数a取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为，令，由，得，则，在上递减，当时取得最大值为，所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力属中档题.16. 已知是定义域为的奇函数，是的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是_【答案】【解析】【分析】构
11、造函数，求导，结合已知可判断其单调性及奇偶性，结合函数的性质即可求解【详解】令，因为当时，则当时，即在上单调递减，又因为为奇函数，即，则，故为偶函数且在上单调递增，因为，故，由可得，所以或，所以或.解可得，或.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性及奇偶性求解不等式，解题的关键是构造函数并判断出其单调性及奇偶性.三、解答题17. 的内角，的对边分别为，且满足：.（1）求；（2）若面积为，外接圆直径为4，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；（2）根据三角形面积公式可得， 再正弦定理可求，再利用余弦定理可求，
12、由此即可求出结果.【详解】（1），得， .（2）的面积，由正弦定理可知，由，则，的周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.18. 下图是某校某班44名同学的某次考试的物理成绩y和数学成绩x的散点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B生因故未能参加物理考试为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计量的值：，其中，分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，y与x的相关系数（1）若不剔除A、B两名考生的数据，用44数据作回归分析，设此时y与x
13、的相关系数为，试判断与r的大小关系，并说明理由；（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到），并估计如果B考生参加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）附：回归方程中，【答案】（1）；理由见解析；（2）；81分【解析】【分析】（1）结合散点图，可得出结论；（2）利用题中给的相关系数，最小二乘法写出回归直线方程，再令x125，即可算出答案；【详解】（1） 理由如下：由图可知，y与x成正相关关系，异常点 A，B 会降低变量之间的线性相关程度44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好
14、，所以相关系数更大42个数据点更贴近其回归直线l44个数据点与其回归直线更离散（以上理由写出任一个或其它言之有理均可得分）（2）由题中数据可得：， 所以， ， 所以， 将代入，得，所以估计B同学的物理成绩约为81分【点睛】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数据分析、数学运算等数学核心素养，是一道中档题.19. 如图，四边形为正方形，平面，点，分别为，的中点（）证明：平面；（）求点到平面的距离【答案】（）见解析；（）.【解析】试题分析：（）取的中点，连接、，由已知结合三角形中位线定理可得且，得四边形为平行四边形，从而可得，再由线面平行的判定可得平面；（）利用等积法可得：，代入棱
15、锥体积公式可得点到平面的距离试题解析：（）证明：取点是的中点，连接，则，且，且，且，四边形为平行四边形，平面（）解：由（）知平面，所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为利用等体积法：，即，点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题；在证明线面平行的过程中，常见的方法有：1、构造三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形.求点到面的距离主要是利用等体积法.20. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线与抛物线交于不同
16、两点，若，求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可求出，进而可得抛物线的方程；（2）由题意易知：直线的方程为，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和向量数量积的坐标运算代入即可解出【详解】解：（1）已知抛物线过点，且则，故抛物线的方程为；（2）设，联立，得，得，又，则，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，综上：的值为-8【点睛】本题重点考查了利用一元二次方程的根与系数的关系研究直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21. 已知函数，（为自然对数的底）.（1）讨论的极值；（2）当时，若存在，使得，求实数取值范围.【答案】（1），无
17、极大值；（2）.【解析】【分析】（1）对函数进行求导得，令，再列表，从而求得函数的极值；（2）利用导数研究函数的最值，对分两种情况讨论，即和，即可得答案；【详解】（1）依题，的变化如下：0极小值列表分析可知，无极大值.（2）对于，可得.因此，当时，单调递减；当时，单调递增.（1）当时，.依题意可知.构造函数：（），则有.由此可得；当时，；当时，即在时单调递减，单调递增.注意到：，因此同时注意到，故有.（2）当时，.依据题意可知.综上（1）、（2）所述，所求实数取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能
18、力.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.【答案】（1）：，：；（2），此时.【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与
19、参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性注意方程中的参数的变化范围23. 设函数（1）解不等式:;（2）若对一切实数均成立:求的取值范围.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）运用零点分段法对的取值进行分类,分别求出不等式的解集,从而求出不等式的解;（2）利用绝对值的性质,确定出的最小值,从而使问题得解.【详解】（1）因为,当时,解得,所以;当时,解得,所以;当时,解得,所以;综上所述, 的解为（2）若,对一切实数均成立,则,解得故所求的取值范围为【点睛】本题是一道关于绝对值不等式求解的题目,熟练掌握绝对值不等式的解法是解题的关键.