1、第 63 讲 圆的方程 【学习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题.2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题.【基础检测】1.方程 ax2ay24(a1)x4y0 表示圆，则 a的取值范围是()A.aR B.a1 且 aRC.a0 且 aR D.a(0，4C【解析】a0 时，方程为x2（a1）a2y2a24（a22a2）a2，由于 a22a20 恒成立，a0 且 aR 时方程表示圆.2.已知圆心2，3，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是()A.x2y24x6y80 B.x2y24x6y80C.x2y24
2、x6y0 D.x2y24x6y0D【解析】设直径的两个端点分别为 A a，0，B0，b.圆心为2，3，由中点坐标公式得，a4，b6，r12AB 13，则此圆的方程是(x2)2y3 213.化为一般方程为 x2y24x6y0.3.方程 x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的曲线关于 xy0 成轴对称图形，则()A.DE0 B.DF0C.EF0 D.DEF0【解析】曲线关于 xy0 成轴对称图形，即圆心在 xy0 上，将圆心D2，E2 代入 xy0 得DE0.A4.若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是()A.1a1B.0a1C.a1 或 a1D.a1A5
3、.若曲线 C：x2y22ax4ay5a240 上所有的点均在第二象限内，则 a 的取值范围为()A.(，2)B.(，1)C.(1，)D.(2，)D【解析】曲线 C：x2y22ax4ay5a240表示的圆，圆心 a，2a，半径为 2，所以满足a0，a 2，2a 2，a2.【知识要点】1圆的定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长为半径2圆的方程(1)圆的标准方程圆 心 是(a，b)，半 径r的 圆 的 标 准 方 程 是_当圆心在(0，0)时，方程为_(2)圆的一般方程 x2y2DxEyF0 可变形为xD22yE22_故有：当 D2E24F0 时，方程表示以_为圆心，以_为
4、半径的圆；222xaybr222xyr22224224DEDEFxy,22DE2242DEF 当 D2 E2 4F 0 时，方 程 表 示 一 个 点_；当 D2E24F0)的位置关系：若(x0a)2(y0b)2r2，则点 P 在圆外；若(x0a)2(y0b)2r2，则点 P 在圆上；若(x0a)2(y0b)2r2，则点 P 在圆内,22DE一、圆的方程及求法例1设方程 x2y22(m3)x2(14m2)y16m490.(1)m 为何值时，方程表示圆？(2)m 为何值时，方程表示的圆的半径最长？(3)方程表示圆时，求圆心的轨迹方程.【解析】(1)方程表示的圆的充要条件是2(m3)22(14m2
5、)24(16m49)0，即 7m26m10，解得17m1，故当17m1 时，方程表示圆.(2)由(1)得：r12 D2E24F（7m26m1），m17，1，r27m372167.当 m3717，1 时，r 最大4 77，此时D2m3247，E24m211349，所以此时圆的方程为x2472y13492167.(3)设圆心为 C(x，y)，由方程有：xm3，y4m21；17m1，消 m 得 y4x224x35(207 x0，得 m0，即 m3，又由(1)知 m5，故 m3.x1x24，x1x2m52，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1m523m12，x1x2y1y2m52m12m
6、20，m20，且b1.又圆和直线 4x3y0 相切，|4a3|51，即|4a3|5，a0，a2.圆的方程为(x2)2(y1)21.4.圆 x2y22x6y5a0 关于直线 yx2b成轴对称图形，则 ab 的取值范围是()A.(，4)B.(，0)C.(4，)D.(4，)A【解析】由题意，得圆心(1，3)在直线 yx2b 上，得 b2，由圆成立的条件可得(2)26245a0，解得 a2，ab0，b0)和函数 f(x)mx11(m0，m1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(xa1)2(yb2)225 的内部或圆上，那么ba的取值范围是()A.34，43 B.34，43C.34，43D.34，
7、43C【解析】函数 f x mx 11 恒过定点 1，2.将点1，2 代入直线 2axby140 可得2a2b140，即ab7a0，b0.由点1，2 在圆(xa1)2(yb2)225 内部或圆上可得1a1 22b2 225，即 a2b2 25 a0，b0.ab7a2b225 a3，b4或a4，b3.所 以 点a，b 在以 A3，4 和 B4，3 为端点的线段上运动.ba表示以A3，4 和 B4，3 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率.所以ba min304034，ba max403043.所以34ba43.故 C正确.6.已知点 P(x，y)为圆 x2y24 上的动点，则 xy 的最大值为
8、_.2 2【解析】令 x2cos，y2sin(R)则 xy2cos 2sin 2 2sin4 2 2，2 2.7.已知两点 A(2，0)，B(0，2)，点 C 是圆 x2y22x0 上任意一点，则ABC 面积的最小值是.3 2【解析】lAB：xy20，圆心(1，0)到 l 的距离d 32，AB 边上的高的最小值为 321.ABC 面积的最小值是122 23213 2.8.求与 x 轴相切，圆心在直线 3xy0 上，且被直线 xy0 截下的弦长为 2 7的圆的方程.【解析】法一：设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线 xy0 的距离为|ab|2，r2|ab|22(7)
9、2，即 2r2(ab)214，由于所求的圆与 x 轴相切，r2b2，又所求圆心在直线 3xy0 上，3ab0，联立、解得 a1，b3，r29；或 a1，b3，r29.故所求的圆的方程是(x1)2(y3)29 或(x1)2(y3)29.法二：设所求的圆的方程是 x2y2DxEyF0.圆心为D2，E2，半径为12 D2E24F.令 y0，得 x2DxF0.由圆与 x 轴相切，得 0，即 D24F，又 圆 心 D2，E2 到 直 线 y x 的 距 离 为D2E22.由已知，得D2E222(7)2r2，即(DE)2562(D2E24F)，又圆心D2，E2 在直线 3xy0 上，3DE0，联立、，解得
10、 D2，E6，F1；或 D2，E6，F1，故所求圆的方程是 x2y22x6y10 或 x2y22x6y10.9.在平面直角坐标系 xOy 中，记二次函数 f(x)x22xb(xR)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为 C.(1)求实数 b 的取值范围；(2)求圆 C 的方程；(3)问圆 C 是否经过定点(其坐标与 b 的值无关)？请证明你的结论.【解析】(1)令 x0，得抛物线与 y 轴的交点是(0，b).令 f(x)x22xb0，由题意 b0 且 0，解得 b1 且 b0.(2)设所求圆的一般方程为 x2y2DxEyF0.令 y0 得 x2DxF0，这与 x22xb0 是同一个方程，故 D2，Fb.令 x0 得 y2EyF0，此方程有一个根为 b，代入得出 Eb1.所以圆 C 的方程为 x2y22x(b1)yb0.(3)圆 C 必过定点，证明如下：假设圆 C 过定点(x0，y0)(x0，y0 不依赖于 b)，将该点的坐标代入圆 C 的方程，并变形为 x20y202x0y0b(1y0)0，(*)为使(*)式对所有满足 b1(b0)的 b 都成立，必须有 1y00，结合(*)式得 x20y202x0y00，解得x00，y01，或x02，y01，经检验，点(0，1)，(2，1)均在圆 C 上，因此圆C 过这两定点.
