1、11 集合与集合的表示方法11.1 集合的概念【课标要求】1了解集合的含义，体会元素与集合的关系2理解集合中元素的两个特性确定性与互异性3掌握几个常见数集的符号表示，了解空集的含义及表示【核心扫描】1认识元素与集合之间的符号“”与“”，掌握集合中元素的两个特性(重点)2利用集合中元素的两个特性解题(难点)自学导引1元素与集合的概念(1)集合：把一些能够的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的构成的集合(或集)(2)元素：构成集合叫做这个集合的元素(3)集合元素的特征：、确定的不同全体每一个对象确定性互异性无序性2元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果的元素，就说a属于Aa属于A不属于
2、如果的元素，就说a不属于Aa不属于Aa是集合Aa不是集合AaAaA试一试：举出几个构成集合的实际例子提示 如：高一(3)班全体学生组成一个集合我国参加2012 年奥运会的所有运动员组成一个集合等3集合的分类(1)空集：不含任何元素的集合，记作 .(2)非空集合：含有有限个元素的集合：含有无限个元素的集合有限集无限集4常用数集的表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集 实数集符号NNN*ZQR想一想：0 属于空集吗？提示 表示集合中不含任何元素，当然不包含数 0，0.或名师点睛1集合的理解(1)集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这
3、些对象的全体，而非个别对象(2)组成集合的对象是广泛的，凡是看得见的，摸得着的，想得到的，任何事物都可以作为组成集合的对象(3)构成集合的对象必须是“确定”的，其中“确定”是指构成集合的对象具有明确的特征，这个特征不是模棱两可的(4)集合中的元素是互不相同的，即相同的元素归入一个集合时，该元素只能出现一次2元素与集合集合中的元素是确定的，元素与集合只有两种关系：属于()和不属于()元素符合集合中元素的特征，则元素属于集合，否则元素不属于集合.题型一 集合的判定【例 1】下列各组对象：接近于 0 的数的全体；比较小的正整数全体；平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体；正三角形的全体；2的近似
4、值的全体能构成集合的有()A2 个 B3 个 C4 个 D5 个思路探索 属于“集合概念”的理解，判断对象能否组成集合解析 本题主要考查集合中元素的确定性“接近于 0 的数”和“比较小的正整数”的标准不明确，所以不能构成集合同样，“2的近似值”也没有明确指出精确到什么程度，所以也不能构成集合，符合集合的概念，能构成集合故选 A.答案 A规律方法 判断元素能否组成集合，关键是看这些元素是否具有共同的确定特性，如果有，就能构成集合，如果没有，就不能构成集合【训练 1】考察下列每组对象能否组成一个集合？(1)上海世博会的所有展馆(2)我校 2012 级所有新生(3)广州亚运会的所有比赛项目(4)我国
5、所有著名的影星解(1)(2)(3)的对象都是确定的，因而能构成集合(4)中“著名”标准不明确，不满足确定性，不能构成集合题型二 元素与集合的关系【例 2】用适当的符号填空：(1)_Q；(2)0_Z；(3)0_N；(4)2_Q；(5)2_R；(6)0_.思路探索 考查常见数集的符号及元素与集合的关系答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)规律方法(1)对于任何元素 a 与集合 A，aA 或 aA 这两种情况有且只有一种成立注意记准常用数集的符号表示(2)判断一个元素是不是某个集合的元素关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征【训练 2】集合 A 是由形如 m 3n(mZ，nZ)的数构成
6、的，判断12 3是不是集合 A 中的元素解 12 32 32 31，而 2,1Z，2 3A，即12 3A.题型三 集合中元素的特性应用【例 3】已知集合 A 是由三个元素 m1,3m，m21 组成的集合，且1A，求实数 m 的值审题指导 本题考查集合中元素的互异性，确定性及无序性，及分类讨论思想的应用【解题流程】1Am11或3m1或m211 求出m并代入验证规范解答 1A，当 m11 时，m0,3m0，m211.此时集合为1,0，1，不满足集合中元素的互异性.4 分当 3m1 时，m13，m143，m2189.此时该集合为43，1，89，符合题意.8 分当 m211 时，m0，m11,3m0.
7、此时集合为1,0，1，不满足集合中元素的互异性综上可知，实数 m 的值为13.12 分【题后反思】对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握【训练 3】集合 A 中含有三个元素 3，x，x22x，求实数x 满足的条件解 由题意得 x3xx22x3x22x，即x3x23xx22x30，x3x0 x1.即实数 x 满足 x1,0,3.误区警示 忽视元素的互异性而致误【示例】集合 A 中有三个元素 a3,2a1，a24，且3A，求 a 的值错解 当 a33 时，a0；当 2a13 时，a
8、1；当 a243 时，a1，所以 a 的值为 0,1，1.思维突破 由集合中的元素，求出 a 后，还要将 a 的值代回去验证，保证集合中的元素满足互异性正解(1)当 a33 时，a0，则 2a11，a244，集合由3，1，4 三个元素组成，a0 满足题意(2)当 2a13 时，a1，则 a34，a243，此时有两个元素是“3”，故 a1 不满足题意(3)当 a243 时，a1(a1 舍去)，当 a1 时，a32,2a11，此时集合由3，2,1 三个元素组成，a1 满足题意综上所述 a0 或 a1.追本溯源 集合中的元素具有确定性和互异性，对含有参数的元素，必须进行检验使集合中的元素满足互异性，确定性和无序性.