1、数 学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 复数在复平面内对应的点为，（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）ABCD2 设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3 周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有暑长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气暑长之和为尺，则立秋
2、的暑长为（ ）A尺B尺C尺D尺4 若正数，满足，则的最小值是（ ）ABC5D255 已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）ABCD6 已知两点，动点在直线上运动，则的最小值为（ ）ABC4D57 如图，直四棱柱的底面是菱形，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD8 已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差为（ ）AB3CD49的展开式中，的系数为（ ）A120B480C240D32010已知圆上恰有两个点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）ABCD11已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一
3、个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（ ）ABCD11若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量，若，则的值为_142018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5，最初有只，则至少经过_天才能达到最初的16000倍（结果需为整数，参考数据：，）15双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、（在右侧），若，则
4、的离心率为_16在数列中，且，则数列的前2021项和为_三、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知是公差不为零的等差数列，且，成等比数列（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和18（本小题满分12分）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：函数的最大值为2；函数的图象可由的图象平移得到；函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为（1）请写出这两个条件序号，并求出的解析式；（2）求方程在区间上所有解的和19（本小题满分12分）如图，四棱锥中，四边形是边长为4的菱形，是上一点，且，设（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值20（本小题满分12分）
5、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的方程；（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由21（本小题满分12分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图（1）规定：口罩的质量
6、指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及数学期望；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店一个订单“秒杀”抢购，同时乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由个该型号口罩构成假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率均为，记甲，乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为，求的分布列及数学期望；当的数学期望取最大值时正整数的值22（本小题满分12分）设，（
7、1）讨论在上的单调性；（2）令，试证明在上有且仅有三个零点数学参考答案题号123456789101112答案BADCBBDCABBB1314199151617解：（1）设的公差为，因为，成等比数列，可得，又，解得， 5分（2） 10分18（1）函数满足的条件为；理由如下：由题意可知条件互相矛盾，故为函数满足的条件之一，由可知，所以，故不合题意，所以函数满足的条件为；由可知，所以6分（2）因为，所以，所以或，所以或，9分又因为，所以的取值为，所以方程在区上所有的解的和为12分19（1）证明：四边形是菱形，是的中点，平面平面，是的中点，平面，平面，平面5分（2）解：由（1）知平面，两两互相垂直以为
8、原点，以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示设，四边形是菱形，和都是等边三角形，即7分，设平面的法向量为，则令，得，9分设平面的法向量为，则，令，得，设二面角的平面角为，结合图象可知，二面角的八弦值为12分20（1）由题意得，解得，故椭圆的方程为4分（2）设，直线的方程为，由，得，6分由，三点共线可知，所以；同理可得8分所以因为，10分所以12分21解：（1）按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6，2故的可能取值为0，1，2，的分布列为012所以4分（2）由题知，的可能取值为0，1，2，所以的分布列为012所以8分因为，所以，当且仅当时取等号，所以取最大值时，的值为212分22，令，则或，2分时，单调递增，时，单调递减，时，单调增，时，单调递减4分（2），是的一个零点，5分，是偶函数，要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可当时，令，即，或，7分时，单调递减，时，单调递增，在有唯一零点9分当时，由于，而在单调递增，恒成立，故在无零点，11分在有一个零点，由于是偶函数，在有一个零点，而，在上有且仅有3个零点. 12分