1、兰州一中2020-2021-1学期高二年级期中考试试题数学第卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 等差数列中，已知，当时，则序号等于（ ）A. 90B. 96C. 98D. 100【答案】D【解析】【分析】由通项公式列方程求解【详解】由题意，解得故选：D2. 若，则下列结论不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质判断【详解】，即，A正确；，即，B正确；，则，当且仅当时等号成立，而，等号取不到C正确；又，D错误故选：D3. 在中，则A为（ ）A. 或B. C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得，
2、即可得解.详解】由正弦定理可得，则有，又，则或.故选：C.4. 设等差数列的前项和为，若，则 （ ）A. 36B. 72C. 144D. 70【答案】B【解析】【详解】由等差数列的性质,，则,故选:5. 在中，则的面积为（ ）A. 15B. C. 40D. 【答案】B【解析】【分析】先利用余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.【详解】由余弦定理得，解得，由三角形面积得，故选B.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.6. 设满足约束条件，则的最大值为 （ ）A. -8B. 3C. 5D. 7【答案】D【解析】试题分析：不等式表示的可行域为直线围
3、成的三角形及其内部，三个顶点为，当过点时取得最大值7考点：线性规划7. 在中，已知，那么一定是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 形状无法确定【答案】A【解析】【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得【详解】在中，已知，又，三角形为等腰三角形故选：A8. 下列结论正确的是（ ）A. 当时，的最小值为B. 当时，C. 当时无最大值D. 当且时，【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性，结合基本不等式的性质逐一判断即可.【详解】对于A，在2，+）上单调递增，所以x=2时，函数的最小值为，故A错误；对于B，当时，当且仅当x=1时
4、，等号成立，故B成立；对于C，在（0，2上单调递增，所以x=2时，函数取得最大值，故C不成立；对于D，当时，结论不成立；故选：B【点睛】本题考查了函数单调性的应用，考查了基本不等式的性质应用，考查了数学运算能力.9. 已知等比数列满足，则使得取得最大值的为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】先根据条件相除求出等比数列公比，再代入求首项，即得等比数列通项公式，最后逐一验证得结果.【详解】，令 ，则，当时，可知当时，取得最大值故选：B【点睛】本题考查等比数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.10. 在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C
5、=120，c=a，则A. abB. abC. abD. a与b的大小关系不能确定【答案】A【解析】【分析】由余弦定理可知c2a2+b22abcosC，进而求得ab的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a与b的大小关系【详解】解：C120，ca，由余弦定理可知c2a2+b22abcosC，（）2a2+b2+aba2b2ab，ab，a0，b0，ab，ab故选A【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题11. 已知数列的前项和，第项满足，则（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】A【解析】【分析】由求出，然后解不等式可得【详解】由题意，不满足题意，时，由，
6、得，又，故选：A12. 已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为数列为等比数列，各项都是正数，且成等差数列，所以，所以，解得，所以，故选D考点：数列的性质第卷（非选择题）二、填空题.13. 已知为的内角，且,则 .【答案】【解析】【详解】因为，所以由正弦定理可得，设，故答案为.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.14.
7、 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】等价转换为的图象在轴上方，计算，可得结果.【详解】关于的不等式的解集为，则的图象在轴上方，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查分析能力以及逻辑推理能力，属基础题.15. 若直线过点，则的最小值为_【答案】8【解析】【分析】由直线过点，可得，从而有，展开后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：因为直线过点，所以，因为所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8故答案：8【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题
8、16. 下列命题中假命题的序号是_.若“则”的逆命题；“若，则”；“若，则且”的逆否命题；“在中，若，则”.【答案】【解析】【分析】根据四种命题关系判断，由正弦定理判断【详解】若“则”的逆命题是若，则，这显然是假命题，如；“若，则”的逆否命题是若，则，是真命题，原命题也是真命题；“若，则且”的逆否命题是若或，则，是假命题，在中，若，则由得，为真命题故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，在一个命题不能或不易判断其真假时，可考虑其逆否命题，判断出逆否命题的真假后，原命题的真假随之而得特别是对一些否定性命题，含有至少、至多等词语的命题常常选择判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假三、
9、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（1）若，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集为（-1，4），求实数，的值.【答案】（1）或；（2），.【解析】【分析】（1）由得关于的不等式，解之可得（2）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，利用韦达定理列式可解得【详解】（1）由已知，得或；（2），由-1，4是方程的两根，得，18. 如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，BD交AC于E，AB=2.（1）求cosCBE的值；（2）求AE【答案】(1)因为,所以，.(2)在中，由正弦定理得,故【解析】【详解】略19. 已知等差数列满足
10、，（1）求的通项公式；（2）设是等比数列的前n项和，若，求.【答案】（1）；（2），或.【解析】【分析】（1）设公差，利用公式列关系求基本量，即得通项公式；（2）设公比，先得列关系求基本量，再利用等比数列前n项和公式即算得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为d，.，解得，.（2）设等比数列的公比为q，联立解得，或.20. 在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边， ， .（1）求 的面积；（2）若 ，求角 .【答案】(1)14;(2) .【解析】试题分析：（1）先求出的值，再由同角三角函数基本关系式求出，从而求出三角形的面积即可；（2）根据余弦定理即正弦定理计算即可试题解析：（1） ， ，
11、 ， ， ， （2） ， ， 由余弦定理得， ，由正弦定理： ， 且 为锐角， 一定是锐角， 21. 设数列前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用得出数列的递推关系，结合，得数列为等比数列，从而易得通项公式；（2）用错位相减法求得和【详解】（1） 两式相减，得.所以，又，即是首项为2，公比是4的等比数列.（2）. -，得，故.【点睛】本题考查求等经数列的通项公式，错位相减法求和数列求和的常用方法：设数列是等差数列，是等比数列， （1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的前项和应用
12、错位相减法；（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和22. 新星家俱厂开发了两种新型拳头产品，一种是模拟太空椅，一种是多功能办公桌.2005年该厂生产的模拟太空椅获利48万元，以后它又以上年利润的倍的速度递增；而多功能办公桌在同年获利75万元，这个利润是上年利润的，以后每年的利润均以此方式产生.预期计划若干年后两产品利润之和达到174万元.从2005年算起.（1）设第年模拟太空椅获利万元，求，值；（2）哪一年两产品获利之和最小
13、？（3）至少经过几年即可达到或超过预期计划？【答案】（1）（万元），（万元）；（2）2006年；（3）7年.【解析】【分析】（1）根据增长率依次计算，（2）设第年太空椅获利万元，办公桌获利万元，求出，由基本不等式可得最小值；（3）令，同时设，代入求出，令代入检验，计算到何时不小于为此可得结论【详解】（1）（万元）（万元）（2）设第年太空椅获利万元，办公桌获利万元则，, 当且仅当时取“”.故第2006年两产品获利最小. （3）令，又令，则有，或（舍）当时，；当时，当时，.故至少经过7年即可超过预期计划.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的应用，解题关键是根据已知数据把两种产品的利润用数列表示，然后根据表达式求解本题实质上一种平均增长率问题，所得数列是等比数列数列问题中不能求出具体数值时可以通过估值法得出结论（原因是的取值为正整数）