1、宁夏海原第一中学2020-2021学年高一数学上学期第二次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求再与集合进行交集运算即可求解.【详解】全集，则，又，所以.故选：B2. 下列叙述正确的是（ ）A. 方程的根构成的集合为B. C. 集合且表示的集合是D. 集合与集合是不同的集合【答案】B【解析】【分析】解出、可判断AC的正误，由集合的无序性可得D的正误，可得B的正误.【详解】方程的根为，故A错误；，故B正确；由可解得，故C错误；集合与集
2、合是相同的集合，故D错误故选：B3. 下列函数在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的判断方法，分别对选项加以判断，即可得到在其定义域内，既是奇函数又是减函数的函数【详解】对于A函数是奇函数，但在（，0），（0，+）均为减函数，故A错；对于B函数定义域为（0，+），是非奇非偶函数，故B错；对于C定义域为R，且有f（x）f（x），为奇函数，且f（x）3x20，即f（x）为减函数，故C对；对于D定义域为R，但f（0）-10，故不是奇函数，故D错故选C【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义加以判断，同时注
3、意函数的定义域，属于基础题和易错题4. 函数的定义域是（）A. （3，0）B. （3，0C. （，3）（0，+）D. （，3）（3，0）【答案】A【解析】【分析】根据真数大于零、分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式解得结果.【详解】函数的定义域满足：，故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域，考查基本求解能力，属基础题.5. 设是定义在上的函数，其图像关于原点对称，且当时，则（ ）A. 1B. -1C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，得出，即可求解.【详解】由题意，函数图像关于原点对称，即函数为奇函数，又由当时，所以.故选：A.6. 函数f(x)=的零点所在的一个区间
4、是A. （-2，-1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】B【解析】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=10,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间7. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据指对数函数单调性确定三个数取值范围，即可比较大小【详解】，所以.故选：A.8. 如图是一正方体被过棱中点、，顶点和、顶点、的两上截面截
5、去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过三视图的画法，得出几何体的正视图是一个正方形，根据三视图的规则，能看到的弦作成实线，把遮住的线作成虚线，由此逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，几何体的主视图的轮廓是一个正方形，所以A不正确；对于B中，正视图时正方形符合题意，线段的影子是一个实线段，相对面上的线段的投影时正方形的对角线，由于从正面看不到，所以作成虚线，所以B正确；对于C中，正视图是正方形，但有两条实线存在于正面不符合投影的规则，所以C不正确；对于D中，正视图是正方形，但其中两条实线不符合投影的特征，所以D不正确.故选：B.
6、9. 设，且，则（ ）A. B. 10C. 20D. 100【答案】A【解析】【分析】先根据，得到，再由求解.【详解】因为，所以，所以，又，故选：A【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于基础题.10. 如下图所示曲线是幂函数yx在第一象限内的图象，已知取2，四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数依次为（ ）A. 2，2B. 2，2C. ，2，2，D. .2，2，【答案】B【解析】【分析】在图象中，作出直线，根据直线和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线，相应的应是从大到小排列【详解】在图象中，作出直线，直线和曲线的交点依次为,所以，所以，所以，所以可得曲线，相应的依
7、次为 2，2故选：B【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11. 已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令对数的真数等于0，求得x、y的值，可得图象经过的定点坐标再根据在幂函数yf（x）的图象上，求出函数f（x）的解析式，从而求出的值【详解】已知a0且a1，对于函数，令x11，求得x2，y，可得它的图象恒过定点P（2，4），点P在幂函数yf（x）xn 的图象上，2n，n，f（x）则f（2）,故故选B【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，求函数值，属于基础题12. 已知函数在上单
8、调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】根据分段函数的单调性，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数在上单调递减，则满足 ，即，解得，即实数的取值范围是.故选：A.二、填空题：（本大题共小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）13. 已知集合，则它的真子集有_个【答案】3【解析】【分析】首先确定集合中的元素，然后由真子集的定义求解【详解】由题意，的真子集有3个：，故答案为：314. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，是增函数，且，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】根据偶函数定义把不等式变为，然后由单调性得结论【详解】是上的偶函数，不
9、等式可化为，又在上递增，故答案为：15. 函数的零点个数为_.【答案】2【解析】【分析】分别画出两函数图像即可求解【详解】的零点个数即的交点个数；在同一个坐标系画出两函数图像得：故有两个交点，即的零点个数为2故答案为2【点睛】本题考查指数与对数函数的图像，考查方程与函数零点问题，考查数形结合思想，是中档题16. 已知函数（其中、是常数），且，则_【答案】5【解析】【分析】由题可得，即可求出.【详解】由函数，得所以，所以又，所以故答案为：5三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合，(1)分别求，；(2)已知集合，若，求实数a的取值集合【答案】(1) ，
10、 (2) 【解析】【分析】(1)根据题干解不等式得到，再由集合的交并补运算得到结果；（2）由(1)知，若，分C为空集和非空两种情况得到结果即可.【详解】(1)因为，即，所以，所以，因为，即，所以，所以，所以，所以(2)由(1)知，若，当C为空集时，.当C为非空集合时，可得.综上所述.【点睛】这个题目考查了集合的交集以及补集运算，涉及到指数不等式的运算，也涉及已知两个集合的包含关系，求参的问题；其中已知两个集合的包含关系求参问题，首先要考虑其中一个集合为空集的情况.18. 计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则和运行性质，准确运算，即可求解；（2）
11、根据指数幂和对数的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】（1）由对数的运算公式，可得.（2）由指数幂与对数的运算，可得.19. 已知函数f(x)，(1)判断函数在区间1，)上的单调性，并用定义证明你的结论(2)求该函数在区间1,4上的最大值与最小值【答案】(1)增函数,证明见解析 (2)，【解析】分析】(1)设，再利用作差法判断的大小关系即可得证；(2)利用函数在区间上为增函数即可求得函数的最值.【详解】解：(1)函数f(x)在区间1，)上为增函数，证明如下：设，则，即，故函数f(x)在区间1，)上为增函数；(2)由(1)可得：函数f(x)在区间上为增函数，则，故函数f(x)在区间上最小值为，
12、最大值为.【点睛】本题考查了利用定义法证明函数的单调性及利用函数单调性求函数的最值，属基础题.20. 已知函数，（1）若在上具有单调性，求实数的取值范围;（2）若对 恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由函数的对称轴不在区间内部可得；（2）问题用分离参数法转化为对恒成立，求出的最小值即可得【详解】（1）由题意得：，或，解得：或，故实数的取值范围是（2）由已知可得：，即：对恒成立令，易见在上为增函数，故实数的取值范围是【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题方法是利用分离参数法转化为求函数的最值要注意最值在所求范围中能否取到如恒成立，则，如恒成立，则“能”
13、成立也有这个问题要注意21. 已知函数，（1）判断函数的奇偶性；（2）若函数的最小值为-2，求的值【答案】（1）偶函数；（2）.【解析】【分析】（1）先分析函数的定义域，再分析与的关系，结合函数奇偶性的定义即可得结论，（2）根据题意，将函数的解析式变形可得，设，分析的最大值，结合对数函数的性质可得，解可得的值，即可得答案【详解】（1）根据题意，函数，则有，解可得，即函数的定义域为，则有，即函数为偶函数，（2）函数，设，则有，有最大值4，又由，则有最小值为，解可得，故22. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，且投资万元时的收益为万元，投资股票等
14、风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，且投资万元时的收益为万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【答案】（1），；（2）投资债券等稳健型产品为万元，投资股票等风险型产品为万元，投资收益最大为万元.【解析】【分析】（1）设，结合题中的数据可求得、的值，进而可得出这两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）设投资股票等风险型产品为万元，则投资债券等稳健型产品为万元，可得出投资收益关于的解析式为，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，由此可得出结论.【详解】（1）依题意设，则，所以，；（2）设投资股票等风险型产品为万元，则投资债券等稳健型产品为万元，当时，即当万元时，收益最大万元，故应投资债券等稳健型产品为万元，投资股票等风险型产品为万元，投资收益最大为万元.【点睛】本题考查函数模型的实际应用，考查了二次函数模型的应用，属于中等题.