1、第六节几何概型(理)第三节几何概型(文)时间：45分钟分值：100分 一、选择题1(2015福州质检)在区间上随机取一个数x，使得0tanx1成立的概率是()A. B.C. D.解析由0tanx1，得0x，故所求概率为.答案C2在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()A. B.C. D.解析设ACx，由题意知x(12x)320x4或8x12，所求事件的概率P.答案C3用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9的概率是()A. B.C. D.解析依题意得截面圆面积为9的圆半径为3，球心到该截面的距离
2、等于4，球的截面圆面积小于9的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于.答案B4已知平面区域D1(x，y)|，D2(x，y)|(x2)2(y2)24在区域D1内随机选取一点P，则点P恰好取自区域D2的概率是()A. B.C. D.解析根据题意画出区域，D1为正方形部分，D2为阴影部分，由几何概型概率的计算公式得点P恰好取自区域D2的概率是，选C.答案C5(理)如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(4,0)，B(4,2)，C(0,2)，曲线y经过点B.小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是()A. B.C. D.解析图中阴影部分
3、是事件A发生的区域，其面积S阴dxx，S长方形428，P.故选C.答案C(文)从(0,2)内随机取两个数，则这两个数的和小于1的概率为()A. B.C. D.解析设取出的两个数为x，y；则有0x2,0y2，其表示的区域为纵横坐标都在(0,2)之间的正方形区域，易得其面积为4，而xy1表示的区域为直线xy1(不包括直线xy1)下方，且在0x1,0y，三棱锥SABC的高与三棱锥SAPC的高相同作PMAC于M，BNAC于N，则PM，BN分别为APC与ABC的高，所以，又，所以，故所求的概率为(即为长度之比)答案三、解答题10.如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦
4、长长度不超过1的概率解弦长不超过1，即|OQ|，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A弦长超过1由几何概型的概率公式得P(A).弦长不超过1的概率为1P(A)1.11(2015济南模拟)某幼儿园在“六一儿童节”开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一(后面以家长代称)共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一：宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别是1,2,3,4,5,6)，宝宝所得点数记为x，家长所得点数记为y；方案二：宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮(此计算器只能产生区间1,6的随机实数)，宝宝的计算器产生的随机实数记为m，家长的计算器产生的随机实数记为
5、n.(1)在方案一中，若x12y，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；(2)在方案二中，若m2n，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率解(1)由题意，宝宝和家长所得点数x，y所有取值所得基本事件总数为36.而满足x12y的(x，y)有：(1,1)，(3,2)，(5,3)共3组则抛掷一次后宝宝得小红花的概率P1.(2)由题意，m，n1,6，则(m，n)所有取值组成一个边长为5的正方形，其面积为25.(m，n)满足不等式m2n，所占区域面积为424.则按下一次按钮后宝宝得兴趣读物一本的概率P2. 1在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函
6、数f(x)x22axb2有零点的概率为()A. B.C. D.解析在区间，内随机取两个数分别记为(a，b)，表示边长为2的正方形边上及内部要使函数f(x)x22axb2有零点，需4a24b240，即a2b2，表示以原点为圆心，为半径的圆的圆周及外部，且在正方形的内部，所以其面积为42232，所以有零点的概率为.答案B2(理)设不等式组表示的平面区域为D，在D内任取一点P(x，y)，若满足2xyb的概率大于，则实数b的取值范围是()A(0,1) B(0,2)C(1，) D(2，)解析区域D表示以点O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)为顶点的正方形，其面积S11.根据题意，b0，
7、设正方形OABC位于直线2xyb下方部分面积为S2，因为直线2xyb在x轴，y轴上的截距分别为，b，则当0，则b1.答案C3(理)2(文)在区间1,5和2,4上分别取一个数，记为a，b，则方程1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为()A. B.C. D.解析方程1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆，故即化简得又a1,5，b2,4，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故所求的概率P.答案B(文)(2014福建卷)在区间0,10上任取一个实数a，使得不等式2x2ax80在(0，)上恒成立的概率为_解析要使2x2ax80在(0，)上恒成立，只需ax2x28，即a
8、2x在(0，)上恒成立又2x28，当且仅当x2时等号成立，故只需a8，因此0a8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为.答案4(理)(2014福建卷)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_解析根据题意yex与ylnx互为反函数，图象关于yx对称，所以两个阴影部分的面积相等联立ye与yex得x1，所以阴影部分的面积S2(eex)dx2(exex)2(ee)(01)2，由几何概型可知所求概率为.故答案为.答案5(理)4(文)(2014重庆卷)某校早上800开始上课，假设该校学生小张与小王在早上730750之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_(用数字作答)解析设小张与小王的到校时间分别为700后第x分钟，第y分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(5030)2400.小张小王至少早5分钟到校表示的事件A(x，y)|yx5,30x50,30y50，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为1515，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A).答案