1、2020-2021学年河南省驻马店市高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1若角的终边过点，则cos等于（）ABCD2某班有学生56人，现将所有学生按1，2，3，56随机编号，采用系统抽样（等距抽样）的方法抽取一个容量为8的样本，若抽得的最小编号为5，则样本中编号落在26，40内的个体数目是（）A1B2C3D43口袋中装有大小、形状、质地完全相同的3个红球和2个黑球，每个球编有不同的号码，现从中任意取出2个小球，事件A：恰有1个红球；事件B：恰有2个红球，则A、B关系正确的是（）A事件A与事件B互斥B事件A与事件B对立C事件A与事件B不互斥D以上判断都不
2、对4已知m，nR，向量（m，1），（1，n），（2，4），且，则m+n（）A0B1C2D35执行如图所示的程序框图，则输出a的值为（）AB3CD26某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为30秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则其至少需要等待10秒才出现绿灯的概率是（）ABCD7从某小区随机抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50到350度之间，制作的频率分布直方图如图所示，若由该直方图得到该小区居民户用电量的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别记为a，b，c，则（）AbacBabcCacbDcba8下列说法不正确的是（）A在随机试
3、验中，若P（A）+P（B）1，则事件A与事件B为对立事件B函数f（x）cos2x的图像可由的图像向左平移个单位而得到C在ABC中，若sinAsinB，则AB；若AB，则sinAsinBD在ABC中，若tanA+tanB+tanC0，则sinAcosB9掷铁饼者是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为1.25m，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（）ABCD2m10已知，则的值是（）ABCD11
4、已知O的半径为4，A、B是圆上两点，AOB120，MN是一条直径，点C在圆内且满足，则的取值范围是（）A12，0B12，0）C3，0D3，0）12已知函数f（x）acos（x）+sin（x）（aR）是偶函数若将曲线yf（2x）向左平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线yg（x）若关于x的方程g（x）m在0，有两个不相等实根，则实数m的取值范围是（）A0，3B0，3）C2，3）D+1，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13某小学从一（1）班和（2）班的某次数学考试（试卷满分为100分）的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示若分别从（1）班、（2）
5、班的样本中各取一份，则（1）班成绩更好的概率为 14已知函数的部分图象如图所示，则f（2021） 15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若bccosA，D为AB中点，且CD，cosA，则ABC的面积为 16在平行四边形ABCD中，E，F，G分别为边BC，CD，DA的中点，B，M，G三点共线若，则实数a的值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17化简，求值：（）已知，求；（）18已知，（）求与的夹角；（）时，求实数x的值19移动支付是指允许移动用户使用移动终端（通常是手机）对所消费的产品或服务进行支付的一种服务方式，某金融机构为了了解移动
6、支付在大众中的熟知度，对1565岁的人群随机抽祥调查，调查的问题是“您会使用移动支付吗？”其中回答“会”的共有100人，把这100人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图组数第1组第2组第3组第4组第5组分组15，25）25，35）35，45）45，55）55，65频数203630104（）求x；（）用分层抽样的方法在1，3，4组中抽取6人，求第1，3，4组分别抽取的人数；（）在（）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率20在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（）求角C；（）若，求在方向上的投影与在方向上的投影之和的取值范围2
7、1宁夏西海固地区，在1972年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地区之一为改善这一地区人民生活的贫困状态，上世纪90年代，党中央和自治区政府决定开始吊庄移民，将西海固地区的人口成批地迁移到更加适合生活的地区为了帮助移民人口尽快脱贫，党中央作出推进东西部对口协作的战略部署，其中确定福建对口帮扶宁夏，在福建人民的帮助下，原西海固人民实现了快速脱贫，下表是对2016年以来近5年某移民村庄100位移民的年人均收入的统计：年份20162017201820192020年份代码x12345人均年收入y（千元）1.32.85.78.913.8现要建立y关于x的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型
8、一：y（1）bx+a；模型二：y（2）cx2+d，即使画出y关于x的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型二的方程为y0.5x2+0.8（）请你用最小二乘法原理，结合下面的参考公式求出模型一的方程（计算结果保留到小数点后一位）；（）请你用最小二乘法原理，比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型二的参考数据为参考公式：对于一组数据（u1，1），（u2，2），（un，n），其回归直线a+u的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，a22已知（sinx，cosx），（cosx，cosx），f（x）（）（0）函数yf（x）的最小正周期为（）求函数f（x）在0，内的单调递
9、增区间；（）若关于x的不等式在内恒成立，求实数m的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1若角的终边过点，则cos等于（）ABCD【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解解：角的终边过点，故选：C2某班有学生56人，现将所有学生按1，2，3，56随机编号，采用系统抽样（等距抽样）的方法抽取一个容量为8的样本，若抽得的最小编号为5，则样本中编号落在26，40内的个体数目是（）A1B2C3D4【分析】求出系统抽样间隔，根据抽得的最小编号为5，找出样本编号落在26，40内的是哪些即可解：由题意知，系统抽样间隔是5687，若抽得的最小编号为5，则抽取样本中编
10、号为5+7n，n0，1，.，7；所以样本编号落在26，40内的是26，33，40，共3个故选：C3口袋中装有大小、形状、质地完全相同的3个红球和2个黑球，每个球编有不同的号码，现从中任意取出2个小球，事件A：恰有1个红球；事件B：恰有2个红球，则A、B关系正确的是（）A事件A与事件B互斥B事件A与事件B对立C事件A与事件B不互斥D以上判断都不对【分析】事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，则事件A与事件B互斥解：口袋中装有大小、形状、质地完全相同的3个红球和2个黑球，每个球编有不同的号码，现从中任意取出2个小球，事件A：恰有1个红球；事件B：恰有2个红球，事件A，B不能同时发生，但能同时不发
11、生，则A、B关系正确的是事件A与事件B互斥故选：A4已知m，nR，向量（m，1），（1，n），（2，4），且，则m+n（）A0B1C2D3【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，利用时0即可求出m+n的值解：因为向量（m，1），（1，n），且，所以m1+1nm+n0故选：A5执行如图所示的程序框图，则输出a的值为（）AB3CD2【分析】先求出a的值的循环周期，再根据循环结束的i的值即可求解解：当a2，i1时，a，i2；当a3，i2时，a，i3；当a，i3时，a，i4；当a，i4时，a，i5；故a的值是以4为周期进行循环，当i20225054+2时，a3，循环结束，故选：B6某路口人行横道的信号灯
12、为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为30秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则其至少需要等待10秒才出现绿灯的概率是（）ABCD【分析】红灯持续时间为30秒，需行人至多前20秒来路口遇红灯，再结合几何概型的公式，即可求解解：设行人至少等10秒才出现绿灯为事件A，红灯持续时间为30秒，需要至少等10秒才出现绿灯，则需行人至多前20秒来路口遇红灯，P（A）故选：C7从某小区随机抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50到350度之间，制作的频率分布直方图如图所示，若由该直方图得到该小区居民户用电量的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别记为a，b，c，则（）A
13、bacBabcCacbDcba【分析】根据频率分布直方图可分别求出a，b，c即可进行比较解：由图可得：所抽取的100户的月均用电量的众数为：a175（度），由图可得：（0.0024+0.0036）500.30.5，（0.0024+0.0036+0.0060）500.60.5，故中位数应该在150，200）的范围内的某一个值则b150+50183（度），根据频率分布直方图的得到200度到250度的频率为：10.0012500.0024500.0036500.0060500.0024500.22，估计所抽取的100户的月均用电量的平均数为：c（750.0024+1250.0036+1750.006
14、0+2250.2250+2750.0024+3250.0012）50186（度），则cba故选：D8下列说法不正确的是（）A在随机试验中，若P（A）+P（B）1，则事件A与事件B为对立事件B函数f（x）cos2x的图像可由的图像向左平移个单位而得到C在ABC中，若sinAsinB，则AB；若AB，则sinAsinBD在ABC中，若tanA+tanB+tanC0，则sinAcosB【分析】由概率，三角函数的性质，逐个判断，即可得出答案解：对于A：在投掷一枚质地均匀的骰子时，记事件A：“向上的点数为奇数”，记事件B：“向上的点数为1点或2点或3点”，则P（A）P（B），满足P（A）+P（B）1，但
15、A，B不为对立事件，故A不正确；对于B：将函数ycos（2x）的图象向左平移个单位得到函数ycos2（x+）cos2x的图象，故B正确；对于C：记ABC中，内角A，B，C的对边分别记为a，b，c，其外接圆的半径为R，则由sinAsinB，及正弦定理可得2RsinA2RsinB，即ab，再由三角形中大边对大角，可得AB，反之，由AB及三角形中大角对大边可得ab再由正弦定理可得2RsinA2RsinB，所以sinAsinB，故C正确；对于D：因为tanA+tanB+tanC+sinC（+）0，因为0C，所以sinC0，所以+0，即0，所以0，即0，所以0，因为0A，0B，所以sinA0，sinB0
16、，所以cosAcosBcosC0，若cosA0，则cosB0且cosC0或cosB0且cosC0，（不成立，舍去），同样，cosA0，cosB0，cosC0或cosA0，cosB0，cosC0，故ABC为锐角三角形，所以A+B，从而AB0，所以sinAsin（B）cosB，故D正确，故选：A9掷铁饼者是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为1.25m，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（）AB
17、CD2m【分析】由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长解：由题得：弓所在的弧长为：l（其中弧EF为肩宽），所以其所对的圆心角，两手之间的距离d2Rsinm故选：B10已知，则的值是（）ABCD【分析】根据已知条件，运用三角函数的恒等变换，可得，再结合三角函数的二倍角公式和诱导公式，即可求解解：，即，故选：B11已知O的半径为4，A、B是圆上两点，AOB120，MN是一条直径，点C在圆内且满足，则的取值范围是（）A12，0B12，0）C3，0D3，0）【分析】由题意知，（+）2（）216，再结合三点共线的条件，求出的取值范围，即可得解解：（+）2（）2
18、（4）16，点C在线段AB上，且与A，B两点不重合，当OCAB时，取得最小值，为2；当C与A，B重合时，取得最大值，为4，又C与A，B两点不重合，24，1612，0）故选：B12已知函数f（x）acos（x）+sin（x）（aR）是偶函数若将曲线yf（2x）向左平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线yg（x）若关于x的方程g（x）m在0，有两个不相等实根，则实数m的取值范围是（）A0，3B0，3）C2，3）D+1，3）【分析】由题意利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，根据函数的奇偶性求得a，可得f（x）的解析式，再利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得g（x）的解析式，再利
19、用余弦函数的图象和性质，求得实数m的取值范围解：函数f（x）acos（x）+sin（x）（cosx+asinx）+（sinxcosx）（）cosx+（a+）sinx是偶函数（aR），则 f（x）f（x），a+0，a1，故f（x）2cosx，f（2x）2cos2x若将曲线yf（2x）向左平移个单位长度后，可得y2cos（2x+）的图象，再向上平移1个单位长度得到曲线yg（x）2cos（2x+）+1的图象若关于x的方程g（x）m在0，有两个不相等实根，则 cos（2x+） 在0，有两个不相等实根2x+，cos，1，求得2m3，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13某小学从一
20、（1）班和（2）班的某次数学考试（试卷满分为100分）的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示若分别从（1）班、（2）班的样本中各取一份，则（1）班成绩更好的概率为 【分析】先求出总的基本事件数，再求出所求事件的基本个数，进而可以求解解：分别从（1）班、（2）班的样本中各取一份，共有6636种情况，设抽取（1）（2）班的一份成绩分别为x，y，则xy的情况有（76，68），（76，72），（76，73），（76，68），（78，72），（78，73），（82，68），（82，72），（82，73），（85，68），（85，72），（85，73），（92，68），（92，72），
21、（92，73），（92，85），（92，89）共17种情况，故所求概率为，故答案为：14已知函数的部分图象如图所示，则f（2021）【分析】由函数图象确定函数解析式，再利用诱导公式求解即可解：由图象可知f（0），则sin，又（，），所以，由f（）1，可得sin（+）1，所以+2k，kZ，所以+，kZ，由图象可得，即，所以0，所以k1时，所以f（x）sin（x+），所以f（2021）sin（2021+）sin故答案为：15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若bccosA，D为AB中点，且CD，cosA，则ABC的面积为 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得cosC0，
22、结合范围C（0，），可得C，由题意可求c2，利用勾股定理可得a2+b2（2）212，又由余弦定理可得a212+b22，联立解得b的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，进而根据三角形的面积公式即可求解解：因为bccosA，由正弦定理可得，sinBsinCcosAsin（A+C）sinAcosC+sinCcosA，所以sinAcosC0，因为sinA0，所以cosC0，因为C（0，），所以C，因为D为AB中点，且CD，cosA，所以ADDB，c2，可得a2+b2（2）212，在ABC中，又由余弦定理可得a212+b22，由解得b，又sinA，所以SABCbcsinA2故答案为：16在平
23、行四边形ABCD中，E，F，G分别为边BC，CD，DA的中点，B，M，G三点共线若，则实数a的值为 【分析】根据向量加法运算法则以及三点关系的性质，利用系数和相加为1，建立方程进行求解即可解：+2+，+，a（+）+（62a）（2+）（a+3a）+（a+124a），3+（123a），B，M，G三点共线，3+123a1，得3a14，得a，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17化简，求值：（）已知，求；（）【分析】（）利用条件先求出tan的值，利用弦化切进行求解即可（）利用切化弦，利用辅助角公式进行转化求解即可解：（）由，得sin+cos2sin
24、2cos，即3cossin，得tan3，则（）原式1618已知，（）求与的夹角；（）时，求实数x的值【分析】（）可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出的值，从而可求出的值，然后即可求出的夹角；（）根据可得出，然后进行数量积的运算即可求出x的值解：（），又，又0，与的夹角为；（），16x6（12x）180，19移动支付是指允许移动用户使用移动终端（通常是手机）对所消费的产品或服务进行支付的一种服务方式，某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对1565岁的人群随机抽祥调查，调查的问题是“您会使用移动支付吗？”其中回答“会”的共有100人，把这100人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频
25、数分布表和频率分布直方图组数第1组第2组第3组第4组第5组分组15，25）25，35）35，45）45，55）55，65频数203630104（）求x；（）用分层抽样的方法在1，3，4组中抽取6人，求第1，3，4组分别抽取的人数；（）在（）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率【分析】（）利用频率分布直方图能求出x的值（）第1，3，4组共有60人，抽取的比例是，由此能求出从第1，3，4组抽取的人数（）设第1组抽取的2人为A1，A2，第3组抽取的3人为B1，B2，B3，第4组抽取的1人为C，由此能求出从这6人中随机抽取2人，抽取的2人来自同一个组的概率解：（I）由题意可知，
26、（II）第1，3，4组共有60人，故抽取的比例为从第1组抽取的人数为：人，从第3组抽取的人数为：人，从第4组抽取的人数为：人；（III）设从第1组抽取的2人分别为A1，A2，第3组抽取的3人分别为B1，B2，B3，第4组抽取的1人为C，则从这6人随机抽取2人，共有：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1C，A2B1，A2B2，A2B3，A2C，B1B2，B1B3，B1C，B2B3，B2C，B3C15个基本事件其中符合所抽取的2人来自同一个组的有4个基本事件，所抽取的2人来自于同一个组的概率为20在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（）求角C；（）若，求在方向上的投影与
27、在方向上的投影之和的取值范围【分析】（）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，根据范围，可求C的值（）依题意，根据平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换化简可得sin（A+），可求范围，进而根据正弦函数的性质即可求解解：（）因为，由正弦定理得：，化简得：，又sinA0，即：，；（）依题：在方向上的投影与在方向上的投影之和为：，由（）知：，因为ABC为锐角三角形，所以，即，故在方向上的投影与在方向上的投影之和的取值范围是：21宁夏西海固地区，在1972年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地区之一为改善这一地区人民生活的贫困状态，上世纪90年代，党中央和自治区政府决定开始吊庄
28、移民，将西海固地区的人口成批地迁移到更加适合生活的地区为了帮助移民人口尽快脱贫，党中央作出推进东西部对口协作的战略部署，其中确定福建对口帮扶宁夏，在福建人民的帮助下，原西海固人民实现了快速脱贫，下表是对2016年以来近5年某移民村庄100位移民的年人均收入的统计：年份20162017201820192020年份代码x12345人均年收入y（千元）1.32.85.78.913.8现要建立y关于x的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一：y（1）bx+a；模型二：y（2）cx2+d，即使画出y关于x的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型二的方程为y0.5x
29、2+0.8（）请你用最小二乘法原理，结合下面的参考公式求出模型一的方程（计算结果保留到小数点后一位）；（）请你用最小二乘法原理，比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型二的参考数据为参考公式：对于一组数据（u1，1），（u2，2），（un，n），其回归直线a+u的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，a【分析】（I）根据已知条件，结合回归直线a+u的斜率和截距的最小二乘法估计公式，即可求解（II）根据已知条件，求出模型一的参考数据，二者进行比较，即可求解解：（），则由参考公式可得，则模型一的回归方程为（）由模型一的回归方程可得：，0.42，0.42，故模型二的拟合效果更好22已知（sinx，c
30、osx），（cosx，cosx），f（x）（）（0）函数yf（x）的最小正周期为（）求函数f（x）在0，内的单调递增区间；（）若关于x的不等式在内恒成立，求实数m的取值范围【分析】（I）根据平面向量数量积的坐标运算，二倍角公式和辅助角公式将函数化简为f（x）sin（2x+），求得其解析式后，再结合正弦函数的单调性，得解；（II）根据两角和差公式和二倍角公式，可将原问题转化为m1在内恒成立，令tsinx+cosx，由辅助角公式求出t的范围，从而得h（t），结合其单调性，求出h（t）min，即可解：（I）依题：，yf（x）的最小正周期为，1，令2x+2k，2k+，kZ，则xk，k+，kZ，x0，f（x）在0，内的单调递增区间为，（II）在内恒成立，化简得：sin2x（m1）（sinx+cosx），即在内恒成立，记tsinx+cosxsin（x+），x，x+，t1，且2sinxcosx（sinx+cosx）2（sin2x+cos2x）t21，在上单调递增，h（t）minh（1）0，m10，即m1，故m的取值范围为（，1）