1、第27讲 平面向量的基本定理和向量的坐标运算【学习目标】1了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件【基础检测】1.已知向量 a(1，2)，b(2，0)，若向量 ab与向量 c(1，2)共线，则实数 等于()A.2 B.13C.1 D.23C【解析】ab(2，2)，向量 ab 与向量c(1，2)共线，(2)(2)210，1，故选 C.2.向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示.若 cab(，R)，则_.4【解析】设 i，j 分别为水平方向 和竖直方向上的正方向单位向量，则 aij
2、，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，即i3j(6)i (2)j，根 据 平 面 向 量 基 本 定 理 得16，32，解得2，12.所以4.故填 4.3.ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若CB a，CA b，|a|1，|b|2，则CD()A.13a23bB.23a13bC.35a45bD.45a35bB【解析】CD 为ACB 的角平分线，BDADBCAC12，AB CB CA ab，AD 23AB 23a23b，CD CA AD b23a23b23a13b，故选 B.4.已知向量 a(4，3)，b(2，1)，如果向量 ab 与 b 垂直，则|2ab|的
3、值为.5 5【解析】由题可知(ab)b0，即(42，3)(2，1)0，解得 1 所以 2ab(10，5)，|2ab|5 5.【知识要点】1平面向量基本定理如果 e1和e2是一个平面内的两个_向量，那么对于该平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2.我们把不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于平面上任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 axiyj.这样，平面内的任一向量 a 都可由 x，y惟一确定，我们把有序
4、数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a(x，y)，把 a(x，y)叫做向量的坐标表示，|a|x2y2叫做向量 a 的长度(模)不共线一、向量的坐标表示及其运算例1已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP OAtAB，试问：(1)当 t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P在第三象限内？(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由.【解析】(1)依题意，得AB(3，3)，OP OA tAB(13t，23t)，即 P(13t，23t).若 P 在 x 轴上，则 23t0，t23；若 P 在 y 轴上，则 13t0，t13；若
5、P 在第三象限内，则13t0，23t0.，t23.(2)OA(1，2)，PB(33t，33t)，若 OABP 是平行四边形，则OA PB，33t1，33t2.此方程无解.故四边形 OABP 不可能成为平行四边形.二、向量平行与垂直的条件及应用例2(1)已知OA(2，5)，OB(3，1)，OC(6，3)，在OC 上是否存在点 M，使MA MB，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.(2)设向量 a(4cos ，sin)，b(sin ，4cos)，c(cos ，4sin ).若 a 与 b2c 垂直，求 tan()的值；求|bc|的最大值；若 tan tan 16，求证：ab.【解析】
6、(1)设存在点 M，且OM OC(6，3)(01)，MA(26，53)，MB(36，13).MA MB，(26)(36)(53)(13)0，即 45248110，解得 13或 1115.OM(2，1)或OM 225，115.存在 M(2，1)或 M225，115 满足题意.(2)由 a 与 b2c 垂直，则 a(b2c)ab2ac0，即 4sin()8cos()0，tan()2.bc(sin cos，4cos 4sin)，|bc|2sin22sin cos cos216cos232cos sin 16sin21730sin cos 1715sin 2，最大值为 32，所以|bc|的最大值为 4
7、 2.tan tan sin sin cos cos 16，16cos cos sin sin，ab.【点评】弄清楚向量平行和垂直的等价转化条件即可.三、向量基本定理及应用例3如图，在ABC 中，AQ 12AC，AR 13AB，BQ 与 CR 交于点 O，AO 的延长线与边 BC 交于点 P.(1)用AB 和AC 表示BQ，CR；(2)如果AB BQ AC CR，求实数 和 的值.【解析】(1)BQ AQ AB 12AC AB，CR AR AC 13AB AC.(2)AB BQ AB 12AC AB (1)AB 12AC，AC CR AC 13AB AC (1)AC 13AB.AB BQ AC
8、 CR，(1)AB 12AC(1)AC 13AB，113，112，解得45，35.【点评】结合平面向量基本定理我们发现，一个平面向量方程相当于两个普通方程.若 e1，e2 是平面内的一组基底，则对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2 使 a1e12e2，简单地说，就是平面内任一向量均可由该平面内的两个不共线向量线性表示，且表示方式惟一.特别地，当 a0 即 1e12e20 时，必有 120.此题利用的是“基底方式”，即用 a，b 作为基底，选择两个参数，然后将同一向量作两种表示，由平面向量基本定理知系数对应相等，即可得关于，的方程组.应注意这种题型及相应的解法，它在近几年各地模拟题
9、中频繁出现.四、与向量相关的创新问题例4(1)在平面直角坐标系中，若 O 为坐标原点，则 A、B、C 三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数，使得OC OA(1)OB 成立，此时称实数 为“向量OC 关于OA 和OB 的终点共线分解系数”.若已知 P1(3，1)、P2(1，3)，且向量OP3 与向量 a(1，1)垂直，则“向量OP3 关于OP1 和OP2 的终点共线分解系数”为()A.3B.3 C.1 D.1D(2)在ABC 中，已知AB AC 9，sin Bcos Asin C，SABC6，P 为线段 AB 上的一点，且CPx CA|CA|y CB|CB|，则1x1y的最小值为()A.7
10、6B.712C.712 33D.76 33C【解析】(1)由OP3 与向量 a(1，1)垂直，可设OP3(t，t)(t0)，由OP3 OP1(1)OP2 得 (t，t)(3，1)(1)(1，3)(41，32)，41t，32t，两式相加得 220，1.(2)ABC 中,ABc，BCa，ACb，sin Bcos Asin C，sin(AC)sin Ccos A，即 sin Acos Csin Ccos Asin Ccos A，sin Acos C0，sin A0，cos C0，C90，AB AC 9，SABC6，bccos A9，12bcsin A6，tan A43，根据直角三角形可得 sin A
11、45，cos A35，bc15c5，b3，a4，以AC 所在的直线为 x 轴，以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系可得 C0，0 A3，0 B0，4，P 为 AB 线段上的一点，则存在实数 使得CPCA 1 CB 3，44 01，设 CA|CA|e1，CB|CB|e2，则|e1|e2|1，e11，0，e20，1，所以CPx CA|CA|y CB|CB|(x，0)(0，y)(x，y)，x3，y44，则 4x3y12，1x1y 1121x1y 4x3y 11274xy 3yx 712 33，故选择 C.备选题例5在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a，b，a b 1，ab0，点 Q 满
12、足OQ 2(ab).曲线 CP|OP acos bsin ，0 2 ，区 域 P|0r|PQ|R，rR.若 C 为两段分离的曲线，则()A.1rR3B.1r3RC.r1R3D.1r3RA【解析】设 a(1，0)，b(0，1)，则OQ(2，2)，OP(cos x，sin x)，区域表示的是平面上的点到点 Q(2，2)的距离从 r 到 R之间，如右图中的阴影部分圆环，要使 C为两段分离的曲线，则 1rR3，故选 A.【点评】知识：向量数量积的运算律，向量减法的几何意义.能力：题中根据向量OQ，OP 表示点 Q，P 的曲线考查运算求解能力，根据数形结合思想求出1rR3，考查抽象概括能力.1.向量的坐
13、标表示主要依据平面向量的基本定理，平面向量对应 实数对(x，y)，任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一.也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系，即实数对(x，y)一一对应OA 一一对应点A(x，y).2.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标.本讲易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆.3.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与
14、数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法.1.(2015 江苏)已知向量 a(2，1)，b(1，2)，若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_.3【解析】因为 manb(2mn，m2n)(9，8)，所以2mn9，m2n8，解得m2，n5，故 mn3.【命题立意】本题主要考查向量的坐标表示及运算.2.(2015 四川)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|6，|AD|4.若点 M，N 满足BM 3MC，DN 2NC，则AM NM(
15、)A.20 B.15 C.9 D.6C【解析】易知AM AB 34AD，NM CM CN 14AD 13AB，AM NM 14(4AB 3AD)112(3AD 4AB)148(16AB 29AD 2)148(1636916)9.【命题立意】本题主要考查向量的基本定理及数量积.1.已知平面向量 a(1，2)，b(2，m)，且 ab，则 2a3b 等于()A.(5，10)B.(4，8)C.(3，6)D.(2，4)B【解析】ab 12 2mm4，所以 2a3b(2，4)(6，12)(4，8).2.已知向量 a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数 k()A.92B.0C.3
16、 D.153C【解析】因为 a(k，3)，b(1，4)，所以 2a3b(2k3，6).又因为(2a3b)c，所以，(2a3b)c0，所以，2(2k3)(6)0，解得：k3，故选 C.3.在ABC 中，已知 a，b，c 分别为 A，B，C 所对的边，S 为ABC 的面积.若向量 p(4，a2b2c2)，q(3，S)，且满足 pq，则 C()A.6B.3C.23D.56B【解析】由 pq 得 4S 3(a2b2c2)2absin C，结合余弦定理得 tan C 3，C3.故选 B.4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1，0)，B(0，1)，点 C 在第二象限内，AOC56，且|OC|2，若
17、OC OA OB，则，的值是()A.3，1 B.1,3C.1,3D.3，1D【解析】因为AOC56，所以56.依题意，OC(，)，|OC|cos 56 3，|OC|sin 56 1.故选 D.5.如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上的一点，OP xOA yOB，且BP2PA，则()A.x23，y13B.x13，y23C.x14，y34D.x34，y14A【解析】由题意，BP2PA，BO OP 2PO2OA，即 3OP OB 2OA，OP 13OB 23OA，即 x23，y13，故选 A.6.在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD的中点，DE 交 AF 于 H，记AB，BC
18、分别为 a，b，则AH()A.25a45bB.25a45bC.25a45bD.25a45bB【解析】设AH AF，DH DE.而DH DA AH bAF bb12a，DH DE a12b.因此，a12b bb12a.由于 a，b 不共线，因此由平面向量的基本定理有12，121.解之得45，25.故AH AF b12a 25a45b.故选 B.7.设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD12AB，BE23BC.若DE 1AB 2AC(1，2 为实数)，则 12 的值为_.12【解析】DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23(AC AB)16AB 23AC，1212.故
19、填12.8.如图，在ABC 中，H 为 BC 上异于 B，C 的任一点，M 为 AH 的中点，若AM AB AC，则 _.12【解析】由 B，H，C 三点共线，可令AH xAB(1x)AC.又 M 是 AH 的中点，所以AM 12AH 12xAB12(1x)AC.又AM AB AC，所以 12x12(1x)12.故填12.9.如图，梯形 OABC 中，OAOC2AB1，OCAB，AOC3，设OM OA，ON OC(0，0)，OG 12(OM ON).(1)当 12，14时，点 O，G，B 是否共线，请说明理由；(2)若OMN 的面积为 316，求OG 的最小值.【解析】(1)当 12，14时，OB OA AB OA 12OC，OG 12OM ON 1212OA 14OC 14OA 12OC，OB 4OG，OB OG，O，G，B 三点共线.(2)SOMN12OM ON sin3 34 316，14.OG 12OM ON 12OA OC，OG 2142OA 22OC 22OA OC 14222cos3 1422 34 316，当且仅当 12时取等号，OG 的最小值是 34.