1、数 学 试 题 (总分160分，考试时间120分钟)参考公式1锥体的体积公式：，其中为底面积,为高.2样本数据的方差，标准差为，其中.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合，则集合的子集的个数为 .2若复数满足（为虚数单位），则 .3甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的个红球和个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为 .4已知一组数据的方差是，则数据的标准差为 . 5如图所示，该伪代码运行的结果为 .6以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为 .7设分别为三棱
2、锥的棱的中点，三棱锥的体积记为，三棱锥的体积记为，则= .8已知实数满足约束条件，则的最大值为 .9若是定义在上的偶函数，则 .10已知向量满足，则向量的夹角为 .11已知线段的长为，动点满足（为常数），且点总不在以点为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值是 .12若函数的图象上有且只有两点，使得函数的图象上存在两点，且与、与分别关于坐标原点对称，则实数的取值集合是 .13若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是. 现已知数列是等比数列，且，则数列中满足的正整数的个数为 .14在中，角所对的边分别为，若为锐角三角形，且满足，则的取
3、值范围是 .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分14分)在中，角所对的边分别为，已知,（1）当成等差数列时，求的面积；（2）设为边的中点，求线段长的最小值16(本小题满分14分)如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.17(本小题满分14分) 一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边上分别取点（不与正方形的顶点重合），连接，使得. 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，部分规划为蜂巢区，部分规划为蜂蜜交易区.
4、 若蜂源植物生长区的投入约为元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？ 18(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上两点，圆.（1）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；（2）若圆的半径为，点满足，求直线被圆截得弦长的最大值. 19(本小题满分16分)已知函数（）.（1）若函数的最小值为，求的值；（2）设函数，试求的单调区间；（3）试给出一个实数的值，使得函数与的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.20(本小题满分16分)已知数列满足，其前项和为.（1）当与满足什么关系时，对任
5、意的，数列都满足？（2）对任意实数，是否存在实数与，使得与是同一个等比数列？若存在，请求出满足的条件；若不存在，请说明理由；（3）当时，若对任意的，都有，求实数的最大值.数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21选做题（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） A.（选修41：几何证明选讲）如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点，垂直的延长线于点，连结.求证：.B.（选修42：矩阵与变换）已知矩阵的两个特征向量，若，求.C（选修44：坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为，试判断直线与曲线的位置关系.D(选修
6、45：不等式选讲）已知正数满足，求的最小值.必做题（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）22（本小题满分10分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙、乙胜丙的概率都为，各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.（1）求第局甲当裁判的概率；（2）记前局中乙当裁判的次数为，求的概率分布与数学期望.23（本小题满分10分） 记.（1）求的值；（2）当时，试猜想所有的最大公约数，并证明.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.18 2. 3.
7、4. 5. 11 6. 7. 8. 9. 10. （或） 11. 12. 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15解：（1）因为成等差数列，所以， 2分由余弦定理，得，解得， 6分从而. 8分（2）方法一：因为为边的中点，所以， 10分则 12分，当且仅当时取等号，所以线段长的最小值为. 14分方法二：因为为边的中点，所以可设，由，得，即， 10分又因为，即，所以， 12分故，当且仅当时取等号，所以线段长的最小值为. 14分G16证明：（1）取的中点，连接. .2分因为分别是的中点，所以，且，又是的
8、中点，所以，且，所以，且，所以是平行四边形，故. .4分又平面，平面，所以平面. .6分（说明：也可以取中点，用面面平行来证线面平行）（2）因为底面，底面，所以. .8分取中点，连接.因为是矩形，且，所以都是正方形，所以，即. .10分又是平面内的两条相交直线，所以平面. .12分而平面，所以平面平面. .14分17解：解法一：设阴影部分面积为，三个区域的总投入为. 则，从而只要求的最小值. .2分设，在中，因为，所以，则； .4分又，所以， .6分所以， .8分令，则 .10分，当且仅当，即时取等号. .12分从而三个区域的总投入的最小值约为元. .14分（说明：这里的最小值也可以用导数来求
9、解：因为，则由，得.当时，递减；当时，递增.所以当时，取得最小值为.）解法二：设阴影部分面积为，三个区域的总投入为.则，从而只要求的最小值. .2分如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设直线的方程为，即，因为，所以直线的斜率为，从而直线方程为. .6分在方程中，令，得，所以；在方程中，令，得，所以；从而. .10分以下同方法一. .14分解法三：设阴影部分面积为，三个区域的总投入为.则，从而只要求的最小值. .2分设，则. .4分因为，所以， .8分所以， .10分即，解得，即取得最小值为，从而三个区域的总投入的最小值约为元. .14分18解：（1）因为椭圆的方程为，所以，
10、. .2分因为轴，所以，而直线与圆相切，根据对称性，可取， .4分则直线的方程为，即. .6分由圆与直线相切，得，所以圆的方程为. .8分（2）易知，圆的方程为.当轴时，所以，此时得直线被圆截得的弦长为. .10分当与轴不垂直时，设直线的方程为，首先由，得，即，所以 （*）. .12分联立，消去，得，将代入（*）式，得. 14分由于圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为，故当时，有最大值为.综上，因为，所以直线被圆截得的弦长的最大值为. 16分19解：（1）由题意，得函数，所以，当时，函数在上单调递增，此时无最小值，舍去； 2分当时，由，得. 当，原函数单调递减；，原函数单调递增.所以时
11、，函数取最小值，即，解得. 4分（2）由题意，得，则， 6分当时，函数在上单调递增； 当时，由，得或，（A）若，则，此时，函数在上单调递减；（B）若，则，由，解得，由，解得，所以函数在上单调递增，在与上单调递减；（C）若，则，同理可得，函数在上单调递增，在与上单调递减.综上所述，的单调区间如下：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数的增区间为，减区间为与；当时，函数的增区间为，减区间为与. 10分（3）符合题意. 12分理由如下：此时.设函数与上各有一点，则以点为切点的切线方程为，以点为切点的切线方程为，由两条切线重合，得 （*）， 14分消去，整理得，即， 令，得，所以函
12、数在单调递减，在单调递增， 又，所以函数有唯一零点，从而方程组（*）有唯一解，即此时函数与的图象有且只有一条公切线.故符合题意. 16分20. 解：（1）由题意，得，首先由，得. 2分当时，因为，所以，故对任意的，数列都满足.即当实数满足时，题意成立. 4分（2）依题意，则，因为，所以当时，是等比数列，且.为使是等比数列，则.同理，当时，则欲是等比数列，则. 8分综上所述：若，则不存在实数，使得与是等比数列；若，则当满足时，与是同一个等比数列. 10分（3）当时，由（2）可得，当时，所以3， 令，则，所以， 13分当时，所以，同理可得，综上所述，实数的最大值为1. 16分附加题答案21. A、
13、证明：连结，是圆的直径，, 4分又，所以四点共圆，. 10分 B、解：设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，则由可解得：， 4分又， 6分所以. 10分C、解：直线的普通方程为； 曲线的直角坐标方程为：，它表示圆. 4分 由圆心到直线的距离，得直线与曲线相交. 10分D、解： 4分，（当且仅当时等号成立）所以的最小值为. 10分22解：（1）第2局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为，所以第3局甲当裁判的概率为. 4分（2）可能的取值为. 5分； 6分； 7分. 8分所以的数学期望. 10分23解：（1）因为，所以. 3分（2）由（1）中结论可猜想所有的最大公约数为. 4分下面用数学归纳法证明所有的都能被整除即可.（）当时，能被整除，结论成立； 5分（）假设时，结论成立，即能被整除， 则当时， 7分 ，此式也能被整除，即时结论也成立.综上所述，所有的最大公约数为. 10分版权所有：高考资源网()