1、第3讲推理与证明【高考考情解读】1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大1 合情推理(1)归纳推理归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的所有对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理归纳推理的思维过程如下：(2)类比推理类比推理是由两类对象具有某些类
2、似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理类比推理的思维过程如下：2 演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般性原理小前提所研究的特殊情况结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确3 直接证明(1)综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，
3、Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为(2)分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为得到一个明显成立的条件4 间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用如图所示的框图表示考点一归纳推理例1(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形
4、数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.答案1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)n2n，N(10,24)100101 1001001 000. 归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠 (1)在数列an中，若a12，a26，且当nN*时，an2是anan1的个位数字，则a2 014等于()A2 B4 C6 D
5、8答案A解析由a12，a26，得a32，a42，a54，a68，a72，a86，据此周期为6，又2 01463354，所以a2 014a42，故答案选A.(2)(2012江西)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A28 B76 C123 D199答案C解析令ananbn，则a11，a23，a34，a47，得an2anan1，从而a618，a729，a847，a976，a10123.考点二类比推理例2(1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的
6、内切球体积为V1，外接球体积为V2，则_.(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆1(ab0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOMkAB.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线1(a0，b0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOMkAB_.答案(1)(2)解析(1)本题考查类比推理，也即是由特殊到特殊的推理平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则有将A，B代入双曲线1中得1，1，两式相减得，即，即，即kOM
7、kAB. 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比；也可以由解题方法上的类似引起，当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，本题即属于此类一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等 (1)若数列an是等差数列，bn，则数列bn也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()Adn BdnCdn Ddn(2)命题p：已知椭圆1(
8、ab0)，F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线1(ab0)，F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作F1PF2的_的垂线，垂足为M，则OM的长为定值_答案(1)D(2)内角平分线a解析(1)由an为等差数列，设公差为d，则bna1d，又正项数列cn为等比数列，设公比为q，则dnc1q，故选D.(2)对于椭圆，延长F2M与F1P的延长线交于Q.由对称性知，M为F2Q的中点，且PF2PQ，从而OMF1Q且OMF1Q.而F1QF1PPQF1PPF22a，所以
9、OMa.对于双曲线，过F2作F1PF2内角平分线的垂线，垂足为M，类比可得OMa.因为OMF1Q(PF1PF2)2aa.考点三直接证明与间接证明例3已知数列an满足：a1，anan10 (n1)；数列bn满足：bnaa (n1)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列(1)解已知化为，而1a，所以数列1a是首项为，公比为的等比数列，则1an1，则a1n1，由anan10，知数列an的项正负相间出现，因此an(1)n1 ，bnaann1n1.(2)证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整数，可设mnp，而bn
10、n1随n的增大而减小，那么只能有2bnbmbp，可得2n1m1p1，则2nm1pm.当nm2时，2nm22，上式不可能成立，则只能有nm1，此时等式为1pm，即pm，那么pmlog，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等所以假设不成立，那么数列bn中的任意三项不可能成等差数列 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用 已知数列an和bn满足：a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为正整数(1)对任意实数
11、，证明：数列an不是等比数列；(2)试判断数列bn是否为等比数列(1)证明假设存在一个实数，使an是等比数列，则有aa1a3，即22492490，矛盾所以an不是等比数列(2)解因为bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n(an3n21)bn，又b1(18)，所以当18时，bn0 (nN*)，此时bn不是等比数列；当18时，b1(18)0，由bn1bn，可知bn0，所以 (nN*)故当18时，数列bn是以(18)为首项，为公比的等比数列；综上知，当18时，数列bn构不成等比数列；当18时，数列bn是以(18)为首项，为公比的等比数列1 合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“
12、情理”，其中主要是归纳推理与类比推理归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式2 直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程1 将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为_答案2 013解析观察数阵，记第n行的第1个数为an，则有a2a12，a3a24，a4a36，a5a48，anan12(n1)将以上各等式两边分别相加，得ana124682(n1)n(n1)，所以ann(n1)1，
13、所以a451 981.又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1 9811622 013.2 在计算“1223n(n1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项，k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得12(123012)，23(234123)，n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1)相加，得1223n(n1)n(n1)(n2)类比上述方法，计算“123234n(n1)(n2)”的结果为_答案n(n1)(n2)(n3)解析类比k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，可得到k(k1)(k2)k(k1)(k2)(k3)
14、(k1)k(k1)(k2)，先逐项裂项，然后累加即得n(n1)(n2)(n3)(推荐时间：60分钟)一、选择题1 下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是()Aann2n1 BanCan Dan答案C解析从图中观察五角星构成规律，n1时，有1个；n2时，有3个；n3时，有6个；n4时，有10个；所以an1234n.2 已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2，所以不正确；对于，其假设正确3 已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列an是等差数列，a30，则f(a1)f(a3)f(a5)的值()A恒为正数 B恒为负数C恒为0
15、D可正可负答案A解析由已知得f(0)0，a1a52a30，所以a1a5.由于f(x)单调递增且为奇函数，所以f(a1)f(a5)f(a5)f(a5)0，f(a3)0.选A.4 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个数对是()A(7,5) B(5,7) C(2,10) D(10,1)答案B解析依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n1，且每组共有n个整数时，这样的前n组一共有个整数时，注意到600)，对任意的正整数n，Sna1a2an，并有Sn满
16、足Sn.(1)求a的值并证明数列an为等差数列；(2)令pn，是否存在正整数M，使不等式p1p2pn2nM恒成立，若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由解(1)由已知，得S1a1a，所以a0.由a10得Sn，则Sn1，2(Sn1Sn)(n1)an1nan，即2an1(n1)an1nan，于是有(n1)an1nan，并且nan2(n1)an1，nan2(n1)an1(n1)an1nan，即n(an2an1)n(an1an)，则有an2an1an1an，an为等差数列(2)由(1)得Sn，pn2，p1p2p3pn2n2n21.由n是整数可得p1p2p3pn2n3.故存在最小的正整数M3，使不等式p1p2p3pn2nM恒成立