1、第33讲 等差、等比数列的性质及综合应用【学习目标】运用类比的思想理解并记忆等差、等比数列的常用性质掌握性质运用的方法与技巧，并能综合等差、等比数列的基本公式进行灵活运用【基础检测】1.在等差数列an中，若a24，a42，则a6()A.1 B.0 C.1 D.6B【解析】由等差数列的性质知a2，a4，a6成等差数列，所以a2a62a4，所以a62a4a20.故选B.2.已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A.21 B.42 C.63 D.84B【解析】由a13，得a1a3a53(1q2q4)21，所以1q2q47，即(q23)(q22)0，解得q22，所以a3a5a
2、7(a1a3a5)q221242，故选B.3.在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.10【解析】a3a4a5a6a75a525，a55，a2a82a510.4.已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于.2n1【解析】设数列an的公比为q，由a2a3a1a48，a1a49知a1，a4是一元二次方程x29x80的两根，解此方程得x1或x8.又数列an递增，因此a11，a4a1q38，解得q2，故数列an的前n项和Sn1（12n）122n1.【知识要点】1等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anak(nk)d(n，kN*)(2)若an为
3、等差数列，且 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq.(3)若an是等差数列，公差为 d，则 an，anm，an2m，(n，mN*)是公差为_的等差数列(4)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.md2等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：_(n，mN)(2)若an为等比数列，且 klmn(k，l，m，nN)，则_(3)若等比数列an的公比为 q，则1an 是以1q为公比的等比数列(4)若公比不为1 的等比数列an的前 n 项的和为Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n 仍成等比数列anamqnmakalaman一、等差数列的性质及应
4、用例1(1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A.13 B.12 C.11 D.10(2)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.(3)设Sn为等差数列an的前n项和，(n1)SnnSn1(nN*).若a8a71，则()A.Sn的最大值是S8 B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7 D.Sn的最小值是S7A60D【解析】(1)因为a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因为a1ana2an1a3an2，所以3(a1an)180，从而a1an60
5、，所以Sn n（a1an）2n602 390，即n13.(2)S10，S20S10，S30S20成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.(3)由条件得 Snn Sn1n1，即 n（a1an）2n（n1）（a1an1）2（n1），所以anan1，所以等差数列an为递增数列.又a8a71，所以a80，a70，即数列an前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选D.【点评】一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程.但要注意性质运用的条件，如mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立.二
6、、等比数列的性质及应用例2(1)设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6()A.31 B.32 C.63 D.64(2)数列an中，已知对任意nN*，a1a2a3an3n1，则a21a22a23a2n等于()A.(3n1)2 B.12(9n1)C.9n1 D.14(3n1)(3)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.CB50【解析】(1)由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即 1223(S615)，解得 S663.故选 C.(2)a1a2an3n1，nN*，n2 时，a1a2an13n11，当 n2
7、 时，an3n3n123n1，又 n1 时，a12 适合上式，an23n1，故数列a2n是首项为 4，公比为 9 的等比数列.因此 a21a22a2n4（19n）1912(9n1).(3)由等比数列的性质可知，a10a11a9a122e5，所以 a10a11e5，于是 ln a1ln a2ln a2010ln(a10a11)10ln e550.【点评】(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的
8、运用.三、等差、等比数列综合例3 已知等比数列an为递增数列，且a 25 a10，2(anan2)5an1，nN*.(1)求an；(2)令cn1(1)nan，不等式ck2017(1k100，kN*)的解集为M，求所有ak(kM)的和.【解析】(1)设an的首项为 a1，公比为 q，(a1q4)2a1q9，解得 a1q，又2(anan2)5an1，2(ananq2)5anq，则 2(1q2)5q，2q25q20 解得 q12(舍)或q2.an22n12n.(2)由(1)可得：cn11 nan12 n，当n为偶数，cn12n2 017，即2n2 016，不成立.当n为奇数cn12n2 017，即2
9、n2 016，2101 024，2112 048，n2m1，5m49，ak(kM)组成首项为211，公比为4的等比数列.则所有ak(kM)的和211（1445）1421012 0483.例4已知数列an的前 n 项和为 Sn，向量 a(Sn，1)，b2n1，12，满足条件 ab，R 且 0.(1)求数列an的通项公式；(2)设函数 f(x)12x，数列bn满足条件 b12，f(bn1)1f（3bn），(nN*).求数列bn的通项公式；设 cnbnan，求数列cn的前 n 和 Tn.【解析】(1)因为ab，所以12Sn2n1，Sn2n12.当n2时，anSnSn1(2n12)(2n2)2n，当n
10、1时，a1S121122，满足上式，所以an2n.(2)f(x)12x，f(bn1)1f（3bn），12bn11123bn，121122nnbb，bn1bn3，bn1bn3，又b12，bn 是以2为首项，3为公差的等差数列，bnan3n12n，Tn 221 522 8233n42n1 3n12n 12Tn 222 523 8243n42n3n12n1 得12Tn1 322 323 324 32n3n12n1 12Tn13141 12n11123n12n1，Tn231 12n1 3n12n 23 32n13n12n53n52n.【点评】(1)由ab可得Sn2n12，然后利用anSnSn1(n2)
11、求得数列an的通项公式；(2)再由f(x)12x，f(bn1)1f（3bn），得到bn1bn3，说明 bn 是以2为首项，3为公差的等差数列.由等差数列的通项公式可得bn；把数列an、bn 的通项公式代入cn bnan，然后利用错位相减法求数列cn的前n和Tn.备选题 例5 在等差数列an中，a3a4a584，a973.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中落入区间(9m，92m)内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.【解析】(1)由a3a4a584，a973可得3a484，a428，而a973，则5da9a445，d9，a1a43d28271，于是an1(n1
12、)99n8，即an9n8(nN*).(2)对任意mN*，9m9n892m，则9m89n92m8，即9m189n0，a7a10S3S5S2n123a1，当n是偶数时，Sn23a1112n，单调递增，S2S4S6S2n23a1；综上，当n1时，Sn有最大值为S12 017;当n2时，Sn有最小值为S22 0172.(2)|an|随n增大而减小，数列an的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增.当n是奇数时，调整为an1，an2，an.则an1ana112na112n1a12n，2an22a112n1a12n，an1an2an2，an1，an2，an成等差数列；当n是偶数时，调整为an，an2，an1；则an1ana112na112n1a12n，2an22a112n1a12n，an1an2an2，an，an2，an1成等差数列；综上可知，数列an中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.n是奇数时，公差dnan2an1a112n112n 3a12n1；n是偶数时，公差dnan2ana112n112n1 3a12n1.无论n是奇数还是偶数，都有dn 3a12n1，则 dndn112，因此，数列dn是首项为34a1，公比为12的等比数列.