1、4.5.2 用二分法求方程的近似解 基础预习初探问题1.在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手某次竞猜的物品为价格在1 000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”(1)如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗？提示：接下来应该猜“600”，即区间400，800的中点(2)通过这种方法能猜到具体价格吗？提示：可以，通过不断地缩小价格所在的区间，直至猜到手机的价格(3)同样，上节课我们已经知道f(x)ln x2x6的零点在区间(2，3)内，那么如何缩小零点所在区间(2，3)呢？提示：取区间(2
2、，3)的中点x02.5，验证f(2)f(2.5)0是否成立，若成立，则函数f(x)的零点在区间(2，2.5)内，否则在区间(2.5，3)内 问题2.如图所示，f(x)的图象与x轴有一个交点，如何求方程f(x)0的解？假设在区间1，5上，f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(1)f(5)0，如何按照二分法的思想求方程f(x)0的一个解？提示：取1，5的中点2，因为f(5)0，f(2)0，即f(2)f(5)0.所以在区间2，5内有方程的解 于是再取2，5的中点3.5这样继续下去，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)0，则x0就是所求的一个解；如果区间中的点的函数值总不等于零，那么，不断地重复
3、上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解【概念生成】1二分法的概念对于在区间a，b上图象连续不断且_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的_f(a)f(b)0一分为二逐步逼近零点近似解2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定零点x0的初始区间a，b，验证_；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；若_，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0此时零点x0_，则令bc；若f
4、(c)f(b)0此时零点x0_，则令ac.(4)判断是否达到精确度：即若_，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4).f(a)f(b)0f(c)0(a，c)(c，b)|ab|核心互动探究探究点一 二分法概念的理解【典例 1】(1)已知函数 f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4，4 B3，4 C5，4 D4，3(2)下列关于函数f(x)，xa，b的命题中正确的是()A若x0a，b且满足f(x0)0，则x0是f(x)的一个零点B若x0是f(x)在a，b上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C函数f(x)的零点是方程f(x)0的根，但f(x)0的根不
5、一定是函数f(x)的零点D用二分法求方程的根时，得到的都是近似解【思维导引】零点附近连续 零点左右函数值异号【解析】(1)选D.图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.(2)选A.使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确【类题通法】1准确理解“二分法”的含义二分就是平均分成两部分二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近
6、似地表示真正的零点2“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点【定向训练】1下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是()【解析】选A.根据题意，利用二分法求函数零点的条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x轴，据此分析选项：A选项中函数不能用二分法求零点2用二分法求函数f(x)在区间a，b内的零点时，需要的条件是()f(x)在区间a，b上是连续不断的；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0.ABCD【解析】选A.由二分法的定义可推断出【跟踪训练】利用计
7、算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2xx2一定有一个根位于区间()A(0.6，1.0)B(1.4，1.8)C(1.8，2.2)D(2.6，3.0)x0.20.61.01.41.82.22.63.0y2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.0yx20.040.361.01.963.244.846.769.0【解析】选C.判断函数f(x)2xx2在各个区间两端点的符号，若满足条件f(a)f(b)0，f(1.0)2.01.00，故排除A；由于f(1.4)2.6391.960，f(1.8)3.4823.240，故排除B；由于f(1.8)3.4823.24
8、0，f(2.2)4.5954.840，故可确定方程2xx2一定有一个根位于区间(1.8，2.2).探究点二 利用二分法求方程的近似解【典例 2】借助计算器或计算机，用二分法求方程 3x xx1 0 的近似解(精确度为0.1).【思维导引】借助函数图象的交点确定初始区间后用二分法求根的近似解【解析】原方程可化为3x 1x1 10，即3x 1x1 1，在同一坐标系中，分别画出函数g(x)3x与h(x)1x1 1的简图，如图所示：因为g(x)与h(x)的图象交点的横坐标位于区间(1，0)且只有一个交点，所以原方程只有一解，设为xx0.令 f(x)3x xx1 3x 1x1 1，因为 f(0)1111
9、0，f(0.5)13 211 330，所以 x0(0.5，0).用二分法求解，列表如下：中点值中点(端点)函数值取值区间f(0.5)0，f(0)0(0.5，0)x10.5020.25f(0.25)0(0.5，0.25)中点值中点(端点)函数值取值区间x20.50.2520.375f(0.375)0(0.5，0.375)x30.50.37520.437 5f(0.437 5)0(0.437 5，0.375)因为|0.375(0.437 5)|0.062 50.1，所以原方程的近似解可取为0.375.【类题通法】用二分法求方程近似解的关注点(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要
10、使其长度尽量小，(2)要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求(达到给定的精确度)以决定是停止计算还是继续计算【定向训练】利用计算器，求方程lg x2x的近似解(精确度为0.1)【解析】作出ylg x，y2x的图象，可以发现，方程lg x2x有唯一解，记为x0，并且解在区间1，2内设f(x)lg xx2，用计算器计算得f(1)0，f(2)0 x1，2；f(1.5)0，f(2)0 x1.5，2；f(1.75)0，f(2)0 x1.75，2；f(1.75)0，f(1.875)0 x1.75，1.875；f(1.75)0，f(1.812 5)0 x1.75，1.812 5.因为1
11、.812 51.750.06250.1，所以方程lg x2x的近似解可取为1.75.【跟踪训练】已知二次函数 f(x)x2x6 在区间1，4上的图象是一条连续的曲线，且 f(1)60，由函数零点的性质可知函数在1，4内有零点，用二分法求解时，取(1，4)的中点 a，则 f(a)_.【解析】显然(1，4)的中点为2.5，则f(a)f(2.5)2.522.562.25.答案：2.25探究点三 利用二分法求函数零点的近似值【典例 3】用二分法求函数 yx33 的一个正零点(精确度为 0.01).【思维导引】选定区间1，2用二分法逐次计算判断是否达到精确度取正零点【解析】由于f(1)20，f(2)50
12、，因此可取区间1，2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见表如下：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第1次1225第2次121.50.375第3次1.251.046 91.50.375第4次1.3750.400 41.50.375第5次1.437 50.029 51.50.375第6次1.437 50.029 51.468 750.168 4第7次1.437 50.029 51.453 1250.068 38第8次1.437 50.02951.445 312 50.019 2由于|1.445 312 51.4375|0.007 812 50，f(9)log3940，故函数f(x)在区间
13、(5，9)内有零点；取(5，9)的中点7，则f(7)log3720，从而零点在(6，7)内；取(6，7)的中点6.5，则f(6.5)log36.51.50，从而该零点在(6.5，7)内；继续运用二分法，直至取到(6.687 5，6.75)，因为|6.687 56.75|0.062 50.1；不妨设根在(2，3)内，第二次等分，则根在区间(2，2.5)内或(2.5，3)内，此时精确度0.1；不妨设根在(2，2.5)内，第三次等分，则根在区间(2，2.25)内或(2.25，2.5)内，此时精确度0.1；不妨设根在(2，2.25)内，第四次等分，则根在区间(2，2.125)内或(2.125，2.25
14、)内，此时精确度0.1；不妨设根在(2，2.125)内，第五次等分，则根在区间(2，2.062 5)内或(2.062 5，2.125)内，此时精确度0.1.满足题目要求，故至少要等分5次答案：5次【课堂小结】课堂素养达标1用二分法求函数f(x)3x7的零点时，初始区间可选为()A(1，0)B(0，1)C(1，2)D(2，3)【解析】选C.f(1)31713 72030，f(0)3071760，f(1)31740，f(2)3279720，故函数f(x)的零点在区间(1，2)上，故初始区间可选为(1，2).2下面关于二分法的叙述中，正确的是()A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近
15、似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循，无法在计算机上完成D只能用二分法求函数的零点【解析】选B.用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误3若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么函数零点的一个近似解(精确度为0.1)为()A1.2 B1.3 C1.4 D1.5f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5)0162f(1.406 25)
16、0.054【解析】选C.由参考数据可知，函数f(x)的零点在区间(1.25，1.375)，(1.375，1.406 25)，(1.406 25，1.437 5)内，由于1.3751.250.1250.1，1.406 251.3750.031 250.1，1.437 51.406 250.031 250.1.故函数的零点可以在区间(1.406 25，1.437 5)中取故选项C符合4已知图象连续不断的函数yf(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为_【解析】设等分的最少次数为n，则由0.12n 10，所以n的最小值为4.答案：45用“二分法”求方程x32x50在区间2，3内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是_【解析】令f(x)x32x5，则f(2)10，f(2.5)15.625105.6250.因为f(2)f(2.5)0，所以下一个有根的区间为2，2.5).答案：2，2.5)