1、第7讲双曲线(一)1双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)当ac时，M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)渐近线yxyx离心率e，e(1
2、，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线1双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.3若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则SPF1F2，其中为F1PF2.4若P是双曲线1(a0，b0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为
3、双曲线的左、右焦点，I为PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.5等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项1(2019浙江高考)渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是()A B1 C D2答案C解析由题意可得1，e.故选C2设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于()A1 B17C1或17 D以上均不对答案B解析根据双曲线的定义得|PF1|PF2|8|PF2|1或17.又|PF2|ca2，故|PF2|17，故选B.3若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线
4、的离心率为()A BC D答案D解析由已知可得双曲线的渐近线方程为yx，点(3，4)在渐近线上，又a2b2c2，c2a2a2a2，e.故选D4(2021全国甲卷)点(3,0)到双曲线1的一条渐近线的距离为()A B C D答案A解析由双曲线的方程知，a4，b3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为yx，即3x4y0，由点到直线的距离公式，得点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离为.故选A5(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_.答案yx解析因为双曲线x21(b0)经过点(3,4)，所以91(b0)，解得b，即双曲线
5、方程为x21，其渐近线方程为yx.6已知曲线方程1，若方程表示双曲线，则的取值范围是_.答案1解析方程1表示双曲线，(2)(1)0，解得1.考向一双曲线的定义例1(1)(2020全国卷)设F1，F2是双曲线C：x21的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的面积为()A B3 C D2答案B解析双曲线的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，因为|OP|2|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216.又|PF1|PF2|2a2，所以4|PF1|PF2|2|P
6、F1|2|PF2|22|PF1|PF2|162|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|6，所以SPF1F2|PF1|PF2|3.故选B.(2)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.答案x21(x1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M
7、的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)(1)抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键；利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：距离之差的绝对值；2a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，PF1F230，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为()A1 B1C1 Dx21答案D解析由题意可知|PF1|，|PF2|，2b2，由双曲线的定义可得2a，即ca.又b，c2a2b2，a1，双曲线的标准方程
8、为x21，故选D(3)经过点P(3,2)，Q(6，7)的双曲线的标准方程为_.答案1解析设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双曲线的标准方程为1. 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴还是在y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为(0)，再根据条件求的值注意：双曲线与椭圆标准方程均可设为mx2ny21(mn0)，其中m0且n0，且mn时表示椭圆；mn0)；()已知渐近线方程为0
9、的双曲线，可设为(0)双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支若是双曲线的一支，则需确定是哪一支3.(2021北京高考)双曲线C：1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()Ax21 By21Cx21 Dy21答案A解析e2，c2a，ba，则双曲线的方程为1，将点(，)代入双曲线的方程可得1，解得a1，故b，因此，双曲线的方程为x21.故选A4已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()Ay21(y1)By21Cy21Dx21答案A解析由题意，得
10、|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支在双曲线中，c7，a1，b248，轨迹方程为y21(y1)多角度探究突破考向三双曲线的几何性质角度双曲线离心率问题例3(1)(2021全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则C的离心率为()A B C D答案A解析由|PF1|3|PF2|，|PF1|PF2|2a，得|PF2|a，|PF1|3a，在F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2
11、|cosF1PF2，即(2c)2(3a)2a223aacos60，所以C的离心率e.故选A(2)若斜率为的直线与双曲线1(a0，b0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是()A(1,2) B(2，)C(1，) D(，)答案D解析因为斜率为的直线与双曲线1恒有两个公共点，所以，则e ，所以双曲线离心率的取值范围是(，)，故选D 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围5.(多选)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(2，0)，点P的坐标为(0,1)
12、，点Q为双曲线C左支上的动点，且PQF的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为()A B2 C D3答案AC解析设双曲线C的左焦点为F，则|QF|QF|2a，即|QF|QF|2a，故|QF|PQ|QF|PQ|2a|PF|2a.由题意可得|PF|PF|5，所以|PQ|QF|PF|2|PF|2a14，所以a2，则双曲线C的离心率e.因为e1，所以双曲线C的离心率的取值范围为(1，故选AC6(2022广东湛江模拟)已知点F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A(1，) B(，2)
13、C(1，) D(1,1)答案D解析依题意，得0AF2F1，故0tanAF2F11，则1，即e2，e22e10，(e1)22，又e1，所以1e0，b0)的渐近线与圆(x2)2y21相切，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCy3x Dyx答案B解析由题可知双曲线C的渐近线方程为yx，圆心为(2,0)，半径为1，易知圆心到渐近线的距离d1，故4b2a2b2，即3b2a2，则，故双曲线C的渐近线方程为yx，故选B.(2)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，|2|2m(m0)，m2，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx
14、 Dyx答案D解析因为|PF1|PF2|2a，|2|2m，所以m2a.由m2可得4a2acosF1PF24a2，所以F1PF260，所以|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60，即有4c216a24a224a2a12a2，即c2a2b23a2，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.故选D (1)渐近线的求法：求双曲线1(a0，b0)的渐近线的方法是令0，即得两渐近线方程0.(2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.7.(2021湖南3月联考)赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家
15、庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，由匠师李春设计建造，距今已有1400余年的历史赵州桥的桥拱的跨度为37.7米，拱矢(拱顶至石拱两脚连线的高度)为7.23米设拱弧(假设桥拱的曲线是圆弧)的半径为R米，r为R精确到整数部分的近似值已知双曲线C：1(a0)的焦距为r，则C的离心率为(参考数据：7.23218.852407.6)()A5 B6 C7 D8答案C解析由题意知，R22(R7.23)2，14.46R7.23218.852407.6，R28.19，r28，a21922142196，a2，离心率e7.故选C8(多选)(2021山东烟台模拟)已知双曲线C过点(3，)且渐近线方程为yx，则下列结论正确
16、的是()AC的方程为y21BC的离心率为C曲线yex21经过C的一个焦点D直线xy10与C有两个公共点答案AC解析因为渐近线方程为yx，所以可设双曲线方程为，将(3，)代入，得，所以双曲线方程为y21，A正确；该双曲线的离心率为，B不正确；双曲线的焦点为(2,0)，曲线yex21经过双曲线的焦点(2,0)，C正确；把xy1代入双曲线方程，得y22y20，解得y，故直线xy10与曲线C只有一个公共点，D不正确9(2021新高考卷)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_.答案yx解析因为双曲线1(a0，b0)的离心率为2，所以e2，所以3，所以该双曲线的渐近线方程为yx
17、x.一、单项选择题1“k9”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析方程1表示双曲线，(25k)(k9)0，k25，“k0，b0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为a，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx By2xCy4x Dyx答案A解析设F(c,0)(c0)，由题知，一条渐近线方程为yx，即bxay0.因为dba，所以，故渐近线方程为yx.故选A4(2019全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A2sin40 B2cos40C D答案D解析由题意可得tan130，所以e .
18、故选D5已知双曲线1(a0)的两条渐近线均与圆C：x2y24x30相切，则该双曲线的实轴长为()A3 B6 C9 D12答案B解析圆C的标准方程为(x2)2y21，所以圆心为C(2,0)，半径r1.双曲线的渐近线方程为yx，不妨取yx，即bxay0，因为渐近线与圆C相切，所以圆心到渐近线的距离d1，所以3b2a2.由1，得b23，则a29，所以2a6.故选B.6(2021济南模拟)许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行现测得下底直径
19、AB20米，上底直径CD20米，AB与CD间的距离为80米，与上、下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为()A10米 B20米C10米 D10米答案B解析以最细处平行于CD的直径所在的直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知D(10，20)，B(10，60)，设双曲线方程为1(a0，b0)，解得a2100，b2400，a10，|EF|2a20，故选B.7已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()A B C D答案C解析由x2y22，知ab，c2.由双曲线定义知，|PF1|PF2
20、|2a2，又|PF1|2|PF2|，|PF1|4，|PF2|2，在PF1F2中，|F1F2|2c4，由余弦定理，得cosF1PF2.8(2020全国卷)设双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1PF2P.若PF1F2的面积为4，则a()A1 B2 C4 D8答案A解析，ca，根据双曲线的定义可得|F1P|F2P|2a，SPF1F2|F1P|F2P|4，|F1P|F2P|8.F1PF2P，|F1P|2|F2P|2(2c)2，(|F1P|F2P|)22|F1P|F2P|4c2，即(2a)2284(a)2，解得a1，故选A9(2021浙江高考)已知a，b
21、R，ab0，函数f(x)ax2b(xR)若f(st)，f(s)，f(st)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是()A直线和圆 B直线和椭圆C直线和双曲线 D直线和抛物线答案C解析因为函数f(x)ax2b，所以f(st)a(st)2b，f(s)as2b，f(st)a(st)2b.因为f(st)，f(s)，f(st)成等比数列，所以f(s)2f(st)f(st)，即(as2b)2a(st)2ba(st)2b，化简得2a2s2t2a2t42abt20，得t0或2as2at22b，易知点(s，t)的轨迹是直线和双曲线故选C10(2022北京海淀模拟)如图，已知双曲线C：1的左、右焦点分别为F1，F
22、2，M是C上位于第一象限内的一点，且直线F2M与y轴的正半轴交于A点，AMF1的内切圆在边MF1上的切点为N.若|MN|2，则双曲线C的离心率为()A B C2 D答案D解析设AMF1的内切圆在边AF1，AM的切点分别为E，G，则|AE|AG|，|EF1|F1N|，|MN|MG|.又|MF1|MF2|2a，则|EF1|MG|MF2|2a，由对称性可知|AF1|AF2|，即|EF1|AE|MF2|MG|AG|，化简可得|MN|a，则a2，a24，所以双曲线C的离心率为.二、多项选择题11已知曲线C的方程为1(kR)，则下列结论正确的是()A当k8时，曲线C为椭圆，其焦距为4B当k2时，曲线C为双
23、曲线，其离心率为C对任意实数k，曲线C都不可能为焦点在y轴上的双曲线D当k3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x4)2y29相切答案BC解析对于A，当k8时，曲线C的方程为1，该曲线为椭圆，焦距2c24，A错误；对于B，当k2时，曲线C的方程为1，该曲线为双曲线，则a，c，其离心率e，B正确；对于C，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则无解，故不存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，C正确；对于D，当k3时，曲线C的方程为1，该曲线为双曲线，其渐近线方程为yx，则圆(x4)2y29的圆心到渐近线的距离d3，所以双曲线C的渐近线与圆(x4)2y29不相切，D错误故选BC12(2021山东日照
24、三模)已知曲线C：1，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是()A若m3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为B若曲线C的离心率e2，则m27C若m3，则曲线C上不存在点P，使得F1PF2D若m3，P为C上一个动点，则PF1F2面积的最大值为3答案ABD解析对于A，当m3时，曲线C：1表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为yx，故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为，故A正确；对于B，离心率e2，则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，a3，e2，故c6，所以mc2a236927，所以m27，故B正确；对于C，若m3，则曲线C：1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a29，b2
25、3，c26，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0，)，则cosF1MF20)的一条渐近线为xmy0，则C的焦距为_.答案4解析双曲线y21(m0)的渐近线为y x，即xy0，又双曲线的一条渐近线为xmy0，即xy0，对比两式可得，m3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2m3，b21，所以双曲线的焦距2c24.15(2022河北六校联考)已知F1，F2分别为双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，且|F1F2|，P为双曲线C右支上一点，I为PF1F2的内心，若SIPF1SIPF2SIF1F2成立，则双曲线的离心率为_，的值为_.答案解析由F1，F2分别为双曲线C：1(a0
26、，b0)的左、右焦点，且|F1F2|，可得2c，化简得e2e10.e1，e.设PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，SIPF1|PF1|r，SIPF2|PF2|r，SIF1F22crcr，由SIPF1SIPF2SIF1F2，得|PF1|r|PF2|rcr，故.16点P是椭圆1(a1b10)和双曲线1(a20，b20)的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，F1PF2，则的值是_.答案解析不妨设P是第一象限内的交点，|PF1|m，|PF2|n，由椭圆的定义可知mn2a1，由双曲线定义可知mn2a2，由得ma1a2，na1a2.在F1PF2中
27、，由余弦定理的推论可得，cosF1PF2，即m2n2mn4c2，(a1a2)2(a1a2)2(a1a2)(a1a2)4c2，即a3a4c2，又知abc2，abc2，bc23(c2b)4c2，b3b，又知b10，b20，.四、解答题17已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)，点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积解(1)因为e，则双曲线的实轴、虚轴相等所以可设双曲线的方程为x2y2.因为双曲线过点(4，)，所以1610，即6.所以双曲线的方程为x2y26.(2)证明：设(23，m)，(23，m)所以(23)(23
28、)(m)23m2，因为点M在双曲线上，所以9m26，即m230，所以0.(3)因为F1MF2的底边长|F1F2|4.由(2)知m.所以F1MF2的高h|m|，所以SF1MF246.18(2022江苏南京摸底)已知双曲线1(a0，b0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2xy0，且焦点到这条渐近线的距离为1.(1)求此双曲线的方程；(2)若点M在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上解(1)依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2)证明：因为点M在双曲线上，所以1.所以m2.不妨设F1在x轴下方，则F1(0，)，F2(0，)，所以2()2m250，所以MF1MF2，所以点M在以F
29、1F2为直径的圆上19中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两个曲线的方程；(2)若P为这两个曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解(1)由已知c，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为m，n.则解得a7，m3，所以b6，n2.所以椭圆的方程为1，双曲线的方程为1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4，又|F1F2|2，所以cosF1PF2.
30、20(2021新高考八省联考)双曲线C：1(a0，b0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上当BFAF时，|AF|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：BFA2BAF.解(1)设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，B，因为|AF|BF|，故ac，故c2ac2a20，即e2e20，又e0，故e2.(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0a，y00.因为e2，故c2a，ba，故双曲线的渐近线方程为yx，所以BAF，BFA.当BFA时，由题意易得BAF，此时BFA2BAF.当BFA时，因为tanBFA，tanBAF，所以tan2BAFtanBFA，因为2BAF，故BFA2BAF.综上，BFA2BAF.
