1、第十一章 坐标系与参数方程 第 73 讲 极坐标系 与简单曲线的极坐标方程 【学习目标】1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.【基础检测】1.在同一平面直角坐标系中，直线 x2y2 经过伸缩变换xx，y4y后，变成直线.2xy4【解析】由伸缩变换xx，y4y，得xx，y14y.将其代入 x2y2 得 2xy4.2.在极坐标系中，已知两点 P5，54，Q1，4，则线段 PQ
2、的长度为_.6【解析】P，Q 在过极点且与极轴成4 角的直线上，它们位于极点的两侧，因此 PQ516.3.极坐标方程 6cos3 的直角坐标方程为.【解析】原方程可化为 6cos cos 3 6sinsin 3，方程两边同乘，得23cos 3 3sin，由 2x2y2，cos x，sin y，得所求的直角坐标方程为 x2y23x3 3y0.x2y23xy03 34.在极坐标系中，过点(1，0)并且与极轴垂直的直线的极坐标方程是，过(0，1)与极轴平行的直线的极坐标方程是.cos1sin1【解析】过点(1，0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为 x1，所以其极坐标方程为 cos1.过(0
3、，1)且与极轴平行的直线，在直角坐标系中是 y1，所以其极坐标方程为 sin 1.5.在极坐标系中，圆心在(2，)且过极点的圆的方程是.2 2cos【解析】O 为极点，OB 为直径，A(，)，则ABO90，OB2 2sin（90），化简得 2 2cos.【知识要点】1平面直角坐标系中的伸缩变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：_的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为 平 面 直 角 坐 标 系 中 的_，简称伸缩变换坐标伸缩变化(0)(0)xxyuy u2极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确定一个长度单位和计算角
4、度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系其中，点 O 称为极点，射线 Ox 称为极轴设 M 是平面上任一点，表示 OM 的长度，表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角那么，有序数对_称为点 M 的极坐标显然，每一个有序实数对(，)决定一个点的位置其中，称为点 M 的_，称为点 M 的_由极径的意义可知 0，当极角 的取值范围是0，2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径0，极角 可取任意角（，）极径极角3坐标之间的互化(1)点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为
5、极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)平面内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(，)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：_，_通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取0，02.cossinxy222tan0 xyyx4直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程：直线极坐标方程图 形过极点倾斜角为 _(R)或 _(R)(和(0)过点(a，0)，与极轴垂直_a22过点a，2，与极轴平行_a(0)+cos sin (2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线 l 经过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，直线 l 的极坐标方程为：_00sinsin5半径为 r 的圆
6、的极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐标方程：圆心极坐标方程图 形(0，0)_(02)(r，0)_r，2 2rsin(0)(r，)2rcos 232r，32 2rsin(0，(2，0)下的极坐标是；0 时，点 A5，3 的极坐标的一般形式为5，3 2k(kZ).由20，得23 2k0，解得 k1，所以 3 253，所以满足条件的点 A 的极坐标为5，53.当 0 时，点 A5，3 的极坐标的一般形式是 5，3（2k1）(kZ).由 24，得 23(2k1)0，0 2 或 b0，为参数)，且曲线 C1 上的点M(2，3)对应的参数 3.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2
7、是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线 4 与曲线 C2 交于点 D2，4.(1)求曲线 C1 的普通方程，C2 的极坐标方程；(2)若 A(1，)，B2，2 是曲线 C1 上的两点，求 121 122的值.【解析】(1)将 M(2，3)及对应的参数 3 代入 xacos，ybsin(ab0，为 参 数)，得2acos 3，3bsin3，解得a4，b2.曲线 C1 的普通方程为x216y241，设圆 C2的半径为 R，则圆 C2的方程为 2Rcos，将点 D2，4 代入得 22R 22，解得 R1，圆 C2 的极坐标方程为 2cos.(2)曲线 C1 的极坐标方程为2cos2162sin241，将
8、 A(1，)，B2，2 代入得21cos2 1621sin2 41，22sin2 1622cos241，121 122cos216sin24sin216 cos24 516.6.极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，曲线 C1的极坐标方程为 4cos，曲线 C2 的参数方程为xmtcos ，ytsin(t 为参数，0 0)，l：cos3 32，曲线 C 与 l 有且仅有一个公共点.(1)求 a 的值；(2)O 为极点，A，B 为 C 上的两点，且AOB3，求OA OB 的最大值.【解析】(1)曲线 C 是以(a，0)为圆心，以 a 为半径的圆；l
9、 的直角坐标方程为 x 3y30.由直线 l 与圆 C 相切可得a32a，解得 a1.(2)不妨设 A 的极角为，B 的极角为 3，则|OA|OB|2cos2cos3 3cos 3sin2 3cos6，当 6 时，|OA|OB|取得最大值 2 3.8.在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C1 的极坐标方程为 221sin2，直线 l 的极坐标方程为 42sin cos .(1)写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程；(2)设 Q 为曲线 C1 上一动点，求 Q 点到直线 l 距离的最小值.【解析】(1)C1：x22y22，l：2yx5.(2)设 Q(2cos，sin)，则点 Q 到直线 l 的距离 d|2sin 2cos 4|3|2sin4 4|3 23，当且仅当 4 2k2，即 2k4(kZ)时，Q 点到直线 l 距离的最小值为2 33.