1、第3讲圆的方程1圆的定义、方程(1)平面上到定点的距离等于定长的点的集合是圆(2)确定一个圆的基本要素：圆心和半径.(3)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)(4)圆的一般方程一般方程：x2y2DxEyF0；方程表示圆的充要条件：D2E24F0；圆心坐标：，半径r .2点与圆的位置关系(1)理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系(2)三个结论圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离(x0a)2(y0b)2r2点在圆上dr；(x0a)2(y0b)2r2点在圆外dr；(x0a)2(y0b)2r2点在圆内d0，解得k1，结合题意可知，若方程不表示圆，则
2、k的取值可以是，1.故选CD.4若坐标原点在圆(xm)2(ym)24的内部，则实数m的取值范围是()A(1,1) B(，)C(，) D答案C解析原点(0,0)在圆(xm)2(ym)24的内部，(0m)2(0m)24，解得m，故选C.5(多选)圆x2y24x10()A关于点(2,0)对称B关于直线y0对称C关于直线x3y20对称D关于直线xy20对称答案ABC解析由x2y24x10，得(x2)2y25，所以该圆的圆心坐标为(2,0)圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以A正确；圆是关于直径所在的直线对称的轴对称图形，直线y0，x3y20过圆心，直线xy20不过圆心，所以B，C
3、正确，D不正确故选ABC.6(2018天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_.答案x2y22x0解析设圆的方程为x2y2DxEyF0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则解得所以圆的方程为x2y22x0.考向一求圆的方程例1(1)已知圆M与直线3x4y0及3x4y100都相切，圆心在直线yx4上，则圆M的方程为()A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21D(x3)2(y1)21答案C解析到两直线3x4y0,3x4y100的距离都相等的直线方程为3x4y50，联立得方程组解得又两平行线间的距离为2，所以圆
4、M的半径为1，从而圆M的方程为(x3)2(y1)21.故选C.(2)已知圆的圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)，则圆的一般方程为_.答案x2y22x4y50解析解法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得解得故所求圆的方程为(x1)2(y2)210，即x2y22x4y50.解法二：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为.由题意得解得故所求圆的方程为x2y22x4y50.解法三：A(2，3)，B(2，5)，kAB，又线段AB的中点为(0，4)，线段AB的中垂线方程为y(4)2(x0)，即2xy40.由得所求圆的圆心坐标为(1，2)，半径r.所求
5、圆的方程为(x1)2(y2)210，即x2y22x4y50. 求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质1.已知圆E经过两点A(0,1)，B(2,0)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()A.2y2B.2y2C.2y2D.2y
6、2答案C解析因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y2(x1)上又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为|EB|，所以圆E的标准方程为2y2.故选C.2已知圆C经过P(2,4)，Q(3，1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为_.答案x2y22x4y80或x2y26x8y0解析设圆的方程为x2y2DxEyF0.由题意可得又令y0，得x2DxF0.设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6，得D24F36，联立得D2，E4，F8或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.考向二与圆
7、有关的轨迹问题例2已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程解(1)由x2y26x50，得(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)(2)设点M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1MAB，所以kC1MkAB1，当x3时，可得1，整理得2y2，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3,0)，代入上式成立设直线l的方程为ykx，与x2y26x50联立，消去y，得(1k2)x26x50.令其判别式(6)24(1k2)50，得k2，此时方程为x26x50，解上式得x，因此0)若圆C上存在点P，使
8、得APB90，则m的最大值为()A7 B6 C5 D4答案B解析在RtAPB中，原点O为斜边中点，|AB|2m(m0)，m|OP|OC|r，又C(3,4)，r1，|OP|6，即m6.故选B.6已知圆C1：(x2)2(y1)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A62 B1C54 D答案C解析圆C1：(x2)2(y1)21的圆心为(2,1)，半径为1，圆C2：(x3)2(y4)29的圆心为(3,4)，半径为3.如图，圆C1关于x轴的对称圆为圆C1：(x2)2(y1)21.连接C1C2，交x轴于P，则P为使|PM|P
9、N|最小的点，此时M点为PC1与圆C1的交点，N为PC2与圆C2的交点，最小值为|C1C2|(31)，而|C1C2|5，|PM|PN|的最小值为54.故选C.7(2022宁夏银川模拟)设点P(x，y)是圆(x3)2y24上的动点，定点A(0,2)，B(0，2)，则|的最大值为_.答案10解析由题意，知(x,2y)，(x，2y)，所以(2x，2y)，所以|2.因为点P(x，y)是圆(x3)2y24上的点，所以点P的坐标(x，y)满足方程(x3)2y24,1x5，所以y2(x3)24，所以|22.因为1x5，所以当x5时，|的值最大，最大值为210.1若一圆的圆心坐标为(2，3)，一条直径的端点分
10、别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A(x2)2(y3)213B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252D(x2)2(y3)252答案A解析由圆的几何性质可知，圆的半径r.故此圆的方程为(x2)2(y3)213.故选A.2圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为()A(x2)2(y1)21B(x1)2(y2)21C(x2)2(y1)21D(x1)2(y2)21答案A解析已知圆的圆心C(1,2)关于直线yx对称的点为C(2,1)，所以圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为(x2)2(y1)21，故选A.3(2022保定质检)已知圆C：x2y2DxEyF0，则“
11、EF0且D0”是“圆C与y轴相切于原点”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析圆C与y轴相切于原点圆C的圆心在x轴上，设圆心的坐标为(a,0)，则半径r|a|.所以当EF0且D0，故选A.4已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30Bx2y24x0Cx2y22x30Dx2y24x0答案D解析设圆心为(a,0)(a0)，由题意知圆心到直线3x4y40的距离dr2，解得a2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C的方程为(x2)2y24，化简得x2y24x0，故选D.5已知点P(1,2)和圆C：x2y
12、2kx2yk20，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是()AR BC. D答案C解析圆C：2(y1)21k2，因为过点P有两条切线，所以点P在圆外，从而解得k1，所以半圆x2(y1)21(x0)上的点到直线xy10的距离的最大值为1，最小值为点(0,0)到直线xy10的距离，为，所以ab11，故选C.8(2020全国卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2xy30的距离为()A. BC. D答案B解析由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意，所以圆心必在第一象限设圆心的坐标为(a，a)，a0，则圆的半径为a，圆的标准方程为
13、(xa)2(ya)2a2.由题意可得(2a)2(1a)2a2，可得a26a50，解得a1或a5.所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)点(1,1)，(5,5)到直线2xy30的距离均为d，所以圆心到直线2xy30的距离为.故选B.9已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，点Q是圆(x2)2(y3)23上的动点，则|PQ|的最大值为()A5 B5C32 D32答案B解析设点P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，所以点P的轨迹方程为x2y24x0，即(x2)2y24.如图，设P，Q所在圆的圆心分别为C1，C2，半径分别为r1，r2，则|PQ|max|C1C2|r
14、1r2325.故选B.10圆x2y24x12y10关于直线axby60(a0，b0)对称，则的最小值是()A2 B C D答案C解析由圆x2y24x12y10知，其标准方程为(x2)2(y6)239，圆x2y24x12y10关于直线axby60(a0，b0)对称，该直线经过圆心(2，6)，即2a6b60，a3b3(a0，b0)，(a3b)，当且仅当，即ab时取等号，故选C.二、多项选择题11已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为12，则圆C的方程可能为()Ax22Bx22C(x)2y2D(x)2y2答案AB解析由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(
15、0，a)，半径为r，则rsin1，rcos|a|，解得r，即r2，|a|，即a，故圆C的方程为x22.故选AB.12(2022烟台模拟)设有一组圆Ck：(xk)2(yk)24(kR)，下列命题正确的是()A不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B所有圆Ck均不经过点(3,0)C经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个D所有圆的面积均为4答案ABD解析圆心坐标为(k，k)，在直线yx上，A正确；令(3k)2(0k)24，化简得2k26k50，364040，有两个不相等实根，经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4，D正确故选ABD.三、填空题13已知aR，方程a2x2(
16、a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标为_，半径为_.答案(2，4)5解析由题可得a2a2，解得a1或a2.当a2时，方程不表示圆，舍去当a1时，方程为x2y24x8y50，表示圆，圆心坐标为(2，4)，半径为5.14. 如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是_.答案x2y2a2解析如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(a,0)，B(a,0)设P(x，y)，因为PAPB，所以1(xa)化简，得x2y2a2(xa)当xa时，点P与A或B重合，此时y0，满足上式故杆的交点P的轨
17、迹方程是x2y2a2.15已知圆C：(x3)2(y4)21，设点P是圆C上的动点记d|PB|2|PA|2，其中A(0，1)，B(0，1)，则d的最大值为_.答案74解析设P(x0，y0)，则d|PB|2|PA|2x(y01)2x(y01)22(xy)2，xy表示圆上任一点到原点距离的平方，(xy)max(51)236，dmax74.16如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|2.(1)圆C的标准方程为_；(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_.答案(1)(x1)2(y)22(2)1解析(1)记AB的中点为D，在RtBDC中，易得圆C的
18、半径rBC，则圆心C的坐标为(1，)，所以圆C的标准方程为(x1)2(y)22.(2)因为点B的坐标为(0，1)，点C的坐标为(1，)，所以直线BC的斜率为1，所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为yx1，故切线在x轴上的截距为1.四、解答题17在平面直角坐标系xOy中，曲线：yx2mx2m(mR)与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点解令y0，得x2mx2m0.设点A(x1,0)，B(x2,0)，则m28m0，即m8，x1x2m，x1x22m.令x0，得
19、y2m，故点C(0,2m)(1)若存在以AB为直径且过点C的圆，则0，得x1x24m20，即2m4m20，解得m0或m.因为m8，所以m，此时点C(0，1)，所求圆的圆心为线段AB的中点M，半径r|CM|，故所求圆的方程为2y2.(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2y2mxEy2m0，将点C(0,2m)的坐标代入，可得E12m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2y2mx(12m)y2m0，整理得x2y2ym(x2y2)0.令解得或故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和.18已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点
20、(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程为(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为x3y80.又|OM|OP|2，O到l的距离为，所以|PM|，SPOM，故POM的面积为.