1、第2讲两条直线的位置关系与距离公式1两条直线的位置关系(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(3)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解2三种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2| .(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的
2、距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.1三种常见的直线系方程(1)平行于直线AxByC0的直线系方程：AxByC00(CC0)；(2)垂直于直线AxByC0的直线系方程：BxAyC00；(3)过两条已知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，这个直线系不包括直线l2：A2xB2yC20，解题时，注意检验l2是否满足题意，以防漏解)2四种常见的对称(1)点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)，关于直线yx的对称点为(y，x)(2)点(x，y)关于直线xa的对称点为(2a
3、x，y)，关于直线yb的对称点为(x,2by)(3)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax,2by)(4)点(x，y)关于直线xyk的对称点为(ky，kx)，关于直线xyk的对称点为(ky，xk)3点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等1点A(2,5)到直线l：x2y30的距离为()A2 B C D答案C解析点A(2,5)到直线l：x2y30的距离为d.故选C.2过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2
4、y10答案A解析因为所求直线与直线x2y20平行，所以设直线方程为x2yc0，又直线经过点(1,0)，得出c1，故所求直线方程为x2y10.故选A.3(2022北京西城区模拟)设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若两直线平行，则a(a1)2，即a2a20，解得a1或2，故a1是两直线平行的充分不必要条件故选A.4若直线mx4y20与直线2x5yn0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为()A12 B2 C0 D10答案A解析由2m200，得m10.由垂足(1，p)在直线
5、mx4y20上，得104p20.解得p2.又因为垂足(1，2)在直线2x5yn0上，所以210n0，解得n12.故选A.5光线从点A(3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为()A5 B2 C5 D10答案C解析点B(2,10)关于x轴的对称点为B(2，10)，由对称性可得光线从A到B的距离为|AB|5.故选C.6(2020上海春季高考)已知直线l1：xay1，l2：axy1，若l1l2，则l1与l2的距离为_.答案解析由l1l2可知a210，即a1.又当a1时，l1与l2重合，不符合题意所以a1，此时l1：xy10，l2：xy10.所以l1与l2的距离d.
6、考向一平行与垂直问题例1(1)已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_.答案1或0解析l1的斜率k1a.当a0时，l2的斜率k2.因为l1l2，所以k1k21，即a1，解得a1.当a0时，得P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1l2.综上可知，实数a的值为1或0.(2)已知两直线l1：xysin10和l2：2xsiny10.若l1l2，则_.答案k，kZ解析解法一：当sin0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2；当sin0时
7、，k1，k22sin.要使l1l2，需2sin，即sin.所以k，kZ，此时两直线的斜率相等，且两直线不重合综上，k，kZ时，l1l2.解法二：由A1B2A2B10，得12sin20，所以sin.又B1C2B2C10，所以sin10，即sin1.所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.(3)经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为_.答案4x3y90解析解法一：由方程组解得即交点为，因为所求直线与直线3x4y70垂直，所以所求直线的斜率为k.由点斜式得所求直线方程为y，即4x3y90.解法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x3ym0，由方程组可解得交点
8、为，代入4x3ym0得m9，故所求直线方程为4x3y90.解法三：由题意可设所求直线方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140，又因为所求直线与直线3x4y70垂直，所以3(2)4(33)0，所以2，代入式得，所求直线方程为4x3y90. 两直线位置关系的判定方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；两直线垂直两直线的斜率之积为1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合(3)已知两直线的一般方程设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2A1B
9、2A2B10且B1C2B2C10或A2C1A1C20，l1l2A1A2B1B20.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的情况，也要考虑到斜率不存在的情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件1.“m3”是“直线l1：2(m1)x(m3)y75m0与直线l2：(m3)x2y50垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由l1l2，得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2，m3是l1l2的充分不必要条件故选A.2(多选)已知三条直线2x3y10,4x3y50，mxy10
10、不能构成三角形，则实数m的值可以为()A B C D答案ABC解析若三条直线不能构成三角形，则三条直线要么相交于一点，要么存在平行直线若三条直线交于一点，则由得代入mxy10得m10，m.若存在平行直线，则3m2或3m4，解得m或m.综上可知，m的可能取值为，.故选ABC.考向二距离公式的应用例2(1)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. BC. D答案C解析因为，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.故选C.(2)已知点M(a，b)在直线3x4y15上，则 的最小值为_.答案3解析M
11、(a，b)在直线3x4y15上，而的几何意义是坐标平面内原点与点M间的距离，其最小值为原点到直线3x4y15的距离，()min3. 1点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求，注意直线方程应为一般式2两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：AxByC10，l2：AxByC20的形式3.(2020全国卷)点(0，1)到直线yk(x1)距离的最大值为()A1 B C D2答案B解析由yk(x1)可知直线过定点P(1
12、,0)，设A(0，1)，当直线yk(x1)与AP垂直时，点A到直线yk(x1)的距离最大，即为|AP|.故选B.4已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，5)的距离相等，则此直线的方程为_.答案4xy20或x1解析若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y2k(x1)，即kxyk20，由题设有，即|k1|7k|，解得k4.此时直线方程为4xy20.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x1，满足题设条件故所求直线的方程为4xy20或x1.考向三共点直线系例3已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围解(1)证明：直线l的方程可
13、化为k(x2)(1y)0，令解得所以无论k取何值，直线l总经过定点(2,1)(2)由方程知，当k0时直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线l不经过第四象限，则必须有解得k0；当k0时，直线为y1，符合题意故k的取值范围是0，) 共点直线系中定点的求解方法(1)分离参数，假设直线方程中含有的参数为k，则将直线方程化为f(x，y)kg(x，y)0的形式(2)解方程组若方程组有解，则可得定点坐标；若方程组无解，则说明直线不过定点5.已知直线(3a1)x(a2)y10.(1)求证：无论a为何值，直线总过第一象限；(2)若直线不经过第二象限，求a的取值范围解(1)证明：直线方程可化为(
14、x2y1)a(3xy)0.由得所以直线恒过定点M.因为点M在第一象限，所以无论a为何值，直线总过第一象限(2)当a2时，直线为x，显然不经过第二象限；当a2时，直线方程化为yx.直线不经过第二象限的充要条件为解得a2.综上，a的取值范围为2，)多角度探究突破考向四对称问题角度点关于点的对称例4过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，求直线l的方程解设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y4
15、0.角度点关于直线的对称例5(2021重庆八中高三月考)唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2y22，若将军从点A(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为xy3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()A. BC2 D答案B解析设点A关于直线xy3的对称点A(a，b)，AA的中点为，kAA，故解得要使从点A到军营总路程最短，即为点A到军营的最短距离，所以“将军
16、饮马”的最短总路程为.故选B.角度直线关于直线的对称例6光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程解由得反射点M的坐标为(1，2)取直线x2y50上一点P(5,0)，设P关于直线l的对称点P(x0，y0)，由PPl可知，kPP.而PP的中点Q的坐标为，Q点在l上，3270.由得根据直线的两点式方程可得，所求反射光线所在直线的方程为29x2y330. 解决对称问题的方法(1)点关于点的对称问题利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2ma,2nb)(2)点关于线的对称点，点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜
17、率的负倒数(仅指斜率存在且不为0的情况，斜率不存在或斜率为0时较简单)(3)线关于线的对称线一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称(4)特别地，当对称轴的斜率为1时，可类比关于yx的对称问题采用代入法，如(1,3)关于yx1的对称点为(31,11)，即(2,2)6.已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l的方程解(1)设A(x，y)，由已知条件得解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线
18、m上设对称点M(a，b)，则得M.设直线m与直线l的交点为N，由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)解法一：在l：2x3y10上任取两点，如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(1，2)的对称点P，Q均在直线l上，易得P(3，5)，Q(6，7)，再由两点式可得直线l的方程为2x3y90.解法二：ll，设l的方程为2x3yC0(C1)点A(1，2)到两直线l，l的距离相等，由点到直线的距离公式，得，解得C9，直线l的方程为2x3y90.解法三：设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)点P在
19、直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.1已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)，若直线l上存在点P使得|PA|PB|最小，则点P的坐标为()A(2，3) B(2,3)C(2,3) D(2,2)答案B解析根据题意画出大致图象，如图设点A关于直线x2y80的对称点为A1(m，n)则有解得故A1(2,8)此时直线A1B的方程为x2.所以当点P是直线A1B与直线x2y80的交点时，|PA|PB|最小，将x2代入x2y80，得y3，故点P的坐标为(2，3)2(2022江西上饶模拟)在等腰直角三角形ABC中，|AB|AC|4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经
20、BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过ABC的重心，则|AP|等于()A2 B1 C D答案D解析以A为原点，AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)设ABC的重心为D，则D点的坐标为.设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴的对称点P1的坐标为(m，0)，因为直线BC的方程为xy40，所以P点关于直线BC的对称点P2的坐标为(4,4m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在的直线上，所以kP1DkP2D，即，解得m或m0.当m0时，P点与A点重合，故舍去所以|AP|m.答题启示1光线的反射问题具有入射角等于反射角的特
21、点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称2充分利用数形结合、转化等思想，借助直线与直角三角形的相关知识，将动点转化到定点上去，将最值转化为定值问题对点训练1已知直线y2x是ABC中角C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)答案C解析设点A(4,2)关于直线y2x的对称点为A(x，y)，则解得A(4，2)，由题意知，A在直线BC上，BC所在直线的方程为y1(x3)，即3xy100.联立解得则C(2,4)
22、故选C.2在直线l：3xy10上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小解(1) 如图，设点B关于直线l的对称点为B，AB的延长线交直线l于点P0，在l上另任取一点P，则|PA|PB|PA|PB|AC|P1C|P1A|P1C|P1A|，故P1即为所求又直线AC的方程为19x17y930，联立解得P1.所以满足条件的P点坐标为.一、单项选择题1如果直线l1的斜率为a，l1l2，则直线l2的斜率为()A. BaC D或不存在答案D解析当a0时，设直线l2的斜率是k2，由l1l2得ak21，k2；当a0时，l1与x轴平行或
23、重合，则l2与y轴平行或重合，直线l2的斜率不存在，故直线l2的斜率为或不存在故选D.2若直线l1：ax(a1)y10与直线l2：2xay10垂直，则实数a()A3 B0 C3 D0或3答案D解析直线l1与直线l2垂直，2aa(a1)0，整理得a23a0，解得a0或a3.故选D.3直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30答案D解析设直线x2y10关于直线x1对称的直线为l2，则l2的斜率为，且过直线x2y10与x1的交点(1,1)，则l2的方程为y1(x1)，即x2y30.故选D.4若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行
24、，则l1与l2之间的距离为()A. BC. D答案B解析由l1l2得(a2)a13，且a2a36，解得a1，l1：xy60，l2：xy0，l1与l2之间的距离d，故选B.5点P(2,5)关于直线xy10对称的点的坐标为()A(6,3) B(3，6)C(6，3) D(6,3)答案C解析设点P(2,5)关于直线xy10的对称点为Q(a，b)，则解得即点P(2,5)关于直线xy10对称的点的坐标为(6，3)故选C.6直线l与直线y1，直线xy70分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率是()A. B C D答案C解析设P(a,1)，Q(b，b7)，由线段PQ的中点坐标为(1
25、，1)可得解得所以P(2,1)，Q(4，3)，所以直线l的斜率k，故选C.7(2021山东省实验中学模拟)当点P(3,2)到直线mxy12m0的距离最大时，m的值为()A. B0 C1 D1答案C解析直线mxy12m0过定点Q(2,1)，所以点P(3,2)到直线mxy12m0的距离最大时，PQ垂直该直线，即m1，m1，故选C.8.如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A3 B6 C2 D2答案C解析直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴
26、的对称点为C(2,0)，则光线经过的路程为|CD|2.故选C.9(2022武汉模拟)设ABC的一个顶点是A(3，1)，B，C的平分线的方程分别是x0，yx，则直线BC的方程是()Ay3x5 By2x3Cy2x5 Dy答案C解析A关于直线x0的对称点是A(3，1)，关于直线yx的对称点是A(1,3)，由角平分线的性质可知，点A，A均在直线BC上，所以直线BC的方程为y2x5.故选C.10光线沿着直线y3xb射到直线xy0上，经反射后沿着直线yax2射出，则有()Aa，b6 Ba3，bCa3，b Da，b6答案D解析由题意，知直线y3xb与直线yax2关于直线yx对称，所以直线yax2上的点(0,
27、2)关于直线yx的对称点(2,0)在直线y3xb上，所以(3)(2)b0，所以b6，所以直线y3x6上的点(0，6)关于直线yx的对称点(6,0)在直线yax2上，所以6a20，所以a.二、多项选择题11已知直线l1：xmy10，l2：(m2)x3y30，则下列说法正确的是()A若l1l2，则m1或m3B若l1l2，则m3C若l1l2，则mD若l1l2，则m答案BD解析由直线l1：xmy10，l2：(m2)x3y30得，若l1l2，则，解得m3，故A错误，B正确；若l1l2，则1(m2)m30，解得m，故C错误，D正确故选BD.12(2021苏州模拟)已知直线l1：axy10，l2：xay10
28、，aR，以下结论正确的是()A不论a为何值，l1与l2都互相垂直B当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(1，0)C不论a为何值，l1与l2都关于直线xy0对称D如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是(O为坐标原点)答案ABD解析对于A，a1(1)a0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；对于B，直线l1：axy10，当a变化时，x0，y1恒成立，所以l1恒过定点A(0,1)；l2：xay10，当a变化时，x1，y0恒成立，所以l2恒过定点B(1,0)，故B正确；对于C，在l1上任取一点(x，ax1)，该点关于直线xy0对称的点的坐标为(ax1，x)，代入l2：xay1
29、0，左边不恒等于0，故C不正确；对于D，联立解得即M，所以|MO|，所以|MO|的最大值是，故D正确故选ABD.三、填空题13已知点A(3,2)和B(1,4)到直线axy10的距离相等，则a的值为_.答案或4解析由平面几何知识得AB平行于直线axy10或AB中点(1,3)在直线axy10上，当AB平行于直线axy10时，因为kAB，所以a；当AB中点(1,3)在直线axy10上时，a310，即a4.所以a或4.14若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.答案解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x
30、3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.15(2022长春学情调研)若直线l1：ykx1与直线l2关于点(2,3)对称，则直线l2恒过定点_，l1与l2的距离的最大值是_.答案(4,5)4解析直线l1：ykx1经过定点(0,1)，又两直线关于点(2,3)对称，则两直线经过的定点也关于点(2,3)对称，直线l2恒过定点(4,5)，l1与l2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为4.16(2021临沂、日照等联考)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个
31、单位，又与直线l重合若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是_.答案6x8y10解析设直线l的方程为ykxb，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：yk(x3)5b，化为ykxb53k，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，得直线yk(x31)b52，化为ykx34kb.又与直线l重合，b34kb，解得k.直线l的方程为yxb，直线l1的方程为yxb，设直线l上的一点P，则点P关于点(2,3)的对称点P，6bm(4m)b，解得b.直线l的方程是yx，化为6x8y10.四、解答题17(2022山东省济宁市实验中学月考)
32、已知ABC的顶点A(5,1)，边AB上的中线CM所在的直线方程为2xy50，边AC上的高BH所在的直线方程为x2y50.(1)求顶点C的坐标；(2)求ABC的面积解(1)设C(m，n)，因为直线AC与直线BH垂直，且C点在直线2xy50上，所以解得故C(4,3)(2)设B(a，b)，由题意知，M，所以解得即B(1，3)kBC，直线BC：y3(x4)，即6x5y90.|BC|，点A到直线BC的距离d，所以SABC8.18已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2,2)(1)证明对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)求证：该方程表示的直线与点P的距离小于4.解(1)显然2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线方程可变形为2xy6(xy4)0，解得故直线经过的定点为M(2，2)(2)证明：过点P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|PM|，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，M与Q不可能重合，而|PM|4，|PQ|4，故所证成立