1、43 对 数 43.1 对数的概念 基础预习初探 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个以此类推回答下列问题：问题1.1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞？分裂x次得到多少个细胞？提示：分裂2次得到4个细胞，分裂x次得到2x个细胞 问题2.分裂多少次可得到8个，16个呢？如何求解？提示：设分裂x次可得到8个，即2x823，故x3，所以分裂3次可得到8个，同理由2x16可得x4 问题3.若axN，如何表示x呢？提示：xlogaN.【概念生成】1对数的概念 如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做_，记作_，其中a叫做_，N叫做_2常用对数 将以10为底的对数叫做_，log10N可简记为
2、_3自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，记为：_ 以a为底N的对数 xlogaN对数的底数 真数 常用对数 lgNlnN4对数的性质(1)_没有对数，即logaN中N必须大于零(2)1的对数为0，即_(3)底数的对数为1，即_5对数恒等式是alogaNN(a0，a1).负数和零 loga10logaa1核心互动探究探究点一 对数的概念【典例 1】将下列指数式与对数式互化：(1)log2164;(2)3logx 6；(3)4364；(4)3219.【思维导引】根据 axNxlogaN(a0 且 a1)求解即可【解析】(1)因为 log2164，所以 2416.(2)因为3logx 6，所以(3
3、)6x.(3)因为 4364，所以 log4643.(4)因为 3219，所以 log319 2.【类题通法】指数式与对数式互化的方法技巧(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式指数式和对数式的关系如图所示：提醒：互化时应注意的问题(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示【定向训练】(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有()Ae01与ln 10Blog392与129 3C1-3
4、8 12 与log812 13Dlog771与717【解析】选ACD.log392化为指数式为329，故B错误，A、C、D正确探究点二 对数的计算【典例 2】(1)求下列各式的值log381_；12ln e _(2)求下列各式中 x 的值logx2732；log2x23；xlog2719；x12log 16.【思维导引】利用指数式与对数式的互化求值【解析】(1)设log381x，则3x8134，所以x4，即log3814.答案：4设12ln e x，则ex12e，所以x12，所以12ln e 12.答案：12(2)因为logx2732，所以32x 27，即x2327 329.因为log2x23
5、，所以2-32 x，即x2312 13 4.因为xlog2719，所以27x19，即33x32，所以x23.因为x12log 16，所以12x16，所以2x24，所以x4.【类题通法】求对数值的一般步骤：(1)设：设出所求对数值(2)化：把对数式转化为指数式(3)解：解有关方程求得结果【定向训练】1先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值(1)log2x25.(2)logx313.【解析】(1)因为log2x25，所以x2-52 2512 15 4.(2)因为logx313，所以1-3x 3，即x33 127.2若log5x2，logy83，则xy_【解析】因为log5x2，所以x5225.
6、因为logy83，所以y38，所以y2，所以xy27.答案：27探究点三 对数恒等式与对数性质的应用【典例 3】已知 log7log3(log2x)0，那么1-2x _【思维导引】借助对数函数的性质求解【解析】因为log7log3(log2x)0，所以log3(log2x)1，即log2x3，故x238，所以1-2x 1-28 3-22.答案：3-22【类题通法】1利用对数性质求解的两类问题的解题方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后
7、再求解2对数恒等式 a logaN N 的应用(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可(2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解【定向训练】已知 log5(log3(log2a)0，计算6log36a的值【解析】因为 log5(log3(log2a)0，所以 log3(log2a)1，即 log2a3.所以 a238.所以原式6log2(6)a 26log6a a264.【课堂小结】课堂素养达标1下列说法中错误的是()A零和负数没有对数B任何一个指数式都可化为对数式C以10为底的对数叫做常用对数D以e为底的对数叫做自然对数【解析】选B.由对数的概念知，指数式ax中，只有a0，且a1的指数
8、式才可以化为对数式，因此零和负数没有对数，把以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数2式子4l34 og 的值是()A 3B13C3 3D3【解析】选D.由对数恒等式知D正确3对数式log(a2)(5a)b中，实数a的取值范围为()A(，5)B(2，5)C(2，3)(3，5)D(2，)【解析】选C.由5a0，a20，a21，得2a5且a3.4将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式(1)14216.(2)13log 273.(3)12log 646.【解析】(1)因为14216，所以14log 162.(2)因为13log 273，所以13327.(3)因为12log 646，所以12664.