1、第1讲数列的概念与表示1数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.其中第1项也叫做首项2数列的表示方法(1)数列的一般形式是a1，a2，an，简记为an.(2)数列也可以用表格和图象来表示3数列的分类 分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an1an，即an1an(n1)2(n1)(n2n)2n10对任意的nN*恒成立(2n1)对任意的nN*恒成立，又当nN*时，(2n1)3，故3.考向一由数列的前几项求数列的通项公式例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1,7，
2、13,19，；(2)，；(3)，；(4)9,99,999,9999，.解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n；观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5)(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式为an(1)n.(3)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积，故所求数列的一个通项公式为an.(4)这个数列的前4项可以写成101,1001,10001,100001，故所求数
3、列的一个通项公式为an10n1.由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN*处理1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)，2，8，；(2)1，3,5，7,9，；(3)1,2,1,2,1,2，；(4)5,55,555,5555，.解(1)
4、数列的项有的是分数，有的是整数，可先将各项都统一写成分数形式再观察：，故所求数列的一个通项公式为an.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并且奇数项为正，偶数项为负，故所求数列的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(3)这是一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是2，故所求数列的一个通项公式为an(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9,99,999，的通项公式为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1)考向二利用an与Sn的关系求通项公式例2(1)已知数列an的前n项和Sn3n1，则an_.答案解析当n1时，a1S1314；当n2时，anSnSn1(3
5、n1)(3n11)23n1.当n1时，23112a1，所以an(2)(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和，若Sn2an1，则S6_.答案63解析根据Sn2an1，可得Sn12an11，两式相减得an12an12an，即an12an，当n1时，S1a12a11，解得a11，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以S663.(3)(2022重庆模拟)已知数列an满足a12a23a3nan2n，则an_.答案解析当n1时，a1212，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由得nan2n2n12n1，an.显然当n1时不满足上式，an 已知Sn求
6、an的一般步骤(1)当n1时，由a1S1求a1的值；(2)当n2时，由anSnSn1，求得an的表达式；(3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an；(4)写出an的完整表达式2.(多选)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则下列结论正确的是()AanBanCSnD数列是等差数列答案BCD解析an1SnSn1，又an1Sn1Sn，Sn1SnSnSn1，1，是首项为1，公差为d1的等差数列，1(n1)(1)n，即Sn.又当n2时，anSnSn1，显然a11不满足上式，故an综上可知，B，C，D正确故选BCD.3设数列an的前n项和为Sn，若S24，an
7、12Sn1，nN*，则a1_，S5_.答案1121解析解法一：由解得a11.由an1Sn1Sn2Sn1，得Sn13Sn1，所以Sn13，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn3n1，即Sn，所以S5121.解法二：由解得又因为an12Sn1，an22Sn11，两式相减，得an2an12an1，即3，又因为3，所以an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an3n1，所以Sn，所以S5121.考向三由递推关系求数列的通项公式例3分别求出满足下列条件的数列的通项公式(1)a10，an1an(2n1)(nN*)；(2)a11，anan1(n2，nN*)；(3)a11，an13an2(nN*)；(
8、4)a12，an1(nN*)解(1)ana1(a2a1)(anan1)013(2n3)(n1)2，所以该数列的通项公式为an(n1)2.(2)当n2，nN*时，ana11n，当n1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为ann.(3)因为an13an2，所以an113(an1)，所以3，所以数列an1为等比数列，公比q3，又a112，所以an123n1，所以该数列的通项公式为an23n11.(4)因为an1，a12，所以an0，所以，即，又a12，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以(n1)，即an. 由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且anan1f(n)，可用“累加法”求an
9、.(2)已知a1且f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列ank(4)形如an1(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解4.若数列an满足：a11，an1an2n，则数列an的通项公式为an_.答案2n1解析由题意，知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.5在数列an中，a14，nan1(n2)an，则数列an的通项公式为an_.答案2n(n1)(nN*)解析由递推关系得，又a14，ana1442n(n1)(nN*)6在数列
10、an中，a11，an1ann1(nN*)，则an_，是这个数列的第_项答案7解析由题意得anan1n(n2)，3nan3n1an11(n2)，即3nan3n1an11(n2)又a11，31a13，数列3nan是以3为首项，1为公差的等差数列，3nan3(n1)1n2，an(nN*)由，得n7.多角度探究突破考向四数列的性质角度数列的周期性例4(2022广东湛江高三摸底)数列an中，a12，a23，an1anan1(n2)，那么a2022()A1 B1 C3 D3答案A解析因为anan1an2(n3)，所以an1anan1(an1an2)an1an2，所以an3an，所以an6an3an，所以a
11、n是以6为周期的周期数列因为20223376，所以a2022a6a3(a2a1)(32)1.故选A角度数列的单调性例5(2022福州质检)已知数列an的通项公式为an，若数列an为递减数列，则实数k的取值范围为()A(3，) B(2，)C(1，) D(0，)答案D解析因为an1an，由数列an为递减数列知，对任意nN*，an1an0，所以k33n对任意nN*恒成立，所以k(0，)故选D.角度数列的最值例6(1)若数列an的前n项和Snn210n(nN*)，则数列nan中数值最小的项是()A第2项 B第3项 C第4项 D第5项答案B解析Snn210n，当n2时，anSnSn12n11；当n1时，
12、a1S19也适合上式an2n11(nN*)nann(2n11)2n211n，记f(x)2x211x，此函数图象的对称轴为直线x，nN*，当n3时，nan取最小值于是数列nan中数值最小的项是第3项故选B.(2)已知数列an的通项公式为annn，则数列an中的最大项为()A B C D答案A解析解法一：(作差比较法)an1an(n1)n1nnn，当n0，即an1an；当n2时，an1an0，即an1an；当n2时，an1an0，即an1an；所以a1a4a5an，所以数列an中的最大项为a2或a3，且a2a322.故选A解法二：(作商比较法)，令1，解得n2；令1，解得n2；令2.又an0，故a
13、1a4a5an，所以数列an中的最大项为a2或a3，且a2a322.故选A(1)利用递推公式探求数列的周期性的两种思想思想一：根据递推公式，写出数列的前n项直到出现周期情况后，利用anTan写出周期(nT)nT.思想二：利用递推公式“逐级”递推，直到出现anTan，即得周期T(nT)n.(2)判断数列的单调性的两种方法判断an1an的符号判断与1的大小关系(an0)7.(2022湖南岳阳摸底)已知数列an满足a12，an1(nN*)，则a1a2a3a2022()A6 B6 C3 D3答案A解析a12，an1，a23，a3，a4，a52，an4an，又a1a2a3a41，a1a2a3a2022(
14、a1a2a3a4)505a1a212(3)6.故选A8已知数列an满足an(nN*)，若对任意的nN*，均有anan1，则实数a的取值范围是()A BC D答案D解析由题意，知解得aa1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11.对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，知56，10a8.故a的取值范围为(10，8)一、单项选择题1已知数列，2，则2是该数列的()A第5项 B第6项C第7项 D第8项答案C解析由数列，2，的前三项，可知，数列的通项公式为an，由2，可得n7.故选C2已知数列an的前n项和Snn21，则
15、a1a3()A6 B7 C8 D9答案B解析Snn21，a1S11212，a3S3S2(321)(221)5.a1a3257.故选B.3已知数列an的通项公式为an(3n7)0.9n，则数列an的最大项是()Aa5 Ba6 Ca7 Da8答案C解析由an1an(3n10)0.9n1(3n7)0.9n0.9n0，得n.a1a2a7a8，故数列an的最大项为a7.故选C4(2021江西南昌十中月考)在数列an中，a12,2an12ann，则a9等于()A20 B30 C36 D28答案A解析因为a12,2an12ann，所以an1an，所以a9(a9a8)(a8a7)(a2a1)a1，所以a922
16、220.故选A5(2021广东实验中学模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”在某种玩法中，用an表示解下n(n9，nN*)个圆环所需的最少移动次数，若a11，且an则解下5个圆环所需的最少移动次数为()A7 B13 C16 D22答案C解析数列an满足a11，且an所以a22a111，a32a224，a42a317，a52a4216.所以解下5个圆环所需的最少移动次数为16.故选C6设数列an的前n项和为Sn，且Sn2(an1)，则an()A2n B2n1 C2n D2n1答案
17、C解析当n1时，a1S12(a11)，可得a12；当n2时，anSnSn12an2an1，an2an1，数列an为等比数列，公比为2，首项为2，通项公式为an2n.故选C7已知数列an的通项公式为ann22n(nN*)，则“0，即2n12，即对任意的nN*都成立，于是.由1可推得，但反过来，由不能得到1，因此“0 Ba1 Ca2 Da3答案B解析an12an1，an112(an1)，2，又a11a1，数列an1是首项为a1，公比为2的等比数列，an1(a1)2n1，an(a1)2n11，又an为递增数列，an1an(a1)2n(a1)2n1(a1)2n0，a10，即a1.故选B.9把1,3,6
18、,10,15，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)则第7个三角形数是()A27 B28 C29 D30答案B解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即anan1n(n2)所以第7个三角形数是a7a67a567156728.故选B.二、多项选择题10(2022湖北宜昌摸底)已知数列an满足an11(nN*)，且a12，则()Aa31 Ba2022CS3 DS20221011答案ACD解析由数列an满足a12，an11(nN*)，可得a2，a31，a42，a5，所以an3an，数列an的周期为3，故a2022a67333
19、a31，S3，S20226741011.11(2021河北衡水中学模拟)已知数列an满足annkn(nN*,0k1)，下列命题正确的有()A当k时，数列an为递减数列B当k时，数列an一定有最大项C当0k时，数列an为递减数列D当为正整数时，数列an必有两项相等的最大项答案BCD解析当k时，a1a2，故A错误；当k时，当n1，当n4时，1，所以可判断数列an一定有最大项，故B正确；当0k时，kk，当k时，a1a2a3a4，当1k时，令mN*，解得k，则，当nm时，an1an，类似B选项分析，知数列an必有两项相等的最大项，故D正确故选BCD.12已知数列an的前n项和为Sn，且满足an4Sn1
20、Sn0(n2)，a1，则下列说法正确的是()A数列an的前n项和SnB数列an的通项公式为anC数列an为递增数列D数列为递增数列答案AD解析an4Sn1Sn0(n2)，SnSn14Sn1Sn0(n2)又Sn0，故4(n2)，即数列是首项为4，公差为d4的等差数列，且数列也是递增数列，44(n1)4n，即Sn，故A，D正确；又当n2时，anSnSn1，且a1，故an数列an不是递增数列，故B，C错误故选AD.三、填空题13(2020浙江高考)已知数列an满足an，则S3_.答案10解析因为an，所以a11，a23，a36.所以S3a1a2a313610.14(2021重庆七校高考数学三诊)已知
21、数列an的通项为an(nN*)，则数列an的最小项是第_项答案5解析因为an，数列an的最小项an必满足an0，即0,3n160，从而nan，SnS6.请写出一个满足条件的数列an的通项公式为an _.答案n6(答案不唯一)解析由nN*，an1an可知数列an是递增数列，又SnS6，故a70，且a60(等号不同时成立)，因此满足条件的数列an的通项公式可以为ann6(答案不唯一)四、解答题17已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)因为a(2an11)an2an10，所以当n1时，a(2a21)a12a20.因为a
22、11，所以a2.同理，当n2时，a(2a31)a22a30，所以a3.(2)因为a(2an11)an2an10，所以2an1(an1)an(an1)因为an的各项均为正数，所以2an1an，即an1an，而a11，所以an是以1为首项，为公比的等比数列，所以an.18设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN*.(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范围解(1)依题意得Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，即bn12bn，又b1S13a3，因此数列bn的通项公式为bn(a3)2n1，nN*.(2)由(1)可知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n2，所以，当n2时，an1an12n2a30a9，又a2a13a1，a3.所以a的取值范围是9,3)(3，)