1、宁夏石嘴山市第一中学2021届高三数学上学期第三次月考（期中）试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：，则.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.2. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用分母实数化即可得解【详解】.故选：D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.3. 已知向量满足，则（ ）A.
2、4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积公式计算即可【详解】解：向量，满足，则，故选：4. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得，所以函数的定义域为.故选：A.5. “不等式在上恒成立”的充要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据“不等式x2x+m0在R上恒成立”，令f（x）x2x+m，开口向上，根据判别式0，求出m的范围，根据充要条件的定义，进行求解；【详解】“不等式x2x+m0在R上恒成立”，（1）24m0，解得m
3、，又m14m0，所以m是“不等式x2x+m0在R上恒成立”的充要条件， 故选A【点睛】本题考查充要条件的判断，涉及一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是条件转化的等价性，属于基础题6. 在平面直角坐标中，已知向量，若，则的值（ ）A. 4B. 3C. D. 0【答案】C【解析】【分析】根据向量平行的坐标公式得出，结合商数关系得出答案.详解】，即即故选：C7. 在中，,BC=1,AC=5，则AB=A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条
4、件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.8. 设函数,则（ ）A. 是奇函数，且在(0,+)单调递增B. 是奇函数，且在(0,+)单调递减C. 是偶函数，且在(0,+)单调递增D. 是偶函数，且在(0,+)单调递减【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题9. 已知，且，则
5、A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：A：由，得，即，A不正确；B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；C：由，得，故，C正确；D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C.【考点】函数性质【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.10. 函数的单调递增区间是A. B. C. D. 【答案】D【解析】由0得：x(,2)(4,+)
6、，令t=，则y=lnt，x(,2)时,t=为减函数；x(4,+)时,t=为增函数；y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+)，故选D.点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.简称为“同增异减”.11. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记
7、录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟【答案】B【解析】由图形可知，三点都在函数的图象上，所以，解得，所以，因为，所以当时，取最大值，故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.12. 设，是自然对数的底数，下列选项正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】对于A，B，构造函数，利用函数的单调性判断即可，对于C，D，构造函
8、数，利用导数求出此函数的单调区间和极值，从而可得方程有两个不等的实根，且一根大于1，一根大于0小于1，进而可判断C，D【详解】解：因为，所以，令，则，所以上单调递增，因而成立，所以A正确，B错误，对于C，D，当时，令，则，则，得，当时，当时，所以在上递减，在上递增，因为，所以方程有两个不等的实根，且一根大于1，一根大于0小于1，所以无法判断大小，所以C，D错误，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而进行判断，考查数学转化思想，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若，则_【答案】【解析】【分析】直
9、接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14. 设向量，且，则_.【答案】【解析】【详解】根据两向量垂直，可得，解得.故答案为：.15. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数_【答案】【解析】【分析】根据复数的分类，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，复数是纯虚数，则满足，解得.故答案为：.16. 若等差数列和等比数列满足，则_【答案】1【解析】【分析】利用等差、等比的通项公式结合已知求出公差d、公比q，进而求.【详解】若令公差、公比分别为，由题意知：，得，得，,故答案为：1.三、解答题：共70分其中17-21每题1
10、2分，第22题10分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数（1）求的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函数的单调区间；【答案】（1），最大值1，最小值-1；（2）在上单调递增；上单调递减；【解析】【分析】（1）利用两角差余弦公式、两角和正弦公式化简函数式，进而求的最小正周期、最大值、最小值；（2）利用的性质求函数的单调区间即可.【详解】（1），且最大值、最小值分别为1，-1；（2）由题意，当时，单调递增，单调递增；当时，单调递减，单调递减；综上，当，单调递增；，单调递减；【点睛】关键点点睛：应用两角和差公式化简三角函数式并求最小正周期、最值；根据性质确定三角函数的单调区间.1
11、8. 已知分别是内角的对边， （1）若，求（2）若，且求的面积【答案】（1）；（2）1【解析】试题分析：（1）由，结合正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出（2）利用（1）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出试题解析：（1）由题设及正弦定理可得又，可得由余弦定理可得（2）由（1）知因为，由勾股定理得故，得所以的面积为1考点：正弦定理，余弦定理解三角形19. 设数列满足：，（1）求的通项公式及前项和；（2）已知是等比数列，且，求数列的前项和【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可知是以1为首项，公差为3的等差数列，写出其通项公式、前n项和公式即可.（2）由（1）求出
12、、，结合等比数列通项公式求公比，写出的前项和【详解】（1），数列是以1为首项，公差为3的等差数列，（2）由（1）可知，设等比数列的公比为，则，数列的前项和20. 已知函数(,为实数),.(1)若函数的最小值是,求的解析式;(2)在(1)条件下,在区间上恒成立,试求的取值范围;(3)若,为偶函数,实数,满足,定义函数,试判断值的正负,并说明理由.【答案】(1);(2);(3)的值为正.见解析【解析】【分析】(1)由已知，且,解二者联立的方程求出，的值，即可得到函数的解析式；(2)将，在区间上恒成立，转化成在区间上恒成立，问题变为求在区间上的最小值问题，求出其最小值，令小于其最小值即可解出所求的范
13、围；(3)是偶函数，可得，求得，由，可得异号，设，则，故可得，代入，化简成关于，的代数式，由上述条件判断其符号即可.【详解】解:(1)由已知可得：,且，解得，函数的解析式是；(2)在(1)的条件下，即在区间上恒成立，由于函数在区间上是减函数，且其最小值为1，的取值范围为；(3)是偶函数,由知异号,不妨设,则,又由得,由得,又,得,的值为正.【点睛】本题主要考查求函数解析式，由不等式恒成立求参数，以及函数奇偶性的应用，灵活运用待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质，以及偶函数的性质即可，属于常考题型.21. 已知函数（）求曲线的斜率等于的切线方程；（）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的
14、面积为，求的最小值【答案】（），（）.【解析】【分析】（）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程为：，即.（）显然，因为在点处切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.22. 在直角坐标系中，圆的方程为（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，求的斜率【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）利用，化简即可求解；（）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.（）在（）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.设，所对应的极径分别为，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.于是，.由得，.所以的斜率为或.