1、海原一中2020-2021学年度第一学期高二期末考试数学试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一-项是符合题目要求的）1. 已知，则等于（ ）A. (2，-4，2)B. (-2，4，-2)C. (-2，0，-2)D. (2，1，-3)【答案】B【解析】【分析】利用空间向量坐标运算求得结果.【详解】依题意.故选：B2. 已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为（ ）A. B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】【详解】根据抛物线的定义可知，点到焦点的距离和到准线的距离相等，抛物线的准线方程为，所以点到轴的距离为 ，故选C.3. 已知
2、A、B、C三点的坐标分别为，,，若，则等于()A. 28B. 28C. 14D. 14【答案】D【解析】【分析】先求出(2，6，2)，(1,6，3)，再利用0求出的值.【详解】(2，6，2)，(1,6，3)，21662(3)0，解得14，故答案为D【点睛】(1)本题主要考查空间向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) .4. 点满足关系式，则点M的轨迹是（ ）A. 线段B. 椭圆C. 双曲线D. 双曲线的一支【答案】D【解析】【分析】设，由已知可得动点到两定点，距离之差等于定长，根据双曲线的定义即可得出正确答案.【详解】设，由两点间距离公式可得
3、：即，而，所以，动点到两定点，距离之差等于定长，且小于两定点之间的距离，满足双曲线的定义所以点M的轨迹是双曲线的上支.所以点M的轨迹是双曲线的一支，故选：D5. 设，且，则等于（ ）A. -4B. 9C. -9D. 【答案】B【解析】【分析】由，根据向量平行（共线）的充要条件得：存在实数使，进而构造方程求出的值，进而求出，值.【详解】由于则存在实数使即解得 则故故选：B【点睛】知识点点睛：向量平行（共线）的充要条件得：存在实数使.6. 已知空间四边形中，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为N
4、为BC的中点，所以，因为，所以，所以，故选：B7. 已知双曲线C的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且实轴长为4，则双曲线C的标准方程为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】根据双曲线C的渐近线方程是，设双曲线C的方程是，然后根据 焦点在坐标轴上且实轴长为4，分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况讨论求解.【详解】因为双曲线C的渐近线方程是，所以设双曲线C的方程是，即，焦点在坐标轴上且实轴长为4，当焦点在x轴上时，解得 ，所以双曲线的方程为：，当焦点在y轴上时，解得 ，所以双曲线的方程为：，故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了分类讨论的思想，属于基础题.8. 下
5、列说法正确的是（ ）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则B. ，使C. 命题“若，则”的逆否命题为假命题D. 已知，则“”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据否命题，逆否命题，必要条件充分条件，存在性命题，对选项逐个进行判断，即可得出结论【详解】A：命题“若,则”的否命题是“若,则”，故A不正确；B：当时，成立，故B正确；C：命题“若,则”是真命题，所以命题的逆否命题是真命题，故C不正确；D： 因为，反之不成立，“”是“”的必要不充分条件，故D不正确.故选：B9. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根
6、据题设条件知求出渐近线的斜率，利用， 的关系，求出双曲线的离心率【详解】解：双曲线的渐近线的一条渐近线与直线垂直，渐近线的斜率为，故选：【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用，属于基础题10. 已知点是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设直线与椭圆交于，,则，则，两式相减可求出的值，利用点斜式即可得出直线l的方程.【详解】设直线与椭圆交于，,则，两式相减可得：，即，因为是线段的中点，所以，所以，所以直线l的方程是，即，故选：D【点睛】方法点睛：对于中点弦问题常用根与系数的关系或点差法求解，在采用根与系
7、数的关系时注意前提条件，再利用点差法时往往设出两个交点的坐标，设而不求，利用点差法巧妙求出直线的斜率，快速解决问题.11. 已知P为抛物线上一点，F为该抛物线焦点，若A点坐标为，则最小值为A. B. 5C. 7D. 11【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义，转化为A到准线的距离就是|PA|+|PF|的最小值，即可得出结论【详解】将x=3代入抛物线方程y2=8x，得 A在抛物线内部设抛物线上的点P到准线l：x=-2的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，所以当PAl时，|PA|+d最小，最小值为5故选B【点睛】本题考查抛物线的定义和性质的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题
8、12. 设为椭圆上一点，两焦点分别为，如果，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理可求的值，此值即为椭圆的离心率的倒数，故可求椭圆的离心率.【详解】设椭圆的半焦距为，则.在中，由正弦定理有， 所以，故，整理得到.故即.故选：A.【点睛】一般地，椭圆的左右焦点为，点为椭圆上的动点，则，因，故可以用正弦定理、余弦定理求解与焦点三角形的边角有关系的数学问题.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上13. 命题“，”的否定是_【答案】，【解析】【分析】根据特征命题的否定为全称命题，求得结果.【详解】命题“，”是特
9、称命题，所以其否定命题： 故答案为【点睛】本题考查了命题的否定，特征命题的否定是全称命题，属于基础题.14. 已知三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么_【答案】【解析】【详解】【分析】15. 已知椭圆的左右焦点分别为，P是椭圆上的一点，且，则的面积是_【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义，得到的值，再由，在中，用余弦定理，求出，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】根据椭圆定义，可得，且椭圆的焦距为，又，在中，由余弦定理，可得，所以，即，所以，因此的面积是.故答案为：.16. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是_.【答案】
10、【解析】【分析】如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,再利用向量法求直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值.【详解】如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),则=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1),设平面A1BD的一个法向量为=(x,y,z),则所以令x=1得,=(1,-1,-1),设直线BC1与平面A1BD所成角为,则sin=|cos |=,故cos=.故答案为【点睛】（
11、1）本题主要考查直线和平面所成角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知抛物线的标准方程是.（1）求它的焦点坐标和准线方程；（2）直线过已知抛物线的焦点且倾斜角为45，且与抛物线的交点为，求的长度.【答案】(1)焦点为，准线方程：；(2)12.【解析】【详解】试
12、题分析：（1）抛物线的标准方程为，焦点在轴上，开口向右，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）现根据题意给出直线的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可试题解析：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，=焦点为F（，0），准线方程：x=，（2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45，直线L的方程为y=x，代入抛物线y2=6x化简得x29x+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12故所求的弦长为12点睛：本题考查了直线与怕西安的位置关系中的弦长公式的应用，本题的解答中根
13、据直线过抛物线的焦点，根据抛物线的定义，抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化同时如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化18. 如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点（1）求异面直线EF与所成角的大小（2）证明：平面【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.【详
14、解】据题意，建立如图坐标系于是：，（1），异面直线EF和所成的角为（2），即，即又，平面且平面19. 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率（1）若为真命题，求的取值范围（2）若或为真命题，且为假命题，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）本题首先将椭圆方程转化为，然后通过题意列出不等式组，通过计算即可得出结果；（2）本题首先可求出为真命题时的取值范围，然后分为真假、假真两种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）椭圆即，因命题为真命题，所以，解得，的取值范围为.（2）双曲线的离心率，若为真命题，则，解得，因为或为真命题，且为假命题，所以当真假时，解得，当
15、假真时，解得，综上所述，的取值范围为.【点睛】关键点点睛：给出命题和命题，若或为真命题，则命题和命题至少有一个是真命题；若或为假命题，则命题和命题都是假命题；若且为真命题，则命题和命题都是真命题；若且为假命题，则命题和命题至少有一个是假命题.20. 已知椭圆的左右焦点分别为、，左顶点为A，若，椭圆的离心率为（1）求椭圆的标准方程（2）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得，即可得答案；（2）设，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；【详解】解：（1）由题意，椭圆的离心率为，椭圆的标准方程为（2）设，P点
16、在椭圆上，由椭圆方程得，二次函数开口向上，对称轴，当时，取最小值0，当时，取最大值12的取值范围是【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题.21. 如图，在三棱锥中，AO，OB，OC两两互相垂直，点D，E分别为棱BC，AC中点，F在棱AO上，且满足，已知（1）平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，利用线面平行的判定定理即可求证；（2）以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，由平面，可得是平面的一个法向量，在
17、求出平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）D、E分别BC、AC的中点，而平面，平面平面（2）如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系：则 ，设平面的一个法向量为，则：令，则，因为平面，显然是平面的一个法向量据图知二面角是锐二面角，令其大小为，则：二面角的余弦值为【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值
18、，即可求出结果.22. 如图，为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，的面积为1（1）求的方程；（2）若，是椭圆上的两点，且，记直线，的斜率分别为，证明：为定值【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出后可得的方程.（2）设直线方程，设，用此两点的坐标表示，联立直线的方程和椭圆的方程后消去，利用韦达定理可证为定值.也可以设，求出的方程后再求出后可证为定值.详解】（1）解：由题意知，由于，解得，故的方程为（2）证明：由(1)得，直线的斜率为（方法一）因为，故可设的方程为设，联立消去，得，所以，从而直线的斜率，直线的斜率，所以故为定值（方法二）设，因为，所以的方程为，联立消去，得，解得（舍去）或，所以点的坐标为，则，即为定值【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.