1、数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件、400件、300件，用分层抽样方法抽取容量为n的样本，若从丙车间抽取6件，则n的值为()A. 18B. 20C. 24D. 262. 若a0，b0，则“a+b4”是“ab4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的
2、马获胜的概率为()A. 13B. 14C. 15D. 164. 随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：餐费(元)678人数102020这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是()A. 7.2，0.56B. 7.2，0.56C. 7，0.6D. 7，0.65. 方程x210-m+y2m-2=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为()A. (2,+)B. (2,6)(6,10)C. (2,10)D. (2,6)6. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若，则)A. 14B. 13C. 24D. 237. 已知抛物线y2=4x，过焦点且倾斜角为60的直线与抛物线交于
3、A、B两点，则AOB的面积为()A. 33B. 833C. 433D. 2338. 已知动点M(x,y)的坐标满足方程(y+5)2+x2-(y-5)2+x2=8，则M的轨迹方程是()A. x216+y29=1B. x216-y29=1C. x216-y29=1(x0)D. y216-x29=1(y0)9. 已知非零向量e1,e2不共线，如果AB=e1+e2，AC=2e1+8e2，AD=3e1-3e2，则四点A，B，C，D()A. 一定共线B. 恰是空间四边形的四个顶点C. 一定共面D. 可能不共面10. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图)
4、.给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是( )A. B. C. D. 11. 记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记D1PD1B=.当APC为钝角时，则的取值范围为()A. (0,1)B. (13,1)C. (0,13)D. (1,3)12. 设f(x)在x处可导，则limh0f(x+h)-f(x-h)2h等于()A. 2f(x)B. 12f(x)C. f(x)D. 4f(x)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13
5、. 若向量a=(2,1，-2)，e/a且|e|=1，则e=_14. 如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为_，_15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，直线y=b2与椭圆交于B，C两点，且BFC=90，则该椭圆的离心率是_16. 函数y=13x3-ax2+x-2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p：“曲线C1：x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线
6、C2：x2m-t+y2m-t-1=1表示双曲线”(1)若命题p是真命题，求m的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围18. 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：()求频率分布直方图中a的值；()分别求出成绩落在50,60)与60,70)中的学生人数；()从成绩在50,70)的学生任选2人，求此2人的成绩都在60,70)中的概率19. 如图，已知三棱锥D-ABC中，二面角A-BC-D的大小为90，且BDC=90，ABC=30，BC=3，AB=23(1)求证：AC平面BCD；(2)二面角B-AC-D为45，且E为线段BC的中点，求直线AE与平面ACD所成的
7、角的正弦值20. 若直线l为曲线C1：y=x2与曲线C2：y=x3的公切线，求直线l的斜率为多少？21. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)过点(0,2)，且离心率e为22(1)求椭圆E的方程；(2)设直线x=my-1(mR)交椭圆E于A，B两点，判断点G(-94,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1)(1)求抛物线C的方程；(2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值数学试卷答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查分层抽样
8、的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，属基础题根据分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键【解答】解：由分层抽样得6n=300600+400+300，解得n=26，故选D2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果【解答】解：a0，b0，4a+b2ab，2ab，ab4，即a+b4ab4，若a=4，b=14，则ab=14，但a+b=4+144，即ab4推不出a+b4，a+b4是ab4的充分不必要条件故选A3.【答案】A【解析】【分析】本题考查古典概型的概率求法，属
9、于基础题根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由古典概型的概率公式计算可得答案【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9种可能，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局，共3种可能，则田忌的马获胜的概率为39=13，故选：A4.【答案】A【解析】解：根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是x
10、.=150(610+720+820)=7.2，方差是s2=15010(6-7.2)2+20(7-7.2)2+20(8-7.2)2=0.56故选：A根据题目中的数据，求出它们的平均数和方差即可本题考查了计算加权平均数和方差的问题，是基础题5.【答案】D【解析】解：根据题意，方程x210-m+y2m-2=1表示焦点在x轴上的椭圆，则有10-m0m-2010-mm-2，解可得2m0m-2010-mm-2，解可得m的取值范围，即可得答案本题考查椭圆的几何性质，关键是掌握椭圆标准方程的形式6.【答案】A【解析】解：双曲线C的离心率为2，e=ca=2，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|-|F2A|=
11、2a，又|F1A|=2|F2A|，解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，|F1F2|=2c，则由余弦定理得，cosAF2F1=|AF2|2+|F1F2|2-|AF1|22|AF2|F1F2|=4a2+4c2-16a222a2c=4c2-12a28ac=c2-3a22ac=4a2-3a24a2=a24a2=14故选：A根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论本题主要考查双曲线的定义和性质，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题7.【答案】C【解析】解：根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F(1,0)，直线AB的斜率为k=tan60=3由直线方程
12、的点斜式方程，设AB：y=3(x-1)将直线方程代入到抛物线方程当中，得：3(x-1)2=4x整理得：3x2-10x+3=0设A(x1,y1)，B(x2,y2)由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=103，x1x2=1，所以弦长|AB|=1+k2|x1-x2|=1+3(x1+x2)2-4x1x2=163O到直线的距离为：d=33+1=32，AOB的面积为：1216332=433故选：C分析：求出抛物线的焦点坐标F(1,0)，用点斜式设出直线方程：y=3(x-1)，与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度利用点到直线的距离求
13、出三角形的高，即可求解面积本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，属于难题本题运用了直线方程与抛物线方程联解的方法，对运算的要求较高利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式是解决本题的关键8.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线定义和性质、求点的轨迹方程的方法，两点间距离公式的应用，属基础题由动点M(x,y)的坐标满足方程(y+5)2+x2-(y-5)2+x2=8及两点间的距离公式，得到其轨迹是以(0,5)为焦点，以8为实轴长的双曲线的上支，进而得到对应的标准方程【解答】解：设A(0,5)，B(0,-5)，由于动点M(x,y)的坐标满足方程(y+5)2+x2-(y-5)2+x2=8，
14、则|MB|-|MA|=8，故点M到定点B(0,-5)与到定点A(0,5)的距离差为8，则动点M(x,y)的轨迹是以(0,5)为焦点，以8为实轴长的双曲线的上支，由于2a=8，c=5，则b2=c2-a2=25-16=9，故M的轨迹的标准方程为：y216-x29=1(y0)故选：D9.【答案】C【解析】解：因为非零向量e1,e2不共线且AB=e1+e2，AC=2e1+8e2，AD=3e1-3e2，5AB-AD=5(e1+e2)-(3e1-3e2)=2e1+8e2=AC即AC=5AB-AD，由平面向量基本定理可知，四点A，B，C，D共面故选：C通过已知向量关系，求出AC=5AB-AD，说明四点A，B
15、，C，D共面本题考查平面向量基本定理的应用，平面向量的基本运算，考查计算能力10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了方程与曲线，属中档题将x换成-x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得【解答】解：将x换成-x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x=0时，代入得y2=1，y=1，即曲线经过(0,1)，(0,-1)，当x0时，方程变为y2-xy+x2-1=0，所以=x2-4(x2-1)0，解得x(0,233，所以x只能取整数1，当x=1时，y2-y=0，解得y=0或y=1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(-1,0)，(-1,1)，故曲线一共经
16、过6个整点，故正确，当x0时，由x2+y2=1+xy得x2+y2-1=xyx2+y22，(当x=y时取等)，x2+y22，x2+y22，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2，故正确，在x轴上方图形面积大于矩形面积=12=2，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=1221=1，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3，故错误，故选C11.【答案】B【解析】解：由题设可知，以DA、DC、DD1为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则有A(1,0，0)，B(1,1，0)，C(0,1，0)，D1(0,0，1)由
17、D1B=(1,1，-1)，得D1P=D1B=(,-)，所以PA=PD1+D1A=(-,-,)+(1,0，-1)=(1-，-，-1)，PC=PD1+D1C=(-,-,)+(0,1，-1)=(-，1-，-1)因为APC不是平角，所以APC为钝角等价于cosAPC=cos=PAPC|PA|PC|0，则等价于PAPC0即(1-)(-)+(-)(1-)+(-1)2=(-1)(3-1)0，得131因此，的取值范围是(13,1)故选B由APC不可能为平角，则APC为钝角等价于APC为钝角等价于PAPC0，用关于的字母表示PAPC0，即a1或a2m+82m+80,解得-4m4；(2)若q为真，则(m-t)(m
18、-t-1)0，即tmt+1，p是q的必要不充分条件，则m|tmt+1m|-4m4，即-4tt+1-2或t4，解得-4t-3或t4【解析】本题考查了椭圆与双曲线的概念及充分条件，必要条件的应用，属于中档题(1)利用椭圆的标准方程求出m的范围；(2)若q为真，则(m-t)(m-t-1)0，即tmt+1，由p是q的必要不充分条件，得到m|tmt+1m|-4m4，即可求出t的取值范围18.【答案】解：()根据直方图知组距为10，由(2a+3a+7a+6a+2a)10=1，解得a=0.005()成绩落在50,60)中的学生人数为20.0051020=2，成绩落在60,70)中的学生人数为30.00510
19、20=3()记成绩落在50,60)中的2人为A，B，成绩落在60,70)中的3人为C，D，E，则从成绩在50,70)的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在60,70)中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=310【解析】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题()根据频率分布直方图求出a的值；()由图可知，成绩在50,60)和60,70)的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求；()分别列出满足50,70)的基本事件，再找到在60
20、,70)的事件个数，根据古典概率公式计算即可19.【答案】解：(1)ABC中，由cosABC=AB2+BC2-AC22ABBC=32，解得AC=3，从而AC2+BC2=AB2，ACBC；又二面角A-BC-D的大小为90，即平面BCD平面ABC，而平面BCD平面ABC=BC，AC平面ABC，故AC平面BCD；(2)以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，故平面ABC的法向量u=(0,0，1)，设平面ACD的法向量v=(1,m，n)，由vCA，易知m=0，从而v=(1,0，n)，|cos|=|n|1+n2=22，解得n
21、=1，结合实际图形，可知n取1时，二面角为135，应舍去，所以v=(1,0，-1)，易知A(0,3,0)，B(3,0，0)，故E(32,0,0)，则EA=(-32,3,0)，设直线AE与平面ACD所成的角为，则sin=|cos|=4214，即直线AE与平面ABC所成的角的正弦值为4214【解析】(1)通过ABC中，利用AC2+BC2=AB2，得到ACBC；结合二面角A-BC-D的大小为90，得到平面BCD平面ABC，然后证明AC平面BCD；(2)以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，平面ACD的法向量，利用二面角
22、为135，求解平面ABC的法向量，求出EA=(-32,3,0)，利用空间向量的数量积求解直线AE与平面ABC所成的角的正弦值即可本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角以及二面角的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题20.【答案】解：曲线C1：y=x2，则y=2x，曲线C2：y=x3，则y=3x2，直线l与曲线C1的切点坐标为(a,b)，则切线方程为y=2ax-a2，直线l与曲线C2的切点坐标为(m,n)，则切线方程为y=3m2x-2m3，2a=3m2，a2=2m3，m=0或m=89，直线l的斜率为0或6427【解析】求出曲线C1的y=2x，曲线C2的y=3x2，设出切
23、点坐标，求出切线的斜率，得到切线方程，列出方程求解即可本题考查曲线的切线方程的求法，考查发现问题解决问题的能力，是中档题21.【答案】解法一：(1)由已知得b=2ca=22a2=b2+c2，解得a=2b=c=2，椭圆E的方程为x24+y22=1(2)设点A(x1y1)，B(x2,y2)，AB中点为H(x0,y0).由x=my-1x24+y22=1，化为(m2+2)y2-2my-3=0，y1+y2=2mm2+2，y1y2=-3m2+2，y0=mm2+2G(-94,0)，|GH|2=(x0+94)2+y02=(my0+54)2+y02=(m2+1)y02+52my0+2516|AB|24=(x1-
24、x2)2+(y1-y2)24=(m2+1)(y1+y2)2-4y1y24=(m2+1)(y02-y1y2)，故|GH|2-|AB|24=52my0+(m2+1)y1y2+2516=5m22(m2+2)-3(m2+1)m2+2+2516=17m2+216(m2+2)0|GH|AB|2，故G在以AB为直径的圆外解法二：(1)同解法一(2)设点A(x1y1)，B(x2,y2)，则GA=(x1+94,y1)，GB=(x2+94,y2)由x=my-1x24+y22=1，化为(m2+2)y2-2my-3=0，y1+y2=2mm2+2，y1y2=-3m2+2，从而GAGB=(x1+94)(x2+94)+y1
25、y2=(my1+54)(my2+54)+y1y2=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516=5m22(m2+2)-3(m2+1)m2+2+2516=17m2+216(m2+2)0GAGB0，又GA，GB不共线，AGB为锐角故点G(-94,0)在以AB为直径的圆外【解析】解法一：(1)由已知得b=2ca=22a2=b2+c2，解得即可得出椭圆E的方程(2)设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB中点为H(x0,y0).直线方程与椭圆方程联立化为(m2+2)y2-2my-3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=mm2+2.|GH|2=(x0+94)2+y02|AB|24=
26、(m2+1)(y1+y2)2-4y1y24，作差|GH|2-|AB|24即可判断出解法二：(1)同解法一(2)设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则GA=(x1+94,y1)，GB=(x2+94,y2).直线方程与椭圆方程联立化为(m2+2)y2-2my-3=0，计算GAGB=(x1+94)(x2+94)+y1y2即可得出AGB，进而判断出位置关系本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题22.【答案】(1)解：由题意抛物线y2=2px过点A(1,1
27、)，所以p=12，所以抛物线的方程为y2=x；(2)证明：设过点P(3,-1)的直线方程为x-3=m(y+1)，即x=my+m+3，代入y2=x得y2-my-m-3=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则y1+y2=m，y1y2=-m-3，所以k1k2=y1-1x1-1y2-1x2-1=y1-1y12-1y2-1y22-1=1y1+1y2+1=1y1y2+y1+y2+1=1m+-m-3+1=-12，所以k1k2为定值【解析】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，难度一般(1)利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；(2)设过点P(3,-1)的直线方程为x-3=m(y+1)，即x=my+m+3，代入y2=x，利用韦达定理，结合斜率公式化简，即可证明k1k2为定值版权所有正确教育 侵权必纠！第13页，共14页
