1、5对数函数1对数函数的概念一般地，函数ylogax(a0，a1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数，特别地，我们称以10为底的对数函数ylg x为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数yln x为自然对数函数谈重点 对数函数解析式的结构特征在对数函数ylogax中，logax的系数必须是1，对数的底数a是一个大于0而不等于1的常数，对数的真数仅有自变量x.有些函数貌似不是对数函数，实际上却是，如y2logax(a0，a1)，ylog2都是对数函数，因为y2logax，ylog2log2xlog4x.【例1】下列函数是对数函数的是_(填序号)(1)y4x；(2)ylogx2；(3)ylog3x
2、；(4)y；(5)ylog(2a1)x(，且a1，x是自变量)；(6)ylog2(x1)解析：根据对数函数的定义，只有严格符合ylogax(a0，a1，x0)形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数易知，(1)式是指数函数；(2)式中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；(3)式中ylog3x是对数函数；(4)式中y是对数函数；(5)中对数的底数2a1是一个大于0且不等于1的常数，符合对数函数的定义；(6)中函数在对数的真数处不只有自变量x，而是关于x的表达式x1，故不是对数函数由此可知只有(3)(4)(5)是对数函数答案：(3)(4)(5)2同底的指数函数yax和对数函数ylog
3、ax(a0，a1)的关系指数函数yax和对数函数xlogay刻画的是同一对变量x，y之间的关系，所不同的是：在指数函数yax中，x是自变量，y是x的函数，其定义域为R，值域是(0，)；在对数函数xlogay中，y是自变量，x是y的函数，其定义域为(0，)，值域是R.像这样的两个函数叫作互为反函数，就是说，对数函数ylogax是指数函数yax的反函数，指数函数yax也是对数函数ylogax的反函数通常情况下，x表示自变量，y表示函数，所以对数函数应该表示为ylogax(a0，a1)，指数函数表示为yax(a0，a1)因此，指数函数yax(a0，a1)是对数函数ylogax(a0，a1)的反函数；
4、同时，对数函数ylogax(a0，a1)也是指数函数yax(a0，a1)的反函数破疑点 反函数是一种函数吗？我们知道，一个学生不能说是同桌，同桌是两个学生之间的关系，不能独立存在反函数也是如此，一个函数不能说是不是反函数，只有两个函数之间才能说是否具有反函数的关系，即反函数是两个函数之间的相互关系，且成对出现例如，函数ylog7x的反函数是y7x.同样，函数y7x的反函数是ylog7x.【例21】写出下列函数的反函数：(1)；(2)yln x；(3)；(4)y0.2x1.解：(1)指数函数，它的底数是，它的反函数是对数函数.(2)对数函数yln x，它的底数是e，它的反函数是指数函数yex.(
5、3)对数函数，它的底数是，它的反函数是指数函数.(4)因为y0.2x1，即y10.2x，所以它的反函数是ylog0.2(x1)析规律 同底的指数函数与对数函数互为反函数指数函数yax的反函数是对数函数ylogax(a0，a1)；对数函数ylogax的反函数是指数函数yax(a0，a1)，即同底的指数函数和对数函数互为反函数【例22】已知函数f(x)2x的反函数为g(x)，则g(2)_.解析：指数函数f(x)2x的反函数是同底的对数函数g(x)log2x，故g(2)log221.答案：13对数函数ylog2x的图像和性质(1)画对数函数ylog2x的图像，可以有两种不同的方法：描点法；变换法：画
6、出函数xlog2y的图像，再变换为ylog2x的图像描点法是画函数图像的常规方法，其基本步骤是“列表描点连线”；由于指数函数yax和对数函数xlogay所表示的x和y这两个变量间的关系是一样的，因而函数xlog2y和y2x的图像是一样的，通常用x表示自变量，把x轴、y轴的字母表示互换，就得到ylog2x的图像，习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把图翻转，使x轴在水平位置，得到通常的ylog2x的图像，其变换过程如下：这种变换法经历了由指数函数到对数函数的过程，体现了两个函数间的关系但是，也要看出，要画出给定的对数函数的图像，这种方法是不方便的，通常还是用描点法画图(2)观察对数函数ylo
7、g2x的图像可知，函数ylog2x有如下性质：图像恒过点(1,0)，即x1时，y0；函数图像都在y轴右边，表示零和负数没有对数；当x1时，ylog2x的图像位于x轴上方，即x1时，y0；当0x1时，ylog2x的图像位于x轴下方，即0x1时，y0；函数ylog2x在(0，)上是增函数析规律 怎样根据函数的图像判断函数的性质？函数图像含有函数的全部特征它具有很强的直观性，我们要充分重视函数图像的应用，养成借助函数图像进行思考的习惯函数图像的特征与性质的对应关系为：(1)函数图像上所有点的横坐标的取值范围是函数的定义域(2)函数图像上所有点的纵坐标的取值范围是函数的值域(3)在区间I上，函数图像是
8、上升的，说明函数在区间I上是增加的；函数图像是下降的，说明函数在区间I上是减少的(4)函数的图像关于原点对称，说明函数是奇函数；函数的图像关于y轴对称，说明函数是偶函数(5)函数的图像经过点(m，n)，说明f(m)n.【例31】函数f(x)log2(1x)的定义域为_解析：因为零和负数没有对数，即对数的真数应大于0，所以1x0，即x1.答案：(，1)【例32】函数ylog2x，且f(m)0，则m的取值范围是()A(0，) B(0,1)C(1，) DR解析：由函数ylog2x的图像可知，若f(m)0，则实数m应落在1的右侧，即m的取值范围是(1，)答案：C【例33】设f(x)是奇函数，当x0时，
9、f(x)log2x，则当x0时，f(x)等于()Alog2x Blog2(x)Clogx2 Dlog2(x)解析：f(x)是奇函数，f(x)f(x)又当x0时，x0，且当x0时，f(x)log2x，x0时，f(x)f(x)log2(x)答案：D【例34】方程log2x0的解的个数是()A0 B1C2 D不确定解析：在同一坐标系中画出函数与ylog2x的图像，如图所示由图知它们的图像有一个交点，即方程log2x仅有一个解，也就是方程log2x0有一个解答案：B【例35】函数f(x)log2x在区间a,2a(a0)上的最大值与最小值之差为_解析：f(x)log2x在区间a,2a上是增函数，f(x)
10、maxf(x)minf(2a)f(a)log22alog2alog221.答案：14对数函数ylogax(a0，a1)的图像与性质对数函数ylogax(a0，a1)，在其底数a1及0a1这两种情况下的图像和性质可以总结如下表a10a1图像性质定义域(0，)值域R定点过点(1,0)，即x1时，y0函数值的变化当x1时，y0，当0x1时，y0当x1时，y0，当0x1时，y0单调性是(0，)上的增函数是(0，)上的减函数谈重点 对数函数图像和性质的记忆及其补充1对数函数图像和性质的助记口诀：对数增减有思路，函数图像看底数，底数只能大于0，等于1来也不行底数若是大于1，图像从下往上增，底数0到1之间，
11、图像从上往下减无论函数增和减，图像都过(1,0)点2对数logax的符号判断：当0x1,0a1或x1，a1时，logax0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax0，也就是为正数，简称为“同正”；当0x1，a1或x1,0a1时，logax0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax0，即为负数，简称为“异负”因此对数的符号简称为“同正异负”3同底的指数函数和对数函数的图像关于直线yx对称：这是因为函数ylogax与函数yax互为反函数，设对应于函数ylogax图像上的任意一点为P(m，n)，则P点关于直线yx的
12、对称点Q(n，m)总在函数yax图像上；反之也成立；所以，函数ylogax的图像与函数yax的图像关于直线yx对称【例41】函数ylogax的图像如图所示，则实数a可能取的值是()A B C D10解析：由图像得函数ylogax在(0，)上是增函数，则a1.答案：D【例42】函数f(x)lg(4x2)的定义域为()A2,2 B(2,2) C0,2 D(0,2)解析：由4x20，得x24，即|x|2，所以2x2，因此，函数f(x)lg(4x2)的定义域为(2,2)答案：B【例43】若1，那么a的取值范围是()A BC(1，) D解析：当a1时，函数ylogax在(0，)上是增函数，若1，即log
13、aa，则，此时a1；当0a1时，函数ylogax在(0，)上是减函数，若1，即logaa，则，此时0a.综上可知，a的取值范围是(1，)答案：C【例44】为了得到函数的图像，只需要把函数ylog3x的图像上所有的点()A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析：由对数的运算性质得log3(x3)log33log3(x3)1，所以，要得到函数，即ylog3(x3)1的图像，只需把函数ylog3x的图像向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案：D
14、5对数函数ylogax(a0，a1)的底数a对函数图像的影响(1)一般地，当ab1时，函数ylogax和ylogbx的图像如图所示由图像可以看出：两个函数在(0，)上都是增函数：当0x1时，总有logbxlogax0；当x1时，总有logaxlogbx0；当x1时，总有logbxlogax0；对数函数的底数越小，当x1时，其函数值增长得越快(2)当0ba1时，函数ylogax和ylogbx的图像如图所示由图像可以看出：两个函数在(0，)上都是减函数；当0x1时，总有logaxlogbx0；当x1时，总有logaxlogbx0；当x1时，总有logaxlogbx0；对数函数的底数越大，当0x1时
15、，其函数值减小得越快解技巧 几个对数函数的底数的大小比较由于对数函数ylogax(a0，a1)的图像与直线y1交点的横坐标为对数的底数a，所以，我们常作出直线y1，来比较同一直角坐标系中几个对数函数的底数的大小如图是四个对数函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx在同一直角坐标系中的图像，易知0cd1ab.可简记为：在第一象限内，对数函数的底数从左向右依次增大【例5】如图的曲线是对数函数ylogax的图像，已知a的取值分别为，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为()ABCD解析：由底数对对数函数图像的影响这一性质可知，C4的底数C3的底数C2的底数C1的底数故相应于曲
16、线C1，C2，C3，C4的底数依次是，.故选A.答案：A6与对数函数有关的函数的定义域和值域的求法(1)求函数的定义域，就是求使函数各部分都有意义的自变量的取值集合，涉及到对数的式子应满足底数大于0且不等于1和真数大于0两个条件(2)充分利用对数函数的单调性和图像是求对数函数值域的常用方法对于求形如ylogaf(x)(a0，a1)的复合函数的值域的步骤为：分解成ylogau，uf(x)两个函数；求f(x)的定义域；求u的取值范围，即f(x)的值域；利用ylogau的单调性求出ylogaf(x)的值域若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论【例
17、61】函数的定义域为_解析：要使函数有意义，需满足即05x31，解得.因此，该函数的定义域为.答案：【例62】求函数y的值域解：设ux26x17(x3)28，u8，函数在8，)上是减函数，函数y的值域为(，37对数值大小的比较方法比较两个对数值的大小常用的方法有：(1)单调性法：当对数式的底数相同时，可构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小如比较log31.9与log32的大小，可构造对数函数ylog3x，因为函数ylog3x在(0，)上为增函数，1.92，所以log31.9log32.(2)图像法：当对数式的真数相同时，可在同一直角坐标系内画出相应的两个对数函数的图像，借助图像比较大小如
18、比较与的大小，可构造对数函数和，根据“在第一象限内，对数函数的底数从左向右依次增大”的特点，在同一直角坐标系内画出两个函数的图像如下，易知，当x3时，.(3)中间量法：当对数式的底数和真数都不相同时，则需要引入中间量进行比较，通常借助常数1,0,1.如比较log23与log0.32的大小，因为log23log210，log0.32log0.310，所以log23log0.32.(4)分类讨论法：当底数与1的大小关系不确定时，对数函数ylogax的单调性有两种情况，此时可结合底数与1的大小关系，分类讨论处理如比较loga与loga3.141的大小当a1时，函数ylogax在(0，)上是增函数，3
19、.141，则有logaloga3.141；当0a1时，函数ylogax在(0，)上是减函数，则有logaloga3.141，所以，综上可得，当a1时，logaloga3.141；当0a1时，logaloga3.141.8简单的对数型不等式的解法(1)当a1时，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0；(2)当0a1时，logaf(x)logag(x)0f(x)g(x)以上是解简单的“同底型”对数不等式的基础例如，解不等式log2(2x1)log2(x5)，根据对数函数ylog2x的单调性以及真数必大于0的性质，可得到不等式组解得,【例71】若，blog43，则a，b，c的大小关系为(
20、)AbacBabcCcabDacb解析：因为函数在R上是减函数，所以，即a1；因为函数ylog4x在(0，)上是增函数，所以log44log43log41，即0b1；因为函数在(0，)上是减函数，所以，即c0.因此a，b，c的大小关系为abc.答案：B【例72】比较下列各组数的大小(1)_；(2)log26_log36；(3)log34_log43；(4)loga5.1_loga5. 9(a1)；(5)logxa_logya(xy1,0a1)；(6)loga(b2b1)_(0a1)解析：(1)对数和的底数都是2，可构造对数函数ylog2x，利用其单调性比较两个值的大小由于函数ylog2x在(0
21、，)上是增函数，故.(2)对数log26和log36的真数相同，可在同一直角坐标系中画出相应的两个对数函数ylog2x和ylog3x的图像，由图像可知，log26log36.(3)log34log331，log43log441，log34log43.(4)当a1时，函数ylogax在(0，)上是增函数，5.15.9，故loga5.1loga5.9.(5)在同一直角坐标系中，画出函数f(t)logxt和g(t)logyt(xy1)的图像如下，易知，当ta(0a1)时，logxalogya. (6)b2b1，又当0a1时，函数ylogax在(0，)上是减函数，loga(b2b1).答案：(1)(2
22、)(3)(4)(5)(6)析规律 比较对数值的大小比较对数值的大小，首先要看底数，底数相同时用单调性，不同时要找“桥梁”，如果底数为参数时要分类讨论【例8】已知1，那么a的取值范围是()A0a BaCa1 D0a或a1解析：因为logaa1，所以1logaa.当a1时，ylogax在(0，)上是增函数，原不等式等价于a，此时a1；即x2，所以原不等式的解集是.由此可以看出，解对数不等式通常转化为不等式组，其依据是对数函数的单调性，而且要遵循“定义域优先”原则对于含有字母的对数不等式，应考虑分类讨论当0a1时，ylogax在(0，)上是减函数，原不等式等价于，此时0a.综上可知，a的取值范围是0
23、a或a1.答案：D9对数型函数的定点问题由于loga10(a0，a1)，即1的对数等于0，所以，对于对数函数ylogax(a0，a1)，不管其底数取任何大于0且不等于1的常数，其图像都过一个定点(1,0)因此，讨论有关对数型函数的定点问题时，关键是确定真数等于1的条件一般地，函数g(x)klogaf(x)b(a0，a1，k，b是常数)若f(m)1，则函数g(x)恒过定点(m，b)【例91】函数yloga(3x2)(a0，a1)的图像过定点()AB(1,0)C(0,1)D解析：当3x21，即x1时，不论a如何变化都有yloga10，故过定点(1,0)所以选B.答案：B【例92】函数f(x)loga(x1)2(a0，a1)恒过定点P的坐标是_解析：对数函数ylogax恒过定点(1,0)，即当x1时，无论a取何值(需a0，a1)必有loga10.因此只要loga(x1)中x11，即x0时，f(x)恒过定点P(0，f(0)，即(0，2)答案：(0，2)高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801
