1、4.4.3 不同函数增长的差异 基础预习初探问题观察函数yx2，y2x，ylog2x在区间(0，)上的图象，思考以下几个问题：1三个函数在区间(0，)上的图象有什么特点？提示：三个函数在区间(0，)上的图象都是上升的，即单调递增 2当x趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？提示：三个函数的增长速度差异很大，其中y2x增长速度最快，ylog2x增长速度最慢 3试着完成下面的填空：y2xylog2xyx2在(0，)上的增减性_增长速度_越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现 为与_“平行”随x增大逐渐表现 为与_“平行”在(0，)上，随x的增大，图象平稳上升增函数 越来越快
2、 y轴 增函数 x轴 增函数【概念生成】1常见的函数模型：_、_、_、_、_2三类函数的比较yax(a1)ylogax(a1)yx(0)单调性增函数增函数增函数增长速度爆炸式越来越慢比较平稳一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数3.增长率问题 日常生活中常见的问题，计算公式为_，若某月的产值是b，月增长 率为p，则此月开始第n个月后的产值是_ yN(1p)xb(1p)n核心互动探究探究点一 三类函数增长的差异【典例 1】下列函数中随 x 的增大而增长速度最快的是()Ay 1100 exBy100ln xCy100 xDy1002x【思维导引】结合不同函数的增长特性对选项进行分析【解析】选A.指
3、数函数yax，在a1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快【类题通法】1函数增长快慢对函数曲线的影响随着自变量的增大，如果函数值增长越来越快，则函数的图象越“陡”，类似于指数函数的图象；如果函数值增长越来越慢，则函数的图象越“缓”，类似于对数函数的图象2函数模型的实际应用指数、对数函数模型在实际问题中有广泛的应用，可根据增长的快慢特征选择、建立函数模型，再利用指数、对数运算解决问题，已经给出函数模型的，则直接代入相应的数据计算解决本题【定向训练】已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如表：则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是()Ay1x2，y22x，y3l
4、og2x By12x，y2x2，y3log2xCy1log2x，y2x2，y32x Dy12x，y2log2x，y3x2x12468y1241664256y214163664y30122.5853【解析】选B.从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化探究点二 三类函数图象的比较【典例 2】如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过 3 分钟漏完已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则 H 与下落时间 t(分)的函
5、数关系表示的图象只可能是()【思维导引】结合题意分析随t的变化H的变化情况，重点关注H的变化快慢情况【解析】选B.由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，因为圆柱中液面上升的速度是一个常量，即漏斗中液体漏出的速度是一定的，因此H增长的速度越来越大【类题通法】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数【定向训练】下列函数中，增长速度越来越慢的是()Ay6x Bylog6xCyx6 Dy6x【解析】选B.D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有
6、B符合题意探究点三 三类函数模型的构建与选取【典例 3】某学校为了实现 100 万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到 5 万元时，按生源利润进行奖励，且奖金 y 随生源利润 x的增加而增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不超过利润的 20%.现有三个奖励模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？【思维导引】借助工具作出函数 y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x 的图象结合题干数据研究哪一种模型更符合要求【解析】借助工具作出函数y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x的图象(图略).观察图象可知，在区间5，100
7、上，y0.2x，y1.02x的图象都有一部分在直线y3的上方，只有ylog5x的图象始终在y3和y0.2x的下方，这说明只有按模型ylog5x进行奖励才符合学校的要求【类题通法】不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律因此需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题【知识延拓】三种函数模型的解析式及其增长特点的总结(
8、1)指数函数模型：解析式为f(x)abxc(a，b，c为常数，a0，b0，且b1)，当b1时，增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0b0，a0，且a1)，当a1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0a0)，其增长情况由a和的取值确定，常见的有二次函数模型【定向训练】某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过_小时【解析】设1个细菌分裂x次后有y个细菌，则y2x，令2x4 096212，则x12，即需分裂12次，需121518
9、0(分钟)，即3小时答案：3【课堂小结】课堂素养达标1以下四种说法中，正确的是()A幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B对任意的x0，xnlogaxC对任意的x0，axlogaxD不一定存在x0，当xx0时，总有axxnlogax【解析】选D.对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当0a1时，显然不成立当a1，n0时，一定存在x0，使得当xx0时，总有axxnlogax，但若去掉限制条件“a1，n0”，则结论不成立2高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h
10、时水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象是()【解析】选B.当h0时，v0，可排除A，D.由于鱼缸中间粗两头细，所以当h在H2 附近时，体积变化较快；hH2 时，增加越来越慢3家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足解析式QQ0e0.002 5t，其中Q0是臭氧的初始量(参考数据ln 20.693 1)(1)随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？【解析】(1)因为此函数是减函数，所以臭氧的含量减少(2)令Q0e0.002 5xQ02，即e0.002 5x12，0.002 5tln 12，利用计算器解得t277.26，所以278年后将会有一半的臭氧消失