1、第5讲古典概型1古典概型一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型2古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A).一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的概率模型才是古典概型正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键1一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是()A. B C D0答案A解析一枚硬币连掷2次，样本点有(
2、正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个，而恰有1次出现正面包括(正，反)，(反，正)，2个，故其概率为.故选A.2(多选)下列是古典概型的是()A从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B同时掷两枚骰子，点数和为7的概率C近三天中有一天降雨的概率D10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率答案ABD解析A，B，D是古典概型，因为都具备古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不具备等可能性，故不是古典概型故选ABD.3(2021全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A. B C D答案C解析将4个1和2个0安排在6个位置，选择2个位置安
3、排0，共有C种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C种排法所以2个0不相邻的概率P.故选C.4中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形中较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从115这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为()A. B C D答案D解析从这15个数中随机抽取3个整数，所有样本点的个数为C，其中勾股数为(3,4,5)，(6,8,10)，(9,12,15)，(5,12,13)，共4个，所以这三个数为勾股数的概率为P.故选D.5(2020江苏高考)将一颗质地均匀的正
4、方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_.答案解析根据题意可得样本点共有6636个，点数和为5的样本点有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，共4个，向上的点数和为5的概率为.6在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为_(结果用最简分数表示)答案解析解法一：从这30瓶饮料中任取2瓶，至少取到1瓶已过保质期的概率为P.解法二：从这30瓶饮料中任取2瓶，至少取到1瓶已过保质期的概率为P1.考向一简单的古典概型例1将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”
5、，事件C：“两个数均为偶数”(1)写出该试验的样本空间，并求事件A发生的概率；(2)求事件B发生的概率；(3)事件A与事件C至少有一个发生的概率解(1)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，样本空间(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,
6、3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36个样本点，事件A包含的样本点有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个样本点，事件A发生的概率为P(A).(2)事件B包含的样本点有12个，分别为(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，事件B发生的概率P(B).(3)事件A与事件C至少有一个发生包含的样本点有11个，分别为(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,3)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，事件A与事件C
7、至少有一个发生的概率为P(AC). 求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识1.(2021新高考八省联考)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为()A. B C D答案C解析设三位同学分别为A，B，C，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数
8、列表示三人拿到的卡片种类，如(1,3,2)表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号三人可能拿到的卡片结果为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种，其中满足题意的结果有(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，共3种，结合古典概型的概率计算公式可得，满足题意的概率P.故选C.2踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健身活动某单位组织踢毽子比赛，把10人平均分成甲、乙两组，其中甲组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为26,29,32,45,51；乙组每人在1分钟内踢毽子的数
9、目分别为28,31,38,42,49.从甲、乙两组中各随机抽取1人，则这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是()A. B C D答案C解析由题意可得所求概率P.故选C.3(多选)(2021南京市第十三中学期末)从集合A1，3,2,4中随机选取一个数记为a，从集合B5,1,4中随机选取一个数记为b，则()Aab0的概率是Bab0的概率是C直线yaxb不经过第三象限的概率是Dln aln b1的概率是答案AC解析由题意可得(a，b)所有可能的取法有(1，5)，(1,1)，(1,4)，(3，5)，(3,1)，(3,4)，(2，5)，(2,1)，(2,4)，(4，5)，(4,1)，(4,4)，共12种，
10、对于A，满足ab0的取法有(1，5)，(3，5)，(2,1)，(2,4)，(4,1)，(4,4)，共6种，所以ab0的概率P，故A正确；对于B，满足ab0的取法有(1，1)，(1,4)，(3,4)，(2,1)，(2,4)，(4,1)，(4,4)，共7种，所以ab0的概率P，故B错误；对于C，因为直线yaxb不经过第三象限，所以a0，b0)，其中a1,2,3,4，b1,2,3,4，且a，b取到其中每个数都是等可能的，则直线l：yx与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为()A. B C D答案B解析若直线l：yx与双曲线C的左、右支各有一个交点，则1，样本点总数为4416，满足条件的(a，b)的
11、情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，故所求概率为.6已知一组抛物线yax2bx1，其中a为2,4中任取的一个数，b为1,3,5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x1交点处的切线相互平行的概率是_.答案解析抛物线共有6条，任取两条共C15种情况yaxb，在与直线x1交点处的切线斜率为ab，而a为2,4中任取的一个数，b为1,3,5中任取的一个数，满足ab相等的抛物线有2对，在与直线x1交点处的切线相互平行的概率为.考向三古典概型与统计的交汇问题例5A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层随机抽样获得了
12、部分学生一周的上网时长，数据如表(单位：小时)：A班12 13 13 18 20 21B班11 11.5 12 13 13 17.5 20C班11 13.5 15 16 16.5 19 21(1)试估计A班的学生人数；(2)从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；(3)从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率解由题可得，A，B，C三个班抽取的人数分别为6,7,7，共有20人(1)由题可得，A班的人数估计为12036.(2)抽取的20人中，上网时长超过15小时的有3249，从这12
13、0名学生中任选1名学生，这名学生一周上网时长超过15小时的概率为.(3)从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，共有CC105种抽法这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的抽法有均来自A班，有CC15种；一个来自A班，一个来自B班，有CCC18种，故共有151833种这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率为. 求解古典概型与统计交汇问题的思路(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息(2)进行统计与古典概型概率的正确计算7.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，
14、整理数据并按分数段40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100进行分组假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如下：(1)体育成绩大于或等于70分为“体育良好”已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在60,70)和80,90)的样本学生中随机抽取2人，求抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在60,70)内的概率解(1)由题中折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，所以该校高一年级中“体育良好”的学生人数大约为1000750.
15、(2)设“至少有1人体育成绩在60,70)内”为事件A，由题意，得P(A)11，因此至少有1人体育成绩在60,70)内的概率是.一、单项选择题1为了强化安全意识，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好是连续2天的概率是()A. B C D答案A解析由题意，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练，可得样本点的总数为nC10，其中选择的2天恰好为连续2天包含的样本点为m4，所以选择的2天恰好是连续2天的概率是P.故选A.2(2021广东七校联合体模拟)中医是中国传统文化的瑰宝中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物
16、配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”(由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成)和补血名方“四物汤”(由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成)两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是()A. B C D答案A解析记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件M，依题意得P(M).故选A.3(2020全国卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A. B C D答案A解析如图，从O，A，B，C，D 5个点
17、中任取3点有O，A，B，O，A，C，O，A，D，O，B，C，O，B，D，O，C，D，A，B，C，A，B，D，A，C，D，B，C，D共10种等可能的不同取法，3点共线的有O，A，C与O，B，D共2种取法由古典概型的概率计算公式，知取到的3点共线的概率为.故选A.4(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A. B C D答案C解析不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同
18、的数，共有C45种方法，因为7231119131730，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，概率为.故选C.5把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m(a，b)，n(1,2)，则向量m与向量n不共线的概率是()A. B C D答案B解析若m与n共线，则2ab0，而(a，b)的可能情况有6636个符合2ab的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三个故共线的概率是，从而不共线的概率是1.故选B.6(2019全国卷)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦
19、在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. B C D答案A解析在所有重卦中随机取一重卦，其样本点总数n2664，恰有3个阳爻的样本点数为C20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P.故选A.7(2022江苏扬州高邮市第一中学模拟)“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游)，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件
20、礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是()A. B C D答案B解析从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，有4名顾客都领取一件礼品，其样本点总数n3481，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的样本点个数为CA36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率P.故选B.8(2021山东济南模拟)为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为()A. B C D答案B解析所有的安排方法有CACA106536150种，若只有1人
21、去冰球项目做志愿者，有CA4(43)256种；若恰有2人去冰球项目做志愿者，有CCA63236种；若有3人去冰球项目做志愿者，有CA428种，所以共有56368100种安排方法，所以学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为.故选B.二、多项选择题9(2021惠州模拟)如图是一个古典概型的样本空间和事件A和B，其中n()24，n(A)12，n(B)8，n(AB)16，下列运算结果正确的有()An(AB)4 BP(AB)CP(AB) DP()答案ABC解析对于A，n(AB)n(A)n(B)n(AB)，n(AB)n(A)n(B)n(AB)4，故A正确；对于B，P(AB)，故B正确；对于C，P(
22、AB)，故C正确；对于D，n()n()n(AB)24168，P()，故D错误故选ABC.102019年国际数学奥林匹克竞赛(IMO)中国队王者归来，6名队员全部摘金，总成绩荣获世界第一，数学奥林匹克协会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往机场接参赛选手某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则下列结论正确的是()AP1P2 BP1P2C2P13P2 DP1P2答案CD解析三辆车的出车顺序可能为12
23、3,132,213,231,312,321，方案一坐到“3号”车可能为132,213,231，所以P1；方案二坐到“3号”车可能为312,321，所以P2，所以P1P2,2P13P2，P1P2.故选CD.11(2021黄石市有色第一中学期末)某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速km/h分成六段：60,65)，65,70)，70,75)，75,80)，80,85)，85,90，得到如图所示的频率分布直方图下列结论正确的是()A这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过
24、75 km/h的概率为0.65C若从样本中车速在60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在65,70)的概率为D若从样本中车速在60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在65,70)的概率为答案ABC解析根据频率分布直方图可知，这80辆小型车辆车速主要集中在75,80)，众数为77.5，故A正确；车速超过75 km/h的频率为(0.060.050.02)50.65，故B正确；车速在60,70)的车辆共有80(0.010.02)512辆，车速在65,70)的车辆有800.0258辆，所以任意抽取2辆，至少有一辆车的车速在65,70)的概率为P，故C正确；车速都在65,70)的概率
25、为P，故D错误故选ABC.12.(2021湖南长沙一中模拟)如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1，A2，A3，A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有()A甲从M到达N处的方法有120种B甲从M必须经过A3到达N处的方法有9种C甲、乙两人在A3处相遇的概率为D甲、乙两人相遇的概率为答案BD解析对于A，甲从M到达N处，需要走6步，其中向上3步，向右3步，所以从M到达N处的方法有C 20种，故A错误；对于B，甲从M到达A3处
26、，需要走3步，其中向上1步，向右2步，共C3种，从A3到达N处，需要走3步，其中向上2步，向右1步，共C3种，所以甲从M必须经过A3到达N处的方法有339种，故B正确；对于C，甲经过A3的方法数为CC9，乙经过A3的方法数为CC9，所以甲、乙两人在A3处相遇的方法数为CCCC81，故甲、乙两人在A3处相遇的概率P，故C错误；对于D，甲、乙两人沿着最短路径行走，只能在A1，A2，A3，A4处相遇，若甲、乙两人在A1处相遇，甲经过A1处，必须向上走3步，乙经过A1处，则乙前三步必须向左走，两人在A1处相遇的走法有1种若甲、乙两人在A2或A3处相遇，由选项C知，各有CCCC81种，若甲、乙两人在A4
27、处相遇，甲经过A4处，必须向右走3步，乙经过A4处，则乙前三步必须向下走，则两人在A4处相遇的走法有1种所以甲、乙两人相遇的概率P，故D正确故选BD.三、填空题13一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为_.答案解析随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)满足两段绳长均不小于2米的为(2,4)，(3,3)，(4,2)，共3种情况所以所求概率为.14(2021济宁二模)5人并排站成一行，如果甲、乙两人不相邻，那么不同的排法种数是_；5人并排站成一行，甲、乙
28、两人之间恰好有一人的概率是_(用数字作答)答案72解析先排除甲、乙两人外的3人共有A种排法，再将甲、乙两人从4个空中选2个插入有A种排法，所以甲、乙两人不相邻的不同的排法共有AA61272种；甲、乙两人之间恰好有一人的排法共有ACA种，5人并排站成一排共有A种排法，所以甲、乙两人之间恰好有一人的概率为.15某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是_.答案解析由题意，得甲、乙、丙领取钱数的所有可能有(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(
29、2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(1,3,3)，(3,1,3)，(3,3,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)，共15种，其中甲领取的钱数不少于其他任何人的可能有(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,1,3)，(3,3,1)，(3,2,2)，共6种，所以所求概率为.16袋中共有7个球，其中3个红球、2个白球、2个黑球若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是_.答案解析所取3个球中没有红球的概率为P1，所取3个球中恰有1个红球的概率为P2，则所取3个球中至多有1个红球的概率为PP1P2.四、解答题17假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地
30、区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，将所得数据按100,150)，150,200)，200,250)，250,300)，300,350进行分组，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率解(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.(2)根据抽样结果，寿命大于等于200小时的产品共有7570145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于等于200小时的产品是甲品牌的频
31、率是，用频率估计概率，可得已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.18某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间与点集S(x，y)|xN，yN,1x4,1y4一一对应因为S中元素的个数是4
32、416，所以样本点总个数n16.(1)记“xy3”为事件A，则事件A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)所以P(A)，即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy8”为事件B，“3xy8”为事件C.则事件B包含的样本点共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B).事件C包含的样本点共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(C).因为，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率19某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是学生的必考科目，学生还须从物理、化学、生物、历史、
33、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生确定选考方案，否则称该学生待确定选考方案例如学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则称学生甲确定选考方案某校为了解高一年级450名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计情况如表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生有6人确定选考方案012663有8人待确定选考方案531100女生有10人确定选考方案3218106有6人待确定选考方案541001(1)估计该校高一年级已确定选考方案的学生有多少人？(2)写出确定选考方案的6名男生中选择“历史、地理和生物”的
34、人数；(直接写出结果)(3)从确定选考方案的6名男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率解(1)由题可知，已确定选考方案的男生有6人，已确定选考方案的女生有10人，可估计该校高一年级已确定选考方案的学生共有450240人(2)确定选考方案的6名男生中选择“历史、地理和生物”的人数为2.(3)由表格可知，已确定选考方案的男生共有6人，其中3人选择“历史、地理和政治”，记为a1，a2，a3,1人选择“历史、地理和化学”，记为b1,2人选择“历史、地理和生物”，记为c1，c2.从已确定选考科目的男生中任选2人，有15种等可能的选法，分别为a1a2，a1a3，a1b1，a1c1，a1c2
35、，a2a3，a2b1，a2c1，a2c2，a3b1，a3c1，a3c2，b1c1，b1c2，c1c2.2名学生选考科目完全相同的选法有a1a2，a1a3，a2a3，c1c2，共4种设事件A表示“从确定选考方案的男生中任选出2人，这2名学生选考科目完全相同”，则P(A).20(2021临沂兰山区期末)如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：(1)求成绩在8090这一组的频数；(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数；(3)从成绩是50分以下(包括50分)和90分以上(包括90分)这两个分
36、数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率解(1)依题意，5060这一组的频率为0.015100.15,6070这一组的频率为0.025100.25,7080这一组的频率为0.035100.35,90100这一组的频率为0.005100.05，则8090这一组的频率为1(0.150.250.350.05)20.1，其频数为0.1404.(2)这次环保知识竞赛成绩的平均数为450.1550.15650.25750.35850.1950.0568.5.4050这一组的频率为0.1,5060这一组的频率为0.15，所以4060的频率为0.25,6070这一组的频率为0.25，因此40百分位数在6
37、070这一组内，且在本组内需要找到频率为0.15的部分，所以40百分位数为6010(0.150.25)66.(3)记“选出的2人不在同一分数段”为事件E，4050之间的人数为400.14，设为a，b，c，d,90100之间有400.052人，设为1,2.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a,1)，(a,2)，(b，c)，(b，d)，(b,1)，(b,2)，(c，d)，(c,1)，(c,2)，(d,1)，(d,2)，(1,2)，共15个样本点，其中事件E包括(a,1)，(a,2)，(b,1)，(b,2)，(c,1)，(c,2)，(d,1)，(d,2)，共8个样本点，于是得P(E)，所以选出的2人不在同一分数段的概率为.