1、20202021高一年级第二学期中考试数学试卷（实验班）注意事项：1本试卷共8页，包括选择题（第1题第12题）、填空题（第13题第16题）、解答题（第17题第22题）三部分本试卷满分为150分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答题空格内考试结束后，交回答题卡一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.若复数满足，则复数的虚
2、部是（ ）ABCD3若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）AB或CD或4吉希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼期圆已知，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为（ ）A1B2C3D45已知点在抛物线上，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点，若直线的斜率为，则抛物线的方程为（ ）ABCD6.北宋时期的科学家沈括在他的著作梦溪笔谈一书中提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少
3、一个，堆成一个棱台的形状（如图1），那么总共堆放了多少个酒坛？沈括给出了一个计算酒坛数量的方法隙积术，设底层长和宽两边分别摆放，个坛子，一共堆了层，则酒坛的总数现在将长方形垛改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛（如图2），若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数为（ ）A55 B165 C220D2867.关于函数有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间（,）单调递增f(x)在有4个零点 f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 8.圣索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATH
4、EDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，
5、有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9 对于复数，下列命题都成立（ ）A. B.，则C. D.若非零复数，满足，则.则对于非零10路人甲向正东方向走了x km后向右转了150，然后沿新方向走了3，结果离出发点恰好，则x的值为（ ）AB2C2D311.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列. 将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；第次得到数列1，2；记，数列的前项为，则（ ）A B CD12.已知圆，直线，()则下列四个命题正
6、确的是（ ）A直线恒过定点B当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1C圆与曲线恰有三条公切线，则D当时，直线上一个动点向圆引两条切线，其中，为切点，则直线经过点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13已知两圆x2y210和(x1)2(y3)210相交于A，B两点，则直线AB的方程是_14. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_.15. 已知，则的值是_.16如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个
7、焦点上，片门位于另一个焦点上. 由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点. 已知，则截口所在椭圆的离心率为_.四、 解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(本小题满分10分) 已知向量.（1）当时，求实数的值.（2）求在上的最大值与最小值.18(本小题满分12分) 已知等差数列和等比数列满足，（1）求数列，的通项公式；（2）设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求19.(本小题满分12分) 已知设复数满足使得关于的方程有实根，其中为的共轭复数，求满足条件的构成的集合。20(本小题
8、满分12分) 外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识. 如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示. 已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米.（1）求最小直径圆面的面积；（2）双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线. 过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线，均存在一个轴截面和
9、它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线与其中一条平行. 广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）. 若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）.21.(本小题满分12分) 为提升全民健身意识，江苏省省政府拟在全国名校运河高级中学周围，规划一个平面示意图为如图的五边形的一条自行车赛道，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的两条服务通道，（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道的长度；（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道最长（即最大）22.
10、(本小题满分12分) 已知椭圆的左焦点，点在上，过的直线与交于，两点.（1）求的标准方程；（2）当时，求直线的方程；（3）已知点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.20202021高一年级第二学期中考试数学试卷（实验班）参考答案1.C 2.A 3C 4A 5A 6.C 7.C 8.D9.ACD 10AB 11.ABD 12. ACD13x3y50 14. . 15. . 1617（1）因为，所以，即；（2），即，当时，有，所以，.18（1）设等差数列的公差为，因为，所以，所以所以又，即，所以所以（2）由（1），即是数列中的第项设数列的前项和为，数列的前项和为，因为，所以数列的前10
11、0项是由数列的前107项去掉数列的前7项后构成的，所以19.设z=a+bi（a，bR，a2+b2=1）.将原方程改为（a+bi）x2+2（a-bi）x+2=0，分离实部与虚部后等价于：若b=0，则a2=1，但当a=1时，无实数解，从而，此时存在实数满足、，故z=-1满足条件。若b0，则由知x0，2，但显然x=0不满足，故只能是x=2，代入解得，进而，相应有综上，满足条件的所有复数构成的集合为.20由题设，则有在双曲线上，所以解得因为最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面此时圆面的面积为 （2）由（1）问得：的一条渐近线方程为 如图由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行，所以四边形
12、是平行四边形，所以所求主钢梁的长度即为 21.（1）选时，在中，由正弦定理得：所以因为，所以，所以选时，在中，由正弦定理得：所以在中，由余弦定理得：所以，所以.（2）在中，由余弦定理得：，即故，从而即，当且仅当时，等号成立，即设计为时，折线段赛道最长.22.解：（1）根据椭圆的左焦点，得.由点在上，得.又，所以，故的标准方程为.（2）当直线的斜率为0时，易知或，不符合题意，故直线的斜率不为0，设直线，把代入，得，设点，则，.因为，所以，即，所以，所以，解得，所以直线的方程为，即.（3）由题意得直线的斜率不为0.由（2）知，记直线，的斜率分别为，则.由，得.而，故，所以是的平分线，故点到直线，的距离相等所以以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.
