1、第十章 几何证明选讲 第 71 讲 相似三角形的判定与性质【学习目标】1.了解相似三角形的定义，会应用相似三角形的三个判定定理进行推理证明.2.了解平行线分线段成比例定理.3.会灵活应用直角三角形射影定理进行运算求解和推理论证.【基础检测】1.如果直角三角形 ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，且 DC5，AD 5，则 AB 的值为()A.5B.55C.1 D.6 5D【解析】CD5，AD 5，CD2ADBD，BDCD2AD 2555 5.ABADBD 55 56 5.2.如图所示，在ABC 中，DEBC，EFCD，且 AB2，AD 2，则 AF_.1【解析】DEBC，ADABAEAC，E
2、FCD，AFADAEAC，ADABAFAD，AFAD2AB（2）221.3.如图，在ABC 中，M，N 分别是 AB，BC 的中点，AN，CM 交于点 O，那么MON与AOC 面积的比是_.14【解析】M，N 分别是 AB、BC 中点，故 MN綊12AC，MONCOA，SMONSAOCMNAC214.4.如图所示，BD，AEBC，ACD90，且 AB6，AC4，AD12，则 AE_.2【解析】由于ACDAEB90，BD，ABEADC，ABADAEAC.又 AC4，AD12，AB6，AEABACAD6412 2.5.如 图 所 示，在 直 角 梯 形ABCD 中，DCAB，CBAB，ABADa，
3、CDa2，点 E，F分别为线段 AB，AD 的中点，则EF_.12a【解析】连结 DE 和 BD，依题知，EBDC，EBDCa2，EBCD 为矩形，DEAB，又 E 是 AB的中点，所以 BDADa，E，F 分别是 AD，AB的中点，EF12DB12a.1相似三角形的定义对应角_，对应边_的两个三角形叫做两个相似三角形；相似三角形对应边的比值叫做相似比2相似三角形的判定判定定理 1：两角对应_的两个三角形相似判定定理 2：两边对应_，并且夹角_的两个三角形相似判定定理 3：三边对应_的两个三角形相似相等成比例相等相等成比例成比例3相似三角形的性质(1)相似三角形对应边上的高、中线和对应角的平分
4、线的比都等于_(2)相似三角形周长的比等于_(3)相似三角形面积的比等于_相似比相似比相似比的平方4平行线分线段成比例定理及推论三条平行线截两条直线，所得的_成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的_成比例5射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的_；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_对应线段对应线段比例中项比例中项一、平行线分线段成比例定理例1 如图，梯形ABCD中，ADBC，EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EFAD.(1)求证：OEOF；(2)求OEADOEBC的值.【解析】(1)EFAD，ADBC，EFADBC，OEBCAEAB，OFB
5、CDFDC.EFADBC，AEABDFDC.OEBCOFBC，OEOF.(2)OEAD，OEADBEAB.由(1)知，OEBCAEAB.OEADOEBCBEABAEABBEAEAB1.【点评】1.利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用.2.平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据，特别是在应用推论时，一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边，是否过一边的中点.二、相似三角形的判定与性质例2 如 图，在 平 行 四 边 形ABCD 中，过点 B 作 BECD，垂足为 E，连结 AE，F
6、为 AE 上一点，且BFEC.(1)求证：ABFEAD；(2)若 AB4，BAE30，AD3，求 BF 的长.【解析】(1)ABCD，BAFAED.又 BFE C，BFE BFA C EDA，BFAADE.ABFEAD.(2)BAE30，AEB60，ABAEsin 60，AE4sin 608 33，又BFADABAE，BFABAEAD3 32.【点评】1.相似三角形的证明方法：(1)先找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例.2.利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比
7、例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用.三、直角三角形的射影定理及其应用例3如图，RtABC 中，BAC90，ADBC 于 D，BE 平分ABC 交 AC 于 E，EFBC 于 F.求证：EFDFBCAC.【解析】BAC90，且 ADBC，由射影定理得 AC2CDBC，ACCDBCAC.EFBC，ADBC，EFAD，AEDFACCD.又 BE 平分ABC，且 EAAB，EFBC，AEEF，EFDFACCD.由得EFDFBCAC，即 EFDFBCAC.【点评】已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应法则，根据题目中的结论分析
8、并选择射影定理中的等式，并分清比例中项.备选题例4 如图，D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线DE 交ABC 的外接圆于 F，G 两点，若 CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.【解析】(1)因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DEBC，又 CFAB，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CFBDAD.连接 AF，则四边形 ADCF 是平行四边形，故 AFCD，因为 CFAB，所以 BCAF，故 CDBC.(2)因为 BCGF，所以 BGFCBD，因为 BCGF，CFAB，所 以 GDB DFC BGD DBC BDC，所以BCDGBD.【点评】本小题
9、主要考查利用三角形相似求解问题，及运算求解和推理论证能力.1.相似三角形的证法：定义法：对应边成比例，对应角相等；平行法；判定定理法：用得最多的是判定定理 1，即两角相等、两三角形相似；对直角三角形除以上方法外，还有特殊方法；两直角边对应成比例，两直角三角形相似；一条直角边和斜边对应成比例，两直角三角形相似；斜边上的高分成的两直角三角形与原三角形相似.2.相似三角形的性质：对应边成比例，对应角相等；对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方；相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方.利用这些关系可以进行各种证明
10、、求值.3.在探究证明中，掌握从特殊到一般和化归的思想方法，学会解决问题的程序、模式.(2015 江苏)如图，在ABC 中，ABAC，ABC 的外接圆O 的弦AE 交 BC 于点 D.求证：ABDAEB.【解析】因为 ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE.又BAE 为公共角，所以ABDAEB.【命题立意】知识：圆的基本性质和相似三角形.能力：通过证明三角形相似考查了推理论证能力.1.如图，在ABCD 中，E是 AB 延长线上一点，DE 交AC 于 G，交 BC 于 F.求证：(1)DG2GEGF；(2)CFCBABAE.【解析】(1)CDAE，DGGECGAG.又ADCF，GFDG
11、CGAG.DGGEGFDG，即 DG2GEGF.(2)BFAD，ABAEDFDE.又CDBE，CFCBDFDE.CFCBABAE.2.如图，在ABC 中，ABAC，过点 A 的直线与其外接圆交于点P，交 BC 的延长线于点 D.(1)求证：PCACPDBD；(2)若 AC3，求 APAD 的值.【解析】(1)因为CPDABC，PDCPDC，所以DPCDBA，所以PCABPDBD.又 ABAC，所以PCACPDBD.(2)因 为 ABC APC 180 ，ACB ACD180，ABCACB，所以ACDAPC.又CAPDAC，所以APCACD，所以APACACAD.所以 APADAC29.3.如图
12、，在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP3PC，Q 是 CD 的中点，求证：ADQQCP.【解析】在正方形 ABCD 中，Q 是 CD 的中点，ADQC2.BPPC3，BCPC4.又BC2DQ，DQPC2.在ADQ 和QCP 中，ADQCDQCP，且DC90，ADQQCP.4.如图，在四边形 ABCD 中，E 是AB 上一点，ECAD，DEBC，若 SBEC1，SADE3，求 SCDE 的值.【解析】ECAD，SDCESADEECAD，DEBC，SBCESCDEBCED，又 因 为 ECB DEC ADE，BEC EAD，BECEAD，ECADBCED.SDCESADESBCE
13、SCDE，于是 SCDE 3.5.如图，在ABC 中，ABAC，AD 是中线，P 为 AD 上一点，CFAB，BP 的延长线交 AC、CF 于 E、F 两点，求证：PB2PEPF.【解析】如图，连接 PC.易证 PCPB，ABPACP.CFAB，FABP.从而FACP.又EPC 为CPE 与FPC 的公共角，从而CPEFPC，CPFPPEPC.PC2PEPF.又 PCPB，PB2PEPF.6.如图，在 RtABC中，BAC90，ADBC 于 D，DFAC 于 F，DEAB 于 E.试证明：(1)ABACBCAD；(2)AD3BCCFBE.【解析】(1)在 RtABC 中，ADBC，SABC12
14、ABAC12BCAD.ABACBCAD.(2)在 RtADB 中，DEAB，由射影定理可得 BD2BEAB，同理 CD2CFAC，BD2CD2BEABCFAC.又在 RtBAC 中，ADBC，AD2BDDC，AD4BEABCFAC.又 ABACBCAD，即 AD3BCCFBE.7.如 图 所 示，在 平 行 四 边 形ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，DE12CD，BE 与 AD 交于点F.(1)求证：ABFCEB；(2)若DEF 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 的面积.【解析】(1)四边形 ABCD 是平行四边形，BAFBCD，ABCD，ABFCEB，ABFCEB.(2)四边
15、形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ABCD，DEFCEB，DEFABF.SDEFSCEBDECE2，SDEFSABFDEAB2.又 DE12CD12AB，CEDECDDE2DE3DE.SDEFSCEBDECE219，SDEFSABFDEAB214.SDEF2，SCEB18，SABF8.S 四边形 ABCDSABFSCEBSDEF818224.8.已知在ABC 中，D 是 BC边的中点，且 ADAC，DEBC，DE 与 AB 相交于点 E，EC与 AD 相交于点 F.(1)求证：ABCFCD；(2)若 SFCD5，BC10，求 DE 的长.【解析】(1)因为 DEBC，D 是 BC 的中点，所以 EBEC，所以B1.又因为 ADAC，所以2ACB.所以ABCFCD.如图，过点 A 作 AMBC，垂足为点 M.因 为 ABCFCD，BC 2CD，所以SABCSFCDBCCD24.又因为 SFCD5，所以 SABC20.因为 SABC12BCAM，BC10，所以 201210AM，所以 AM4.因为 DEAM，所以DEAMBDBM.因为 DM12DC52，BMBDDM，BD12BC5，所以DE4 5552，解得 DE83.