1、高考资源网（ ），您身边的高考专家在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。1数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。2数形结
2、合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。3“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。4函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供
3、了 “数形结合”的知识平台。5在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。数形结合作为一种重要的数学思想方法，已经渗透到数学的每个模块中，在各省、市高考试题中，大部分问题都可以用到这种思想方法无论是选择题、填空题还是解答题，都可以用数形结合的思想去分析、思考、寻找解答途径预测2017年高考中，仍然会沿用以往的命题思
4、路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数
5、的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等常见适用数形结合的两个着力点是：以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与
6、技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到
7、简捷解决。1数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。常见方法有：解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐
8、标间的代数关系。三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b22与余弦定理沟通，将abc0且b+ca中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.
9、这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。常见的转换途径为：方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质。（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将与正方形的面积互化，将与体积互化，将与勾股定理沟通等等。（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求
10、代数式的图形背景及有关性质。2数形结合的原则（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。（2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。（3）简单性原则就是找到解题思
11、路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。考点一、 用数形结合思想解决方程、不等式及函数的有关性质问题例1 (1)已知：函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1，1时，f(x)x2，则方程f(x)lg x解的个数是()A5个 B7个 C9个 D10个(2)设有函数f(x)a和g(x)x1，已知x4，0时恒有f(x)g(x)，求实数a的取值范围思路点拨：(1)在同一坐标系中画出yf(x)和ylg x的图象，由它们交点个数判断方程的解的个数(2)先将不等式f
12、(x)g(x)转化为x1a，然后在同一坐标系中分别作出函数y和yx1a的图象，移动yx1a的图象使其满足条件，数形结合得要满足的数量关系【解析】：变形得(x2)2y24(y0)，即表示以(2，0)为圆心，2为半径的圆的上半圆(如图)；表示斜率为，纵截距为1a的平行直线系(如图)设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为，则有tan ，00)在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_【答案】8.【解析】 考点二、用数形结合思想解决参数、代数式的最值、取值范围问题例2 (1)已知x，y满足条件1，求y3x的最大值与最小值(2)已知实数x，y满足不等式组求函数z的值域思路点拨：
13、(1)令by3x，即y3xb，视b为直线y3xb的截距，而直线与椭圆必有公共点，故相切时，b有最值(2)此题可转化成过点(1，3)与不等式组表示区域的点的连线的斜率的范围【解析】令0，解得b13. 故y3x的最大值为13，最小值为13.(2)由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x2y24的右半圆域(含边界)， z可改写为y3z(x1)，把z看作参数，则此方程表示过定点P(1，3)，斜率为z 的直线系那么所求问题的几何意义是：求过半圆域x2y24(x0)内或边界上任一点与过点P(1，3)的直线斜率的最大、最小值由图显见，过点P和点A(0，2)的直线斜率最大，zmax5.过点P向半圆作切线，切
14、线的斜率最小误区警示：此题很容易犯的错误是由z得到点(1，3)的坐标时，很容易写成(1，3)，所以做题时要看清顺序【规律方法】如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：(1)ykxb中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距(2)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率(3)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离(4)导函数f(x0)表示曲线在点(x0，f(x0)处切线的斜率只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法【变式探究】已知x，y满足条件1
15、，求5x4y的最大值与最小值考点三、数形结合思想在几何中的应用例3、如图所示，在三棱锥VABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且ACBCa，VDC.(1)求证：平面VAB平面VCD；(2)当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围思路点拨：以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直线坐标系，用空间向量的坐标运算来证明面面垂直，及将线面角正弦值表示角的函数；再利用函数思想求解【解析】(1)以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直线坐标系则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D，V.于是，(a，a，0)从
16、而(a，a，0)a2a200，同理(a，a，0)a2a200，即ABVD.又CDVDD，AB平面VCD.又AB平面VAB.平面VAB平面VCD. |sin |.0，0sin 1，0sin .又0，0.即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为.【规律方法】(1)应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算 (2)解析几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口
17、【变式探究】如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CPm.(1)试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；(2)在线段A1C1上是否存在一定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并证明你的结论【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以(1，1，0)，(0，0，1)，(1，1，m)，(1，1，0)【小结反思】1数形结合是解决许多数学问题的重要方法，它可以将抽象数学问题具体化、准确化、形象化我们用好数形结合可以使我们更深入准确的理解数学问题2数形结合主要应用于：函数、三角、集合、立体几何、解几、向量、不等式等3是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。