1、第1讲直线与圆的方程基本量的运算1(2015江苏)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_答案(x1)2y22解析方法一由题意得r ，当且仅当m1时等号成立，故圆的标准方程为(x1)2y22.方法二当圆与直线相切于点(2，1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2(12)2(01)22.直线mxy2m10经过定点(2，1)故所求圆的标准方程为(x1)2y22.方法三由直线mxy2m10，得m(x2)(y1)0，故直线过x20与y10的交点，即过点(2，1)，当切线与过两点(1,0)，(2，1)的直线垂直时，圆的半径最大
2、，此时有r，故所求圆的标准方程为(x1)2y22.2(2017江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_答案5，1解析方法一设P(x，y)由20，得(x6)2(y3)265，则点P的集合为圆O：x2y250在圆(x6)2(y3)265内的部分可求得两圆交点为(1,7)，(5，5)结合图形可得5x1.方法二设P(x，y)由20，得x2y212x6y200.又x2y250，所以5012x6y200，即2xy50.则点P的集合为圆O：x2y250在直线2xy50上方的部分可求得直线与圆的交点为(1,7)，(5，5)结合
3、图形可得5x1.高考对本节内容的考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长、相切问题)，此类问题难度属于中等或偏上，一般以填空题的形式出现.热点一求直线方程、圆的方程例1(1)从点M(4,1)发出的光线l，经过直线l1：xy30反射，若反射线恰好通过点N(1,6)，则光线l所在的直线方程为_(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2xy40相切，则圆M的方程为_答案(1)3x7y190(2)(x1)2y24解析(1)设点M(4,1)关于l1：xy30的对称点M(x0，y0)，则l1为线段
4、MM的垂直平分线M的坐标满足方程组解得M(2，1)N(1,6)，MN所在的直线方程为7x3y110.由方程组解得MN与直线l的交点P.光线l所在的直线经过点M(4,1)，P.由直线的两点式方程，得，即3x7y190.光线l所在的直线方程为3x7y190.(2)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a2，半径为r，则解得满足条件的一组解为圆M的方程为(x1)2y24.思维升华求具备一定条件的直线或圆的方程时，其关键是寻找确定直线或圆的两个几何要素，待定系数法也是经常使用的方法，解题时要注意平面几何知识的应用跟踪演练1(1)过点P(4,0)的直线l与圆C：(x1)2y25相交于A，B两点，若点A
5、恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为_(2)若圆上一点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，且圆与直线xy10相交的弦长为2，则圆的方程为_答案(1)x3y40(2)(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244解析(1)设AB的中点为D，则CDAB，设CDd，ADx，则PAAB2x，在RtACD中，由勾股定理得d2x2r25，在RtPDC中，由勾股定理得d29x2CP225，由解得d2.易知直线l的斜率一定存在，设为k，则l：yk(x4)，圆心C(1,0)到直线l的距离为d，解得k2，k，所以直线l的方程为y(x4)，即为x3y40.(2)设圆的方程为(xa)2(yb)2r
6、2，点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x2y0上，即a2b0，且(2a)2(3b)2r2.而圆与直线xy10相交的弦长为2，故r222，依据上述方程，解得或所以所求圆的方程为(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244.热点二直线与圆、圆与圆的位置关系例2如图，在RtABC中，A为直角，AB边所在直线的方程为x3y60，点T(1,1)在直线AC上，斜边中点为M(2,0)(1)求BC边所在直线的方程；(2)若动圆P过点N(2,0)，且与RtABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆的方程解(1)因为AB边所在直线的方程为x3y60，AC与AB
7、垂直，所以直线AC的斜率为3.故AC边所在直线的方程为y13(x1)，即3xy20.设C为(x0，3x02)，因为M为BC的中点，所以B(4x0,3x02)将点B代入x3y60，解得x0，所以C.所以BC边所在直线方程为x7y20.(2)因为RtABC斜边中点为M(2,0)，所以M为RtABC外接圆的圆心又CM2，从而RtABC外接圆的方程为(x2)2y28.设P(a，b)，因为动圆P过点N，所以该圆的半径r，所以圆P的方程为(xa)2(yb)2r2.由于圆P与圆M相交，则公共弦所在直线的方程m为(42a)x2bya2b2r240.因为公共弦长为4，圆M的半径为2，所以M(2,0)到公共弦所在
8、直线的距离d2，即2，化简得b23a24a，所以r.当a0时，r取最小值2，此时b0，圆P的方程为x2y24.思维升华对于直线和圆的方程的求解问题，一般都采用待定系数法，即根据所给条件特征恰当地选择方程，将几何性质转化为代数方程，解方程即可跟踪演练2如图，在平面直角坐标系xOy中，AOB和COD为等腰直角三角形，A(2,0)，C(a,0)(a0)，设AOB和COD的外接圆圆心分别为M，N.(1)若圆M与直线CD相切，求直线CD的方程；(2)若直线AB截圆N所得弦长为4，求圆N的标准方程解(1)由已知得B(0,2)，M(1,1)，圆M的方程为(x1)2(y1)22.又直线CD的方程为xya0，圆
9、M与直线CD相切，又a0，a2.直线CD的方程为xy20.(2)由已知得直线AB的方程为 xy20，圆心N.圆心N到直线AB的距离为，直线AB截圆N所得的弦长为4，22()2，又a0，a2.圆N的方程为(x)2(y)26.1已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点P(6，2)，则此直线的方程为_答案x2y20或2x3y60解析设直线l的方程为1，由直线l过点(6，2)，得1.将ab1代入整理得b23b20，解得b11，b22，a12，a23.所求的直线方程为x2y20或2x3y60.2圆心在直线y4x上，且与直线xy10相切于点P(3，2)的圆的标准方程为_答案(x1)2(y4)
10、28解析方法一设圆心为(a，4a)，则有r，解得a1，所以r2，则圆的标准方程为(x1)2(y4)28.方法二过点P(3，2)且垂直于直线xy10的直线方程为xy50，联立方程组解得则圆心坐标为(1，4)，半径为r2，故圆的标准方程为(x1)2(y4)28.3已知ABC的三个顶点A(1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆圆心为H.(1)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围解(1)线段AB的垂直平分线方程为x0，线段BC的垂直平分线方程为xy
11、30.所以外接圆圆心H(0,3)，半径为.所以圆H的方程为x2(y3)210.设圆心H到直线l的距离为d.因为直线l被圆H截得的弦长为2，所以d3.当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，此时x3即为所求；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y2k(x3)，则3，解得k，所以y2(x3)，即4x3y60.综上，直线l的方程为x3或4x3y60.(2)易得直线BH的方程为3xy30，设P(m，n)(0m1)，N(x，y)因为M是线段PN的中点，所以M.又点M，N都在半径为r的圆C上，所以即因为这个关于x，y的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r为半径的圆与以(6m,4n)为圆心，半径为2r的圆有公共点
12、，所以(2rr)2(36m)2(24n)2(r2r)2.又3mn30，所以r210m212m109r2对任意的m0,1恒成立而f(m)10m212m10在0,1上的值域为，所以r2且109r2.又线段BH与圆C无公共点，所以PCr，即(m3)2(33m2)2r2对任意的m0,1恒成立，即r2，故圆C的半径r的取值范围为.A组专题通关1圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为_答案x2(y2)21解析设圆心为(0，b)，由题目的条件可知1(2b)21，所以b2.故所求圆的方程为x2(y2)21.2一直线过点P(5,4)，且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为5，则此直线方程为_答案2x
13、5y100解析设所求直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则直线方程为1，a0，b0.依题意有解得故所求直线方程为2x5y100.3已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆O的方程是_答案(x5)2y25解析设圆心为(a,0)(a0)，则r，解得a5.所以圆O的方程是(x5)2y25.4过原点O作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为_答案4解析圆的标准方程为(x3)2(y4)25，可知圆心为(3,4)，半径为.如图可知，CO5，OP2.在RtPOC中，OCPMOPPC，PM2.PQ2PM4.5设|a|b|，若直线2与圆O：
14、x2y24相切，则点(a，b)与圆O的位置关系是_答案点(a，b)在圆O外部解析圆心O(0,0)到直线2的距离d，2，整理，得a2b2a2b2.|a|b|，a2b2a2b22，于是a2b24，故点(a，b)在圆O外部6在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_答案10解析由题意，AC为直径，设圆心为F，则FEBD，圆的标准方程为(x1)2(y3)210，故F(1,3)，由此，易得AC2.又kEF2，所以直线BD的方程为yx1，F到BD的距离为，由此得BD2.所以四边形ABCD的面积为ACBD2210.7已知过点A(0,1)且斜率为k的
15、直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求MN.解(1)由题设可知，直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.由根与系数的关系知，x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以MN2.8已知A(2,0)，B(2,0)，C(m，n)(1)若m1，n，求ABC的外接圆的方程；(2)
16、若以线段AB为直径的圆O过点C(异于点A，B)，直线x2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试判断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论解(1)设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意可得解得DE0，F4，所以ABC的外接圆方程为x2y240，即x2y24.(2)直线CD与圆O相切，证明如下：由题意可知，以线段AB为直径的圆的方程为x2y24，半径r2.设点R的坐标为(2，t)，因为A，C，R三点共线，所以.而(m2，n)，(4，t)，则4nt(m2)，所以t，所以点R的坐标为，点D的坐标为，所以直线CD的斜率为k.而m2n24，所以m24n2，所以k，所以直线CD的方程为yn(xm)
17、，化简得mxny40.所以圆心O到直线CD的距离d2r，所以直线CD与圆O相切B组能力提高9已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_答案xy30解析由题意，设所求的直线方程为xym0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知，22(a1)2，解得a3或1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a3，故圆心坐标为(3,0)因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以30m0，即m3，故所求的直线方程为xy30.10圆心M在曲线y218x上，圆M与y轴相切且与圆C：(x2)2(y3)21外切，则圆M的方程为_答案2(y3)2或(x2
18、)2(y6)24解析设圆M：(xa)2(yb)2r2，b218a，r|a|，a，r，圆心C(2,3)，rc1，又圆M与圆C外切，则MCrrc，即r1，即 1，解得b3或b6.圆M的方程为2(y3)2或(x2)2(y6)24.11已知以O为圆心的圆与直线l：ymx(34m)(mR)恒有公共点，且要求使圆O的面积最小，则圆O的方程为_答案x2y225解析因为直线l：ymx(34m)过定点T(4,3)，由题意知，要使圆O的面积最小， 定点T(4,3)在圆上，所以圆O的方程为x2y225.12若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是_答案12，3解析曲线方程可化简为(x2)2(y3)24(1y
19、3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的下半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时需满足圆心(2,3)到直线yxb的距离等于2，解得b12或b12.因为是下半圆，故b12应舍去，当直线过(0,3)时，解得b3，故12b3.13已知m，n，a，t(0，)，mn2，9，其中m，n是常数，且st的最小值是，满足条件的点(m，n)是圆(x2)2(y2)24中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为_答案xy20解析因为(st)mnmn2，当且仅当mn时“”成立所以mn24，从而mn1，得mn1，得点(1,1)，而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为1，从而弦所在直线的方程为xy20.14已知圆O的
20、半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么的最小值为_答案32解析如图所示，设PAPBx(x0)，APO，则APB2，PO，sin .|cos 2x2(12sin2)，令y，则y，即x4(1y)x2y0.因为x2是实数，所以(1y)241(y)0，y26y10，解得y32或y32.故()min32.此时x.15设过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)由x2y26x50
21、，得(x3)2y24，圆C1的圆心坐标为(3,0)(2)设M(x，y)点M为弦AB的中点，即C1MAB，kC1MkAB1，即1，线段AB的中点M的轨迹C的方程为2y2.(3)由(2)知点M的轨迹是以C为圆心，为半径的部分圆弧EF(如图所示，不包括两端点)，且E，F.又直线L：yk(x4)过定点D(4,0)，当直线L与圆C相切时，由，得k.又kDEkDF，数形结合可知当k时，直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点16在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合(如图所示)将矩形折叠，使点A落在线段DC上的点E处(1)若折痕所在
22、直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；(2)设折痕所在直线与y轴交于点F，过点E，D，F三点的圆M被y轴分得的两段弧长的比为15，求圆的方程解(1)当k0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程为y.当k0时，将矩形折叠后，点A落在线CD上的点为E(a,1), A与E关于折痕所在的直线对称，有kOEk1，ak，故点E的坐标为E(k,1)从而折痕所在的直线与OE的交点坐标(线段OE的中点)为M，折痕所在直线方程为yk，即ykx.由得折痕所在的直线方程为kxy0.(2)由折线方程知F且D(0,1)，E(k,1)，E，D，F为不同的三点，ak,0a2，0a2且a1，2k0且k1.又圆M过E，D，F三点，M，圆M被y轴分得的两段弧长的比为15，MDF为正三角形，则DF，若1即k21，则，解得k，圆M的方程为22，若1，即1k24时，则，解得k，圆M的方程为221.综上，圆M的方程为22或221.