1、四川省南充市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）总分：150分 考试时间：120分钟第I卷（选择题）一、单选题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出集合，然后再利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合，所以.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】首先求出，再利用复数的几何意义即可求解.【详解】由，所以复数在复平面内对应的点为，所以复数在复平面内所对应的点
2、在第一象限.故选：A【点睛】本题考查了复数的几何意义、复数的运算，属于基础题.3.已知角终边上一点的坐标为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义求出、，再利用二倍角的正弦公式即可求解.【详解】角终边上一点的坐标为，则，所以.故选：D【点睛】本题考查了三角函数的定义、二倍角的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.4.我国南宋数学家秦九韶所著数学九章中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约（ ）A. 右B. 石C. 石D. 石【答案】B【解析】【分析】根据粒内夹谷粒，可得比例，即可得出结论【详
3、解】由题意，抽得样本中含谷 粒，占样本的比例为， 则由此估计总体中谷的含量约为石 故选：B【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础5.已知，则“”是“”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 充分必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据的取值是否为0，即可得答案；【详解】当时，取时，推不出；反之，；“”是“”成立的必要不充分条件，故选：C.【点睛】本题考查必要不充分条件，考查对概念的理解，属于基础题.6.设为等差数列，公差，则（ ）A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质计算即可.
4、【详解】由已知，得，即，解得故选：B【点睛】本题考查等差数列的定义及性质，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.7.设，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质即可比较大小.【详解】由，所以.故选：D【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题.8.已知实数、满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数
5、经过点时，取得最大值，最大值为.故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.9.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】函数，根据平移规则，得到答案.【详解】因为函数，所以为得到得到函数的图象，需向右平移个单位从而得到故选：B.【点睛】本题考查描述正弦型函数图像的平移过程，属于简单题.10.直线与圆相交于、两点，若，则的取值范围是（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，由弦长公式得，圆心到直线的距离小于或等于
6、，从而可得关于的不等式，即可求得结论.【详解】，设圆心到直线的距离为，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查利用弦长求直线斜率的取值范围，一般转化为弦心距进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.11.已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为( )A. B. 3C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故对三角形运用余
7、弦定理，得到，而结合，可得，代入上式子中，得到，结合离心率满足，即可得出，故选D【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难12.已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知条件构造函数并判断其单调性，利用单调性即可判断出正确选项.【详解】解：，.令，则为上的单调递增函数.，即，故选项正确，选项错误.又，即，所以，故选项错误.故选：.【点睛】本题考查抽象函数的单调性应用，属于中档题.第卷（非选择题）二、填空题13.已知菱形的边长为2，且为60，则_【答案】0【解析】【分析】利用向量数量积的定义即可求解.【详解】由为菱
8、形，则，所以.故答案为：0【点睛】本题考查了利用向量数量积定义求向量数量积，属于基础题.14.在中，若（其中内角，的对边分别为，），则_【答案】【解析】【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】由，则，即，所以，所以，故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理、需熟记定理的内容，属于基础题.15.在等比数列中，则的前5项和为_.【答案】【解析】【分析】利用等比数列的通项公式可求得，再代入前项和公式，即可得答案；【详解】，的前5项和.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列通项公式和前项和公式的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.16.意大利数学家列昂纳多斐波那契以“兔子繁殖”为例，引
9、入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，则的值为_【答案】2【解析】【分析】由题意可得：，；，可得数列是周期为6的数列，由，计算，可得数列从第三项开始为周期是6的周期数列即可得出【详解】解：由题意可得：，；，数列是周期为6的数列，由，则，数列从第三项开始为周期是6的周期数列故答案为：2【点睛】本题考查了数列递推关系、斐波那契数列的性质、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第
10、17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选做题，考生根据要求作答（一）必考题17.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.【答案】（1）；（2）增区间，减区间，函数的极大值为，极小值为.【解析】【分析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）求出函数的极值点，列表分析函数的单调性以及导数符号的变化，即可得出函数的单调区间和极值.【详解】（1），则，.因此，曲线在处的切线方程为；（2）令，得，列表如下：极大值极小值所以，函数的增区间为，减区间，极大值为，极小值为.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的
11、单调区间和极值，考查计算能力，属于基础题.18.国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：支持不支持合计年龄不大于50岁80年龄大于50岁10合计70100（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有6名女性，其中2名是女教师现从这6名女性中随机抽取2名，求恰有1名女教师的概率附
12、：，0.10000500.02500102.7063.8415.0246.635【答案】（1）表格见解析；（2）能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关；（3）.【解析】【分析】（1）根据已知数据即可填表.（2）根据列联表求出观测值，再根据独立性检验的基本思想即可求解.（3）记6人为，其中表示教师，列出基本事件个数，再根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）支持不支持合计年龄不大于50岁206080年龄大于50岁101020合计3070100（2），所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关；（3）记6人为，其中表示教师，从6人任意抽
13、2人的所有等可能事件是：，共15个，其中恰有1位教师有8个基本事件：，所以所求概率是【点睛】本题考查了列联表、独立性检验的基本思想、古典概型的概率计算公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，分别是，的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）在图中作出点在底面的正投影，并说明理由【答案】（）详见解析；（）详见解析；（）详见解析.【解析】【分析】（）利用三角形中位线定理和线面平行的判定定理可以证明出平面；（）利用等腰三角形三线合一的性质，可以证明线线垂直，根据线面垂直的判定定理，可以证明出线面垂直，最后根据面面垂直的判定定理，可以证明出平面平面；（）通过面面垂直的性质
14、定理，可以在中，过作于即可.【详解】（）证明：因为，分别是，的中点，所以因为平面，所以平面（）证明：因为，是的中点，所以，所以平面所以平面平面（）解：在中，过作于，则点为点在底面的正投影理由如下：由（）知平面平面，且平面平面，又平面，所以平面，即点为点在底面的正投影【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定定理和性质定理，考查了推理论证能力.20.已知椭圆：离心率为，且短半轴长为（1）求椭圆的方程：（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于、两点，且满足若存在，求出直线的方程：若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根据已知条件利用及即可求得椭
15、圆的方程；（2）根据，利用向量坐标化可得，再分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，即可求得直线的方程【详解】（1）解得：，所以椭圆的方程为：（2）存在这样的直线，当的斜率不存在时，显然不满足，所以设所求直线方程：代入椭圆方程化简得：,，设所求直线与椭圆相交两点，由已知条件可得，综合上述式子可解得符合题意，所以所求直线方程为：【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，正确运用韦达定理是关键，属于中档题21.己知函数，（1）求的最大值：（2）已知，若对于任意的不等式恒成立，求整数的最小值（参考数据：，）【答案】（1）0；（2）3.【解析】【分析】
16、（1）利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值.（2）令，求出，讨论的取值：当时或当时，再求出函数的最大值，令，利用单调性即可求解.【详解】（1）令，即，解得，令，即，解得函数在上单调递增，在上单调递减；的最大值为（2）令所以当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立当时，令，得所以当时，；当时，因此函数在是增函数，在是减函数故函数的最大值为，令，因为，且在是减函数所以当时，所以整数的最小值为3【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值、利用导数研究不等式恒成立，考查了分类讨论的思想，考查了考生的计算能力，属于难题.（二）选考题：请在第22、23题中任选题作答
17、如果多做，则按所做的第一题记分22.已知曲线的参数方程为（为参数，）,直线经过且倾斜角为.（1）求曲线的普通方程、直线的参数方程.（2）直线与曲线交于A、B两点，求的值.【答案】（1）；（为参数，） (2) 【解析】【分析】(1)利用,消去参数即可求得曲线的普通方程,根据直线参数方程的定义即可求得直线的参数方程；(2)利用直线参数方程的几何意义,联立方程,借助韦达定理,即可求得.详解】（1）由,代入中得，整理得曲线的普通方程为,直线的参数方程为（为参数，），(2)将直线的参数方程代入并整理得.设对应的参数分别为，则，.【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标方程的相互转化,体现了转化与化归的数学思想,同时考查了直线参数方程中参数的几何意义,体现了参数方程解题的优势,难度较易.23.已知函数.（1）求关于的不等式的解集；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）化为，直接求解不等式的解集；（2）问题不等式对任意恒成立，求出函数的最小值，解不等式即可.【详解】（1）由得，即，所以的解集为；（2）不等式对任意恒成立，由得，的最小值为1，所以恒成立，即，所以，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立时，求参数问题，关键是找到问题的等价命题.- 19 -
