1、宁夏大学附属中学2021届高三数学上学期第四次月考试题 理（含解析）卷I（选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分，）1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】采用列举法列举出中元素的即可.【详解】由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2. 复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【详解】，复数在复平面内对应的点为，在第一象
2、限选A 3. 执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：时，成立，第一次进入循环：；成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错. 4. 在中，则（ ）A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理，求得
3、的值，进而求得的大小，得到答案.【详解】由正弦定理，可得，又由且，所以或.故选：C.5. 已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.6. 设，满足约束条件，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出不等式的可行域，根据表示直线在轴上的截距，数形结合即可得解.【详解】作出不等式组表示
4、的平面区域，如图所示的阴影部分：由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越小，越小，由题意可得，解得，当经过点时，最小，由可得，此时故选：C.7. 若向量，满足，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，即可根据数量积的定义求出夹角.【详解】解：，又，两向量的夹角的取值范围是，.与的夹角为.故选：C.8. 已知公差的等差数列满足，且，成等比数列，若正整数，满足，则（ ）A B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】由已知利用等差数列的通项公式结合等比数列的性质列式求解d，再由等差数列的通项公式求解得选项.【详解】由题知，因为为等差数列，所以，又，则，从而.故选
5、：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的性质，属于基础题.9. 孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经，年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，年英国数学家马西森指出此法符合年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将至这个整数中能被除余且被除余的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】列举出该数列的前几项，可知该数列为等差数列，求出等差数列的首项和公差，
6、进而可得出数列的通项公式，然后求解满足不等式的正整数的个数，即可得解.【详解】设所求数列为，该数列为、，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，所以，解不等式，即，解得，则满足的正整数的个数为，因此，该数列共有项.故选：D.【点睛】本题考查数列项数的计算，求出数列的通项公式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.10. 已知函数f(x)=sinx+，则（）A. f(x)的最小值为2B. f(x)的图象关于y轴对称C. f(x)的图象关于直线对称D. f(x)的图象关于直线对称【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】可以为负，所
7、以A错；关于原点对称；故B错；关于直线对称，故C错，D对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.11. 函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性及函数值得正负情况分别判断.【详解】的定义域为,且又当时，,排除C,D;又不是偶函数，排除选项B.故选：A.12. 已知函数有唯一零点，则A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】【详解】因为，设，则，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：
8、C.【点睛】利用函数零点情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）13. 已知等比数列的前项和为，若，则_【答案】255【解析】【分析】直接由条件求解首项和公比即可得解.【详解】等比数列的前项和为， ，解得，故答案为：255.14. 已知是的共轭复数，且满足(其中是虚数单位)，则_.【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算得，进而得，再求模即可.【详解】，故，所以.故答
9、案为：.15. 已知，则_【答案】【解析】【分析】由利用诱导公式求解即可.【详解】故答案为：16. 已知函数，若正数，满足，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先判断是定义在上的奇函数且单调递增，再化简得到，最后求的最小值并判断等号成立即可.【详解】解：因为，所以的定义域为，关于原点对称，所以，则的定义在上的奇函数，因为，所以是定义在上的增函数因为，即，则，即因为、均为正数，所以当且仅当即时，等号成立，所以最小值为：1.故答案为：1.【点睛】本题考查函数奇偶性判断与应用、函数单调性的判断与应用、利用基本不等式“1”的妙用求最值，是中档题.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 12 分，共计
10、72分，）17. 在中，内角，的对边分别是，若，成等差数列，且.（1）求的值；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质可得，又，所以，再利用余弦定理计算可得；（2）首先利用同角三角函数的基本关系求出，再由面积公式即可求、，即可求出三角形的周长；【详解】解：（1），成等差数列，又，.（2）因为，所以，即，解得，所以，所以的周长为9.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制
11、范围18. 已知等差数列an是递增数列，且a1a5=9，a2+a4=10.（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=(nN*)，求数列bn的前n项和Sn.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设an的公差为d，由题意得从而可求出，进而可得数列an的通项公式；（2）由（1）可得bn=().然后利用裂项相消法求和即可【详解】解：（1）设an的公差为d，因为a1a5=9，a2+a4=10，所以解得或，由于数列为递增数列，则，所以所以.（2）由于，则bn=().所以Sn=b1+b2+bn=(1+)=(1)=.19. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响在党和
12、政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量即该厂的年产量万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将产品的销售价格定为每件产品元（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）；（2）3万元.【解析】【分析】（
13、1）根据题意，时，求出，由利润销售收入固定成本投入成本促销费用，即可求解. （2）由（1）的表达式，利用函数的单调性即可求解.【详解】解：由题意知，当时，万件，则，解得，因为每件产品的销售价格为元，所以2020年的利润由（1）可知，令，所以，由在上单调递减；在上单调递增，所以在取得最小值，即，所以，所以，故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元20. 已知函数.（1）求函数的最小正周期和对称轴；（2）若，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对函数化简，然后根据正弦函数的周期和对称轴求结果；（2）直接由，结合
14、正弦函数的性质，得化简即可得结果.【详解】解：（1）因为所以的最小正周期.由得，故的对称轴为.（2）因为，所以，即，所以，即，即的取值范围.【点睛】此题考查三角函数的恒等变换公式和正弦函数的性质，考查计算能力和转化能力，属于基础题.21. 已知等比数列的公比，且是的等差中项，数列满足，数列的前项和为.(1)求的值.(2)求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差中项的性质以及等比数列的通项公式，列方程，解方程求得的值.（2）由（1）求得的表达式，然后利用累加法以及错位相减法求得的通项公式.【详解】解.（1）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（2）设，
15、数列前n项和为.由解得.由（1）可知，所以，故， 设 所以，因此，又，所以.【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，还考查了累加法求数列的通项公式，以及错位相减求和法.22. 已知函数点，均在函数的图象上，且，成等差数列，其公差为. （1）判断函数是否有极值，并说明理由；（2）求证：是钝角三角形；（3）求面积的最大值【答案】（1）函数没有极值，理由见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）求函数导数得，从而得解；（2）根据，结合（1）中的单调性判断正负即可得，从而得证；（3）取线段的中点为，得，令，求导分析函数单调性即可得解.【详解】解：因为，所以，且，即函数在上是单调减函数，故函数没有极值证明：据题意，且.由知， . ， ， ，即是钝角三角形解：取线段的中点为，由已知，设，则，所以.又，所以，所以.令，则，所以当时，为增函数；当时，为减函数由函数是上的连续函数知当时有，所以面积的最大值为【点睛】关键点点睛：本题的第二问和第三问难度较大，第二问的关键点是利用函数单调性分析的正负，第三问的关键点是构造函数，本题难度较大.
