1、考点03函数的概念与基本性质一、考纲要求要求ABC函数的概念函数的基本性质1、理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域和值域2、理解简单的分段函数，能求出给定自变量所对应的函数值，会画出函数的图像3、理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性4、了解函数奇偶性的含义5、会运用函数的图像理解和研究函数的性质。理解二次函数的图像和性质。能运用数形结合的思想结合在区间上的最值。二、近五年高考分析年份2016年2017年2018年2019年考查知识点函数的定义域，二次不等式的解法。函数的周期性以及分段函数函数的单调性以及奇偶性。函数的周期性及零点问题函数的定义域；函数的解析式。函数的周期
2、性、分段函数函数的定义域。函数的周期性与奇偶性从近几年江苏高考可以看出，函数的性质是近几年江苏的热点也是重点考查的知识点。函数的定义域在这几年多次考查，函数的性质几乎每年都要进行考查，在大题中经常与导数等知识点结合考查，因此，对应本章要重点复习，要引起足够的重视。三、考点总结函数是江苏高考的重点和热点，在填空题和解答题中多以压轴题的形式出现，试题的区分度很强。在高考和各类考试中重点考查函数的定义域和值域以及函数的性质即函数的周期性、单调性和奇偶性。因此，在复习中要注意一下几点：函数的解析式主要有待定系数法、换元法、构造方程组的方法；求函数的定义域要特别注意结果一定要写成集合的形式；函数的值域的
3、方法有图像法、配方法、换元法、基本不等式、单调性以及运用导数等方法；函数的性质有单调性要注意区间若含有多个区间用逗号或者和连接、周期性要记住一些常见的结论，奇偶性要注意定义域要关于原点对称。注意题目的综合运用。四、五年真题1、(2019江苏卷)函数的定义域是_.【答案】.【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得,即解得，故函数的定义域为.2.(2019江苏卷)设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界
4、条件确定k的取值范围即可.【详解】当时，即又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.当时，函数与的图象有个交点；当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.3、（2018年江苏卷）. 函数满足，且在区间上， 则的值为_【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变
5、量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 解析：由得函数的周期为4，所以因此4、（2018年江苏卷） 函数的定义域为_【答案】2，+）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.5、（2017年江苏卷） 设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，其中集合D，则方程f(x)lgx0的解的个数是_【答案】8
6、解析：首先f(x)0,1)，所以方程f(x)lgx的解x01,10)由图像可知，在9,10)上方程无解，方程在1,9)上的整数解只有x1.再按xkD和xkD两种情况，讨论f(x)lgx在(k，k1)上的解，其中k1,2，8. 若xkD，且x(k，k1)，其中k1,2,3，8，设xk，nN*且n2.则方程为lg，即10(n1)2n2，这样的n不存在若xkD，且x(k，k1)，其中k1,2，8，则方程为xklgx.记g(x)xlgxk，则g(x)110，所以g(x)在(k，k1)上递增因为g(k)lgk，g(k1)1lg(k1)0，所以在(1,2)内无解，当k2,3，8时，在x(k，k1)内各恰有
7、一解，共有7解与类似，可证这些解都是无理数，从而满足xkD.综上所述，方程共有8解 对于解答题，尽量不用“由图像可知”，可把“思路分析”中的内容并入，并稍作改动，例如在中允许n1，则k1，得x1.试试写一下另外，若把题中的D改为区间0,1)中的所有有理数组成的集合，再试做一下6、（2017年江苏卷） 已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数，若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】 先容易判断f(x)是奇函数，再确定f(x)的单调性因为f(x)3x22ex3x2220恒成立，所以f(x)在(，)上递增又因为f(x)是奇函数，所以f(a1)f(2a2)0f(
8、2a2)f(1a)2a21a.即2a2a10，解得1a. 这类题的解题思路是：先确定所给“特定函数”的奇偶性和单调性，再用“一般函数”的性质解“抽象的不等式”，而不是去解一个“具体的不等式”7、（2016年江苏卷） 函数y的定义域是_【答案】3,1【解析】由32xx20得3x1，所以函数y的定义域为3,18、（2016年江苏卷） 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)上，f(x)，其中aR.若ff，则f(5a)的值是_【答案】【解析】因为f(x)的周期为2，所以ffa，ff，从而得a，解得a，所以f(5a)f(3)f(1)1.五、三年模拟题型一：函数的定义域和表示1、(2019
9、泰州期末） 函数y的定义域是_【答案】1，1【解析】要使函数式有意义，则有1x20，即x210，解得1x1，所以函数的定义域为1，1 定义域、值域、解集一定要写成集合或区间的形式，否则会产生不必要的扣分2、(2019苏州三市、苏北四市二调） 函数y的定义域为_【答案】2，)【解析】由4x160，得4x1642，解得x2，所以函数的定义域为2，)3、(2019苏锡常镇调研（一）已知函数f(x)若f(a1)，则实数a_【答案】log23【解析】当a10，即a1时，f(a1)log2(4a)，解得a4(舍)；当a10，即a1时，f(a1)2a11，解得alog23. 本题以分段函数为背景，考查指数及
10、对数的基本运算及分类讨论的数学思想4、(2018苏北四市期末） 函数y的定义域为_【答案】(0，1【解析】由得所以00 ，所以yexa2a2a，当且仅当ex1，即x0时取等号故所求函数的值域A2a，)又A0，)，所以2a0，即a2.3、(2018苏州暑假测试）已知函数f(x)x(a0)，当x1，3时，函数f(x)的值域为A，若A8，16，则a的值是_【答案】15【解析】 题设“当x1，3时，函数f(x)的值域为A，若A8，16”等价于“对于任意的x1，3，不等式8x16恒成立解法1(分离变量法) 由题意，对于任意的x1，3，不等式8x16恒成立，也就是说，不等式x(8x)ax(16x)恒成立，
11、故x(8x)maxax(16x)min，即15a15，所以a15.解法2(特值法) 由题意，当x1，3时，即所以a15.本题命题的根源是用“两边夹法则”化不等式为等式两边夹法则的内容是：如果x，a是实数，且axa，那么xa.两边夹法则的变式有：若(xy)20，则xy；若af(x)a，则f(x)a；若g(x)f(x)g(x)，则f(x)g(x)两边夹法则体现了由不等向相等、由变量向常量的转化思想本题是“知不等式求值”问题，故可从两边夹法则思路来考虑4、(2018无锡期末）已知函数f(x)g(x)x22x2.若存在aR，使得f(a)g(b)0，则实数b的取值范围是_【答案】(2，0)【解析】 根据
12、条件可以将问题等价转化为关于函数yf(a)的值域问题，然后利用分段函数的值域求法和一元二次不等式的解法处理即可由题意，存在aR，使得f(a)g(b)，令h(b)g(b)b22b2.当a时，f(a)122，因为a，所以20，从而7f(a)时，f(a)log，因为a，所以，从而f(a)2.综上，函数f(a)的值域是(，2)令h(b)2，即b22b22，解得2b0.5、(2018扬州期末） 已知函数f(x)若存在实数k使得该函数的值域为2，0，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】根据函数f(x)的解析式作出草图如图，当x1，k时，f(x)log(x1)1，它在1，1)上是单调递增的，且f(1)2，
13、f0，因为该函数在1，a上的值域为2，0，所以必须有1k；当x(k，a时，f(x)2|x1|，在(，1上单调递增，在1，)上单调递减，且f(0)f(2)2，f(1)0，因为函数的值域为2，0，所以必须有0ka2.综合，要求存在实数k使得该函数的值域为2，0，则必须0ka2.所以实数a的取值范围为. 这里易错写成，对于区间端点究竟是开还是闭，可通过检验的方式判定，这里若a，f(a)f1，因为ka，f(k)0，这样函数f(x)的值域里就不含有函数值0，与题意值域为2，0不符，故a.题型三： 函数的性质1、(2019南京学情调研）若函数f(x)a是奇函数，则实数a的值为_【答案】 【解析】解法1(特
14、殊值法)因为函数f(x)为奇函数，且定义域为x|x0，所以有f(1)f(1)0，即(a1)(a2)0，解得a.解法2(定义法)因为函数f(x)为奇函数，所以有f(x)f(x)0，即a a0，即2a10，解得a. 本题由于是填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域2.(2019苏州期初调查）已知函数f(x)为奇函数，则实数a的值等于_【答案】2【解析】解法1(特殊值法)f(1)1a，f(1)1, 因为f(x)为奇函数，所以1a1，则a2.解法2(定义法)设x0，所以f(x)x22xf(x)，即x22xx2ax对x0恒成立，所以a2.3.(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(
15、x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x)当00的实数x的取值范围是_【答案】(2，3)【解析】 用函数的单调性和奇偶性解答函数f(x)的定义域为R，且f(x)2x2xf(x)，故f(x)在R上是奇函数又与2x在R上都是单调递减的，从而f(x)在R上单调递减，从而由题意可得f(x25x)f(6)f(6)，故x25x6，解得2x3.5、(2018南京学情调研）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(，0上为单调增函数若f(1)2，则满足f(2x3)2的x的取值范围是_【答案】(，2【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在(，0上为单调增函数，所以f(x)在R上为单调增函数又因为f(
16、1)2，所以f(1)2，故f(2x3)2f(1)，即2x31，解得x2.6、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x2x.若f(a)f(a)4，则实数a的取值范围为_【答案】(1，1)解法1(奇偶性的性质) 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(a)f(a)2 f(|a|)4，即f(|a|)2，即|a|2|a|2，(|a|2)(|a|1)0，解得1a1.解法2(奇偶性的定义) 当x0时，x0，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以，f(x)f(x)(x)2(x)x2x，故f(x)当a0时，f(a)f(a)(a2a)(a)2(a)2a2
17、2a4，解得0a1；当a0时，f(a)f(a)(a2a)(a)2(a)2a22a4，解得1a0.综上，1af(a1)，则实数a的取值范围为_【答案】(1，) 【解析】函数f(x)2x44x2为偶函数，因为f(x)8x38x8x(x21)，所以当x0，)时，函数f(x)为增函数，当x(，0)时，函数f(x)为减函数，由f(a3)f(a1)，得f(|a3|)f(|a1|)，即(a3)2(a1)2，解得a1，所以实数a的取值范围为(1，)2、(2019南京、盐城二模）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x25x，则不等式f(x1)f(x)的解集为_【答案】(2，3)【解析】解法
18、1f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x25x，则当x0，f(x)f(x)(x)25(x)x25x，即，.当x1时，由f(x1)f(x)得(x1)25(x1)x25x，解得x3，所以1x3；当0xf(x)得(x1)25(x1)x25x，解得1x2，所以0x1；当xf(x)得(x1)25(x1)x25x，解得x2，所以2xf(x)的解集为(2，3)解法2在同一坐标系中分别作出函数yf(x)与yf(x1)的图像(将函数yf(x)的图像向右平移一个单位长度得到yf(x1)的图像)，根据对称性可得，两个函数分别交于点(2，6)，(3，6)，从图像可得f(x1)f(x)的解集为(2，3)3
19、、(2019苏北三市期末）已知a，bR，函数f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在(0，)上是减函数，则关于x的不等式f(2x)0的解集为_【答案】(0，4)f(x)(x2)(axb)ax2(b2a)x2b.因为函数f(x)是偶函数，所以b2a, 故f(x)ax24a.又函数f(x)在(0，)上是减函数，所以a0，即(2x)24，即22x2，即0x0，需2x0，只需22x2，解得0x4，故所求不等式的解集是(0，4)4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)(2xa)(|xa|x2a|)(a0)若f(1)f(2)f(3)f(672)0，则满足f(x)2019的x的值为_【答案】33
20、7【解析】 去绝对值化简f(x)，由f(x)的图像得到函数f(x)在R上单调递增且关于点对称，根据f(1)f(2)f(3)f(672)0，求得a的值，再解不等式，求得x的值【解析】f(x)，结合函数的图像可知：函数f(x)在R上单调递增且关于点对称，因为f(1)f(2)f(3)f(672)0，所以，解得a673.由f(x)2019，当x673时，f(x)(2xa)20，不成立；当673x1346时，(3)(673)(2x673)2019，解得x337，又因为函数f(x)在R上单调递增，所以f(x)2019有唯一解x337，故所求x的值为337.5、(2018苏州暑假测试） 设f(x)是定义在R
21、上的偶函数，且当x0时，f(x)2x，若对任意的xa，a2，不等式f(xa)f2(x)恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】 在函数性质问题中，出现“双f”特征“f(xa)f2(x)”应联想到直接代入解析式求解(解法1)、用函数的单调性求解(解法2)，故法1只需根据条件求出函数f(x)的解析式；法2的难点在于是否能够把f2(x)写成f(t)的形式，易知f2(x)f(2x)解法1(利用解析式) 当x0时，定义在R上的偶函数f(x)2x，易得，f(x)2|x|，xR.由f(xa)f2(x)得，2|xa|(2|x|)2，即|xa|2x|对于xa，a2恒成立，即(3xa)(xa)0对于xa，a
22、2恒成立，即解得a.解法2(偶函数的性质) 当x0时，定义在R上的偶函数f(x)2x，易得，f(x)2|x|，xR，易证f2(x)f(2x)，xR，故由f(xa)f2(x)得，|xa|2x|对于xa，a2恒成立，下同解法1.6、(2018扬州期末） 已知函数f(x)sinxx，则关于x的不等式f(1x2)f(5x7)0的解集为_【答案】x|2x0，则有f(x)0，所以f(x)为R上的减函数，因此不等式f(1x2)f(5x7)0，即f(1x2)f(5x7)，亦即f(1x2)75x，解得2x3，故不等式f(1x2)f(5x7)0的解集为x|2x3 解此类抽象不等式，很少运用函数表达式，通过代入将它转化为具体不等式来解，主要是运用函数的奇偶性、单调性、定义域等性质，通过去掉对应法则f，将它转化为关于变量x的具体不等式来解