1、2.4等比数列第1课时等比数列学 习 目 标核 心 素 养1.理解等比数列的定义(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养1等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0).(2)符号语言：q(q为常数，q0，nN*).思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？提示不能2等比中项
2、(1)前提：三个数a，G，b成等比数列(2)结论：G叫做a，b的等比中项(3)满足的关系式：G2ab思考：当G2ab时，G一定是a，b的等比中项吗？提示不一定，如数列0，0，5就不是等比数列3等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an，有公式ana1qn1这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比4等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为anqn，而yqx(q1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列qn中的各项的点是函数yqx的图象上的孤立点思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式？提示还可以用累乘法当n2时，
3、q，q，q，ana1a1qn1.12和2的等比中项是()A1B1C1D2C设2和2的等比中项为a，则a2(2)(2)1.即a1.2下列数列为等比数列的序号是 2，22，322；，(a0)；s1，(s1)2，(s1)3，(s1)4，(s1)5；0，0，0，0，0.，所以不是等比数列；是首项为，公比为的等比数列；中，当s1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；显然不是等比数列3等比数列an中，a22，a5，则公比q 由定义知q，则a2a1q2，a5a4qa3q2a2q3a1q4，所以得q3，所以q.等比数列的通项公式及应用【例1】在等比数列an中(1)a1，q，an，求项数n；(2)已知
4、a320，a6160，求an.解(1)因为ana1qn1，所以，即，解得n5.(2)设等比数列的公比为q，那么解得所以ana1qn152n1.1等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解2关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算1(1)在等比数列an中，若它的前三项分别为5，15，45，求a5；
5、(2)已知等比数列an为递增数列，且aa10，2(anan2)5an1，求an.解(1)a5a1q4，而a15，q3，a5405.(2)由2(anan2)5an12q25q20q2或，由aa10a1q90a10，又数列an递增，所以q2.aa10(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为an2n.等比中项【例2】(1)等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项是()A4B4CD(2)已知b是a，c的等比中项，求证：abbc是a2b2与b2c2的等比中项思路探究：(1)用定义求等比中项(2)证明(abbc)2(a2b2)(b2c2)即可(1)A由an2n12n4知，a41，
6、a824，所以a4与a8的等比中项为4.(2)证明b是a，c的等比中项，则b2ac，且a，b，c均不为零，又(a2b2)(b2c2)a2b2a2c2b4b2c2a2b22a2c2b2c2，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2，所以(abbc)2(a2b2)(b2c2)，即abbc是a2b2与b2c2的等比中项等比中项应用的三点注意(1)由等比中项的定义可知G2abG，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项(3)a，G，b成等比数列等价于G2a
7、b(ab0).2如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()Ab3，ac9 Bb3，ac9Cb3，ac9 Db3，ac9B因为b2(1)(9)9，且b与首项1同号，所以b3，且a，c必同号所以acb29.3设等差数列an的公差d不为0，a19d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A2 B4C6 D8Ban(n8)d，又aa1a2k，(k8)d29d(2k8)d，解得k2(舍去)，k4.等比数列的判断与证明探究问题1若数列an是等比数列，易知有q(q为常数，且q0)或aanan2(an0，nN*)成立反之，能说明数列an是等比数列吗？提示能若数列an满足q(q为常数，q0)或aanan2
8、(an0，nN*)都能说明an是等比数列2若数列an是公比为q的等比数列，则它的通项公式为ana1qn1(a，q为非零常数，nN*).反之，能说明数列an是等比数列吗？提示能根据等比数列的定义可知【例3】已知数列的前n项和为Sn2na，试判断an是否是等比数列思路探究：如何由求和公式得通项公式？a1是否适合anSnSn1(n2)？需要检验吗？解anSnSn12na2n1a2n1(n2).当n2时2；当n1时，.故当a1时，数列an成等比数列，其首项为1，公比为2；当a1时，数列an不是等比数列1(变条件)将例题中的条件“Sn2na”变为“Sn2an”求证数列an是等比数列证明Sn2an，Sn1
9、2an1，an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1，an1an.又S12a1，a110.又由an1an知an0，an是等比数列2(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn2na”变为“a11，an12an1”证明数列an1是等比数列，并求出数列an的通项公式解因为an12an1，所以an112(an1).由a11，知a110，从而an10.所以2(nN*)，所以数列an1是等比数列所以an1是以a112为首项，2为公比的等比数列，所以an122n12n，即an2n1.判断一个数列an是等比数列的方法(1)定义法：若数列an满足q(q为常数且不为零)或q(n2，q为常数且不为零)，则数列an
10、是等比数列(2)等比中项法：对于数列an，若aanan2且an0，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列an的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列an是等比数列1等比数列的判断或证明(1)利用定义：q(q为与n无关的常数且不为零).(2)利用等比中项：aanan2(nN*).2两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个()，而不是一个()，这是容易忽视的地方3等比数列的通项公式ana1qn1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量1判断正误(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列()(2)等比数列的首项不能为零
11、，但公比可以为零()(3)常数列一定为等比数列()(4)任何两个数都有等比中项()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项2在等比数列an中，若a24，a532，则公比q应为()AB2CD2D因为q38，故q2.3在等比数列an中，a427，q3，则a7 729a7a4q327(3)3729.4已知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，令bn，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式解依题意an2(n1)(1)3n，于是bn.而2.数列bn是公比为2的等比数列，通项公式为bn2n3.