1、42 指 数 函 数 42.1 指数函数的概念 基础预习初探问题1.将一物体平均分成3份，每一份再分成3份这样分x次以后，份数y与x之间的关系是什么？提示：分的次数与份数如下表：归纳：y3x(xN*).分的次数123x份数33332333333333x问题2.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩余的这种物质是原来的84%，那么经过x年后剩余量y与x的关系是什么？提示：经过1年，剩余量为y184%0.841；经过2年，剩余量为y0.840.840.842；经过x年，剩余量为y0.84x.问题3.你能从以上两个例子得到的关系式里找到什么异同点吗？提示：共同点：变量x与y构成的函数关系式是
2、指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；不同点：底数的取值不同 问题4.在同一坐标系中用描点法画出y3x及y13x的图象列表：x21012y3x19139y13x9311319描点画图：结合图象你发现二者之间有什么关系？提示：共同点：都在 x 轴上方，都过点(0，1).不同点：y13x的图象是下降的，y3x 的图象是上升的联系：二者关于 y 轴对称【概念生成】1正整数指数函数的图象特点前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图象是连续不间断的，而正整数指数函数的图象是在第一象限内的一群_的点2指数函数的定义函数_叫做指数函数，其中_，定义域为_，值域为_孤立yaxa0且a1 R(0，)3指
3、数函数 y2x 和 y12x的图象与性质两个函数图象的相同点：都位于_的上方，都过点_；不同点：函数 y2x 的图象是_；函数 y(12)x 的图象是_x轴(0，1)上升的下降的核心互动探究探究点一 正整数指数函数的应用【典例 1】雾霾对人的身体健康的危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多据不完全统计，某地从 2015 年到 2019 年间平均每年上升 2%，若按这个增长率进行研究，设从 2014 年开始经过 x(xN*)年，患呼吸道疾病的人数为 y 人，2019 年患病人数为 11 万人(参考数据 1.0231.06，1.0251.1)(1)试计算出 2014 年患呼吸道疾病的人数(2)写
4、出 x，y 之间的关系式，并估计 2022 年患呼吸道疾病的人数【思维导引】利用正整数指数型函数模型，列出关系式，计算【解析】(1)设2014年患病人数为a万人，则a(12%)511，即a1.02511.因为1.0251.1，所以a10，所以2014年患呼吸道疾病的人数约10万人(2)2015年患病的人数为10(12%)，2016年患病的人数为10(12%)10(12%)2%10(12%)2，2017年患病的人数为10(12%)210(12%)22%10(12%)3.x年后患病的人数为10(12%)x.故y10(12%)x101.02x(xN*)，到2022年，x8，故患病人数y101.028
5、101.0251.023101.11.0611.66(万人).所以2022年患呼吸道疾病的人数约为11.66万人【类题通法】1由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段2在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式yN(1p)x表示【定向训练】日本福岛核电站爆炸中释放的碘-131不断衰变，每经过8天(周期)剩留的这种物质是原来的50%，写出这种物质的剩留量y随时间x(周期)变化的函数解析式【解析】设这种物质最初的质量是1，经过x个周期，剩留量是y.经过1个周期，剩留量y150%0.51；经过2个周期，剩留量y
6、(150%)50%0.52；经过x个周期，剩留量y0.5x(xN*).【跟踪训练】某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从2004年到2015年这10年间每两年上升2%，2014年和2015年种植植被815万m2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2014年到2019年种植绿色植被面积约为(四舍五入)()A848万m2B1 679万m2C1 173万m2D12 494万m2【解析】选B.20162017年为815(12%)，20182019年为815(12%)(12%).共为815(12%)815(12%)(12%)1 679(万m2).探究点二 指数函数的概念【
7、典例 2】下列是指数函数的是()Ay(4)xBy2x1CyaxDy3x【思维导引】根据指数函数的定义即可判断四个函数是否为指数函数，进而可得正确选项【解析】选D.对于选项A：y(4)x，因为40不满足底数a0且a1，故y(4)x不是指数函数，故选项A不正确；对于选项B：y2x122x不满足指数函数系数等于1，故y2x1不是指数函数，故选项B不正确；对于选项C：yax没有指出a的范围，当a0且a1时才是指数函数，故选项C不正确；对于选项D：y3x是指数函数，故选项D正确【类题通法】在指数函数的定义表达式yax中，参数a必须大于0，且不等于1，ax前的系数必须是1，自变量x必须在指数的位置上，否则
8、，就不是指数函数【定向训练】指出下列函数哪些是指数函数：(1)y3x.(2)yx2.(3)y3x.(4)y(3)x.【解析】(1)为指数函数(2)中底数不是常数，故不是指数函数(3)是1与指数函数3x的乘积，故不是指数函数(4)中底数30，a1，解得 a2(a1 舍去).所以 a 的值是 2.【类题通法】已知某函数是指数函数求参数值的两个步骤(1)列：根据底数大于0且不等于1，ax的系数是1且指数位置自变量x的系数是1，列出方程(组)或不等式(组).(2)解：解所列方程(组)或不等式(组)，求出参数的值【定向训练】指数函数f(x)过点2，12，则f(x)_【解析】设f(x)ax(a0，a1)，
9、所以a212，所以a 22，所以f(x)22x.答案：22x【跟踪训练】若函数y(a2)2ax是指数函数，则()Aa1或a3 Ba1Ca3 Da0且a1【解析】选C.令(a2)21，得a3或a1，当a1时不符合题意舍去，故a3.【误区警示】解答本题易出现选A的错误，出现这种错误的原因是忽略了指数函数的底数a需满足a0且a1.【课堂小结】课堂素养达标1下列函数中，是指数函数的是()Ayx3By(4)xCy5x1Dy25x【解析】选D.A是一个幂函数，故不是指数函数；B中虽然自变量出现在底数上，但40，不满足“大于0且不等于1”这个条件，故不是指数函数；C中指数并不是自变量x，故不是指数函数；D中
10、25x符合指数函数的三个特点，故是指数函数2若集合Ax|y2x，集合Bx|y x，则AB()A(0，)B(1，)C0，)D(，)【解析】选C.因为Ax|y2xR，Bx|y x 0，)，所以AB0，).3给出下列函数y23x；y3x1；y3x；yx3；y(2)x其中指数函数的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】选B.中，3x的系数为2，不是指数函数中，y3x1的指数是x1，不是自变量x，故不是指数函数中，y3x是指数函数中，yx3，底数为自变量，故不是指数函数中，底数20，a1)，将点(2，9)的坐标代入，得 a29，解得 a3 或 a3(舍去)，所以 f(x)3x，所以 f(1)13.答案：13