1、第2讲平面向量基本定理及坐标表示1平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a1e12e2.2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为i，j，取i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得axiyj，(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，显然i(1,0)，j(0,1)，0 (0,0).3平面向量的坐标运算(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y
2、2)，则(x2x1，y2y1)，| .4平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则abab(R)x1y2x2y10.1平面向量的一个基底是两个不共线向量构成的集合，平面向量基底可以有无穷多个2当且仅当x2y20时，ab与等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例3若a与b不共线，且ab0，则0.4已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.5已知ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则ABC的重心G的坐标为.6A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2x1)(
3、y3y1)(x3x1)(y2y1)0或(x2x1)(y3y2)(x3x2)(y2y1)或(x3x1)(y3y2)(x3x2)(y3y1)1已知向量a(2,4)，b(1,1)，则2ab等于()A(5,7) B(5,9) C(3,7) D(3,9)答案D解析2ab2(2,4)(1,1)(3,9)，故选D.2下列各组向量中，可以作为基底的是()Ae1(0,0)，e2(1，2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2答案B解析两个不共线的非零向量构成一个基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e10，e20，且e1与e2不共线故选B.3设向量
4、a(1,2)，向量b是与a方向相同的单位向量，则b()A(1，2) BC. D答案B解析因为向量b是与a方向相同的单位向量，所以b(1,2)(1，2).故选B.4(2021济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，2，若xy，则xy()A1 B6 C D答案C解析因为F是BC的中点，所以，因为2，所以，所以，又因为xy，且与不共线，所以x，y，故xy.5(2021全国乙卷)已知向量a(2,5)，b(，4)，若ab，则_.答案解析因为ab，所以245，解得.6已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_.答案(1,5)解析设D(x，y)，则由，得(
5、4,1)(5x，6y)，即解得考向一平面向量基本定理的应用例1(1)(2021长春三模)如图，在同一个平面内，向量与的夹角为，且tan7，向量与的夹角为45，且|1，|.若mn(mR，nR)，则nm_.答案解析解法一：作平行四边形OACB，如图所示，则mn，在OBC中，BOC45，OCB，OC，由解得sinOBCsin180(45)sin(45).由正弦定理得OB，BC.所以OABC，又|1，所以，所以m，n，所以nm.解法二：由已知条件可知，为锐角，由解得以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点A在第四象限，因为|1，|，由已知条件可得A，B，C(，0)，因为m
6、n(mR，nR)，所以解得因此nm.(2)(2022广东清远月考)如图所示，已知在OCB中，A是CB的中点，D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设a，b.用a，b表示向量，；若，求实数的值解依题意，A是BC的中点，2，即22ab.2abb2ab.设(00，n0，若ab，则的最小值为_.答案解析ab，4n2m0，即2mn4.m0，n0，(n2m)，当且仅当4mn时取等号所以的最小值是.利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取
7、值时，那么利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便5.(2021山东省菏泽市一模)已知向量a，b满足a(1,2)，ab(1m,1)，若ab，则m()A2 B2C. D答案D解析b(ab)a(1m,1)(1,2)(m，1)因为ab，所以2m10，解得m.故选D.6(2021长郡中学高三适应性考试)已知向量(1，sin1)，(3,1)，(2，cos)，若B，C，D三点共线，则tan(2021)_.答案2解析B，C，D三点共线，xx()，即(2，cos)x(4，sin)，则得x，即cossin，得tan2，则tan(2021)tan()tan2.一
8、、单项选择题1向量a，b满足ab(1,5)，ab(5，3)，则b()A(3,4) B(3,4)C(3，4) D(3，4)答案A解析由ab(1,5)，ab(5，3)，得2b(1,5)(5，3)(6,8)，所以b(6，8)(3,4)2(2021山东聊城月考)已知平行四边形ABCD中，(3,7)，(2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为()A. BC. D答案D解析因为(2,3)(3,7)(1,10)，所以，所以.3(2021常德模拟)平面向量a与b的夹角为120，a(2,0)，|b|1，则|a2b|()A4 B3C2 D答案C解析由题目条件，两向量如图所示，可知b，则|a2b|(1，)|2
9、.4.如图，在梯形ABCD中，2，且rs，则2r3s()A1 B2 C3 D4答案C解析根据题图，由题意可得()().因为rs，所以r，s，则2r3s123.5(2021山东淄博市实验中学高三月考)已知点A(8，1)，B(1，3)，若点C(2m1，m2)在线段AB上，则实数m()A12 B13 C13 D12答案C解析因为点C在线段AB上，所以与同向又(7，2)，(2m9，m3)，故，解得m13.故选C.6已知向量a(2,1)，b(3,4)，c(1，m)，若实数满足abc，则m等于()A5 B6 C7 D8答案B解析由平面向量的坐标运算法则可得ab(5,5)，c(，m)，据此有解得所以m6.7
10、(2021青岛模拟)已知向量a(1cosx,2)，b(sinx,1)，x，若ab，则sinx()A. B C D答案A解析根据题意，向量a(1cosx,2)，b(sinx,1)，若ab，则2sinx1cosx，变形可得cosx2sinx1，又sin2xcos2x1，则有sin2x(2sinx1)21，变形可得，5sin2x4sinx0，解得sinx0或sinx，又x，则sinx.故选A.8(2022河北石家庄质检)地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压、耐磨、防潮地板砖品种非常多，图案也多种多样如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的
11、边长都相同，若a，b，则()Aab BabCab Dab答案D解析以AB的中点M为坐标原点建立平面直角坐标系，设|AB|2，则O(0，)，A(1,0)，B(1,0)，F(1，22)，所以(1，)，(1，)，(2,22)设，则解得所以，即ab.故选D.二、多项选择题9设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是()A.与 B与C.与 D与答案AC解析平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于A，与不共线，可作为基底；对于B，与为共线向量，不可作为基底；对于C，与是两个不共线的向量，可作为基底；对于D，与在同一直线上，是共线向量
12、，不可作为基底10已知向量(1，3)，(2，1)，(m1，m2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是()A2 B C1 D1答案ABD解析各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形因为(2，1)(1，3)(1,2)，(m1，m2)(1，3)(m，m1)假设A，B，C三点共线，则1(m1)2m0，即m1.所以只要m1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD.11(2021广东湛江高三模拟)若点D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，则下列结论正确的是()A.ab BabC.ab Da答案ABC解析如图，在ABC中，ba，故A正确；ab，故B正确；ba，b
13、(ba)ab，故C正确；a，故D不正确故选ABC.12(2021日照调研)如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界)，若xy，则xy的取值可能是()A6 B1 C5 D9答案BC解析设a，b，求xy的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：若P在A点，a，xy101；若P在B点，b，xy011；若P在C点，a2b，xy123；若P在D点，ab(a2b)2a3b，xy235；若P在E点，ab，xy112；若P在F点，a3b，xy134.xy的最大值为235.根据对称性，可
14、知xy的最小值为5.故选BC.三、填空题13(2021哈尔滨六中二模)已知向量a(log2x,1)，b(log23，1)，若ab，则x_.答案解析因为ab，所以log2xlog23，所以log2xlog230，所以log2(3x)0，所以3x1，所以x.14已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_.答案(2,4)解析因为在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，所以2.设点D的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，所以(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，所
15、以解得故点D的坐标为(2,4)15.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R)，则_.答案4解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1个单位，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，所以a(1，1)，b(6,2)，c(1，3)由cab可得解得所以4.16(2022山东威海月考)如图，已知ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且e1，e2，则_，_.(用e1，e2表示)答案e1e2e1e2解析设x，y，则x，y.由，得(2)，得x2xe12e2，即x(e12e2)e1e2，所以e1e2.同理可得y(2e1e2)，即e1e2.四、
16、解答题17已知a(1,0)，b(2,1)，(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab与a2b共线，2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)解法一：A，B，C三点共线，即2a3b(amb)，解得m.解法二：2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)，A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，即2m30，m.18已知向量a(sin，cos2sin)，b(1,2)(1)若ab，求的值；(2)若|a|b|,0，求的值解(1)因为ab，所以2sincos2sin，于是4sincos，当cos0时，sin0，与sin2cos21矛盾，所以cos0，故tan，所以.(2)由|a|b|知，sin2(cos2sin)25，即14sincos4sin25，从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos21，于是sin，又由0知，2，所以2或2，因此或.