1、第四章 指数函数与对数函数 41 指 数 基础预习初探问题1.(1)如果x2a，则x叫做a的平方根，记作xa；如果x3a，则x叫做a的三次方根(立方根)，记作x3 a；若x4a呢？提示：若x4a，则x叫做a的4次方根，记作x4 a.(2)如果xna，则x叫做a的什么？如何表示？提示：若xna，则x叫做a的n次方根，若n为奇数，则x n a；若n为偶数，则xn a(a0).问题2.观察下面的等式：(1)(3 2)32，(32)32，(4 2)42，(53)53.(2)3（2）3 2，3 23 2，4（2）4 2，4 24 2.你能发现什么结论？提示：(1)一个数的n次方根的n次方等于其本身(2)
2、一个数的n次方开n次方，当n为奇数时，等于其本身；当n为偶数时，等于其绝对值问题3.(1)观察下列各式，你能得出什么结论？5 210 5（22）5 221052 3 412 3（44）3 441234 提示：通过观察两式可以得出，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式(2)类比(1)的规律，你能表示下列式子吗？由此你能得出什么结论？5 a3，4 35，7 b2，5 a9提示：能，5 a3 35a，4 35 543，7 b2 27b，5 a9 95a.可以得出：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式(3)an(a0)可以写成1an，
3、那么1-a n (a0)能否写成11na？提示：能问题4.(1)通过计算判断3416 1416 与31+4416是否相等提示：相等因为3416 1416 4 163 4 16 4（23）4 4 24 23216，31+441616，故相等(2)判断12423（）与1 22 34 是否相等提示：相等因为12423（）23(4)232 3 22 3 4，1 22 34 134 3 4，所以相等(3)判断23(8 27)与238 2327 是否相等提示：相等因为23(8 27)3（827）2 3 46 6563（36）3 36，238 2327 3 82 3 2723（22）3 3（32）3 493
4、6，所以相等【概念生成】1n 次方根定义一般地，如果 xna，那么 x 叫做 a 的_，其中 n1，且 nN*a0 x0n 是奇数a0 x0 x 仅有一个值，记为n aa0 x 有两个值，且互为相反数，记为n a个数n 是偶数a0 x 不存在n次方根【归纳总结】(1)任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根(2)n 0 0(n1，且nN*).2根式的概念与性质(1)定义：式子_叫做根式，这里 n 叫做_，a 叫做_(2)性质：(n1，且 nN*)(n a)na.n an a，n为奇数，|a|，n为偶数n a根指数被开方数3分数指数幂的意义正分数指数幂规定：amn _(a0
5、，m，nN*，且 n1)负分数指数幂规定：-amn _ 1n am(a0，m，nN*，且 n1)分数指数幂0 的分数指数幂0 的正分数指数幂等于_，0 的负分数指数幂_nma1mna0 不存在4.有理数指数幂的运算性质(1)aras_(a0，r，sQ).(2)(ar)s_(a0，r，sQ).(3)(ab)r_(a0，b0，rQ).(说明：当 r，sR 时，上式仍成立)arsarsarbr5无理指数幂一般地，无理指数幂 a(a0，为无理数)是一个确定的_并且_的运算性质，同样也适用于无理指数幂实数有理指数幂核心互动探究探究点一 利用根式的性质化简或求值【典例 1】计算下列各式的值：(1)5（2）
6、5.(2)6（4）6.(3)4（x2）4.(4)7（x7）7.【思维导引】由题目可获得以下主要信息：所给形式均为n an 的形式；n an 形式中n分为奇数和偶数两种解答本题可依据根式的性质n an|a|，n为大于1的偶数，a，n为大于1的奇数，完成化简【解析】(1)5（2）5 2.(2)6（4）6 6（4）6 4.(3)4（x2）4|x2|x2（x2），x2（x2）.(4)7（x7）7 x7.【类题通法】1根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值2对(n a)n与n an 的进一步认识(1)对(n a)n的理解：当
7、n为大于1的奇数时，(n a)n对任意aR都有意义，且(n a)na，当n为大于1的偶数时，(n a)n只有当a0时才有意义，且(n a)na(a0).(2)对 n an的理解：对任意aR都有意义，且当n为奇数时，n ana；当n为偶数时，n an|a|a（a0），a（a0）.提醒：对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论【知识延拓】有限制条件的根式化简的步骤【定向训练】若x0，则x|x|x2x_【解析】因为x0，所以x|x|x2xxx|x|x xx1.答案：1【跟踪训练】化简下列各式：(1)x22x1 x26x9(3
8、x3).(2)(a1)212aa2 3（1a）3.【解析】(1)原式（x1）2（x3）2|x1|x3|.因为3x3，所以当3x1时，原式(x1)(x3)2x2；当1x3时，原式(x1)(x3)4.所以原式2x2，3x1，4，1x0，b0).(3)a4b23 ab2(a0，b0).【思维导引】关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式运用分数指数幂的运算性质进行化简【解析】(1)a33 a2 a323a a323 113a.(2)因为 a0，b0，所以b3a a2b611-132-622a ba b（）（）13-322()a bab)(1322a b 131222()a b13-4
9、4a b.(3)因为 a0，b0，所以a4b23 ab2 124233a b a b11833ab1181332()ab114-63ab.【类题通法】把根式n am 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn 进行约分，否则，有时会改变a 的取值范围而导致出错，如8 a2，aR，化成分数指数幂应为28a，aR，而14a 4 a，则有 a0，所以化简时，必须先确定 a 的取值范围【知识延拓】1幂的运算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数(2)化根式为分数指数幂(3)化小数为分数2分数指数幂及根式化简结果的具体要求利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，
10、不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数【定向训练】下列式子的互化正确的是()A6 y2 13y (y0)B1-3x 3 x(x0)C5-4x 41x5(x0)D x 12(-x)(x0)【解析】选 C.根据分数指数幂的运算可知，6 y2 13|y|13y (y0)，1-3x 13 x(x0)，5-4x 41x5(x0)，x 12(x)(x0).【跟踪训练】(1)计算：23502221412(0.01)0.5_(2)化简：7332aa 3a83 a15 3a3a1.【解题指南】将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算【解析】(1)原式1
11、14 124()9121()100116 110 1615.答案：1615(2)原式73322a a 81533a a31322a a3 a2 73a 3a223a 7132()a1-23(a)23a 76a 23a 2 736a 23a 12-23a 16a.探究点三 指数幂运算中的条件求值【典例 3】已知12a 1-2a 3，求下列各式的值(1)aa1.(2)a2a2.【思维导引】利用完全平方差公式求(1)(2).【解析】(1)将12a 1-2a 3 两边平方，得 aa129，即 aa17.(2)将 aa17 两边平方，得 a2a2249，所以 a2a247.【类题通法】指数式求值的思路与
12、步骤(1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程本题若通过12a 1-2a 3解出a的值代入求值，则非常复杂(2)解决此类问题的一般步骤是【知识延拓】条件求值问题中常用的一些结论(1)完全平方公式：(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2.(2)平方差公式：a2b2(ab)(ab).【定向训练】已知xy12，xy9，且xy，求11221122xyxy的值【解析】11221122xyxy1122211112222()()()xyxyxy12()2()xyxyxy，因为xy12，xy9，
13、所以(xy)2(xy)24xy12249108.因为xy，所以xy6 3，将式代入式，得11221122xyxy12122 96 3 33.探究点四 无理数指数幂的运算【典例 4】计算：2+143-2 22.【思维导引】涉及无理数指数幂，其计算法则和有理数指数幂类似，把底数化为相同是关键【解析】2+143-2 222 2+223-2 222 2232 22 2532.【类题通法】在进行无理数指数幂的运算时，一定要注意按照运算性质进行变形、计算，不能为了简化某一个数字而改用、错用公式【定向训练】计算5(2)5(3)5-26.【解析】原式5(23)5-265(6)5-26552261.【课堂小结】
14、课堂素养达标13234(2)()A2 B 2C 2D2【解析】选B.3234(2)3324(2)2 33 42 2.2(2021普洱高一检测)设a0，则下列运算正确的是()A4334a a a B144()aaC22-33a a 0 Da23a 32a【解析】选B.对A，4334a a 4334a 2512a，故A错误；对B，144()a144aa，故B正确；对C，22-33a a 2233a a01，故C错误；对D，a23a 21-3a13a，故D错误3下列各式正确的是()A3m2n2 23(m+n)Bba21122a bC6（3）2 13(-3)D3 4 132【解析】选D.A.23(m+n)3（mn）2，因此不正确；Bba2b2a2，因此不正确；C6（3）2 6 32 133，因此不正确；D3 4 2 13 22 132，正确4化简73 3 33 24 63 19 433 3 的结果是_【解析】73 3 33 24 63 19 433 3 7133 3133 262-33 1134(3 3)133 62-33 133 2133 232-33 2133 2133 0.答案：05已知xx13，则x2x2_【解析】(xx1)2(xx1)245，所以xx1 5，所以x2x2(xx1)(xx1)3 5.答案：3 5
