1、 考纲定位1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题1两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，则AOB叫做向量 a 与 b 的夹角(2)范围向量夹角的范围是0180，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角180.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是90，则a与b垂直，记作ab.2平面向量数量积的意义(1)a，b是两
2、个非零向量，它们的夹角为，则数|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos.规定0a0.当ab时，90，这时ab0.(2)ab的几何意义ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积思考探究1：b在a上的投影是向量吗？提示：不是，b在a上的投影是一个数量|b|cos，它可以为正，可以为负，也可以为0.3向量数量积的性质(1)如果 e 是单位向量，则 aeea|a|cosa，e(2)abab0 且 ab0ab.(3)aa|a|2，|a|aa.(4)cosa，b .(5)|ab|a|b|.ab|a|b|4数量积的运算律(1)交换律abba.(2)分配律(ab
3、)cacbc.(3)对R，(ab)(a)ba(b)思考探究2：数量积的运算满足结合律吗？提示：数量积的运算不满足结合律，即(ab)ca(bc)不成立这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，因此(ab)c与a(bc)一般是不相等的5数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则(1)aba1b1a2b2.(2)aba1b1a2b20.(3)|a|.(4)cosa，b.a12a22a1b1a2b2a12a22 b12b22答案：D三基强化1(2010 年湖南高考)在 RtABC 中，C90，AC4，则AB AC等于()A16 B8C8 D16解析：A
4、BAC|AB|AC|cosA|AB|AC|AC|AB|AC|216.2已知|a|6，|b|3，ab12，则向量a在向量b方向上的投影是()A4B4C2D2答案：A解析：根据数量积的定义，向量 a 在向量 b 方向上的投影等于ab|b|4.答案：B3平面向量 a 与 b 的夹角为 60，a(2,0)，|b|1，则|a2b|等于()A.3B2 3C4 D12解析：a(2,0)，|b|1，|a|2，ab21cos601，故|a2b|a24ab4b22 3.答案：B4(2011 年湖南省长沙市第一中学高三第三次月考数学试题)已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量 a 与 b 的夹角是()A.2B
5、.3C.4D.6解析：a(ba)aba22，ab2a23，cosa，b ab|a|b|31612，a 与 b 的夹角为3.答案：C5(2011 年重庆八中高三上学期第二次月考)ABC 中，CBa，CAb，ab0，SABC154，|a|3，|b|5，则 a 与 b 的夹角为()A30 B150C150 D30或 150解析：SABC12|a|b|sinC154，|a|3，|b|5，sinC12，ab|a|b|cosC0，|ab|2cosx.(2)由(1)可得 f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx12(cosx12)232.x3，4，12cosx1，当 cosx12时，f(x)取得最
6、小值为32；当 cosx1 时，f(x)取得最大值为1.变式迁移 1 已知 O 是ABC 内部一点，OA OB OC 0，ABAC 2 3，且BAC30，则AOB 的面积为()A2 B1C.12D.13答案：D解析：由OA OB OC 0 得 O 为ABC 的重心SAOB13SABC.又ABAC|AB|AC|cos302 3，得|AB|AC|4.SABC12|AB|AC|sin301.SAOB13.考点二 求向量的模与夹角1利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2a22abb2；(3)若 a(x，y)，则|a|x2y2.2已知
7、a与b为不共线向量，且a与b的夹角为，则(1)ab0090；(2)ab090；(3)ab0900，BC AB0，判断ABC 的形状【解】ABAC|AB|AC|cosA，BCAB|BC|AB|cos(B)|BC|AB|cosB，CBCA|CB|CA|cosC.ABAC 0，BC AB0，cosA0，cosB0，cosC0，A、B、C 均为锐角ABC 为锐角三角形【答案】ABC为锐角三角形【易错点评】BC AB0，|BC|AB|cosB0，B 为钝角，ABC 为钝角三角形上述错误在于将BC与AB的夹角看成是ABC 的内角 B，向量BC与AB的夹角应为 B.2向量夹角范围不清致误纠错训练2 若两向量
8、e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2所成的角为60，若向量2te17e2与向量e1te2所成的角为钝角，求实数t的取值范围【解】设向量 2te17e2 与向量 e1te2 的夹角为，由 为钝角，知 cos0，故(2te17e2)(e1te2)2te12(2t27)e1e27te222t215t70，解得7t12.再设向量 2te17e2 与向量 e1te2 反向，则 2te17e2k(e1te2)(k0)，从而2tk，7tk，解得t 142，k 14，即当 t 142 时，两向量所成的角为.t 的取值范围是(7，142)(142，12)【答案】t 的取值范围是(7，142)(142，12)3应用数量积的运算律失误纠错训练3 给出下列命题：若a0，则对任一向量b，有ab0；若a0，则对任意一个非零向量b，有ab0；若a0，ab0，则b0；若ab0，则a，b中至少有一个为0；若a0，abac，则bc；若abac，且bc，当且仅当a0时成立，其中正确命题的序号有_【答案】
