1、第6讲对数与对数函数1对数的定义如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)logaMlogaN，(2)logalogaMlogaN，(3)logaMnnlogaM(nR)3对数函数的定义函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量4对数函数的图象与性质a10a1图象定义域(0，)值域R定点过点(1,0)单调性增函数减函数函数值正负当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y05反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数y
2、logax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称1对数的性质(a0，且a1)(1)loga10；(2)logaa1；(3)alogaNN.2换底公式及其推论(1)logab(a，c均大于0且不等于1，b0)；(2)logablogba1，即logab(a，b均大于0且不等于1)；(3)logambnlogab；(4)logablogbclogcdlogad.3对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大1(2020全国卷)设alog342，则4a()A. B
3、C. D答案B解析由alog342可得log34a2，所以4a9，所以4a.故选B.2(2021新高考卷)已知alog52，blog83，c，则下列判断正确的是()Acba BbacCacb Dabc答案C解析alog52log5log82log83b，即ac0，得x4或x0，且a1)的图象必过定点_.答案(1，2)解析由loga10(a0且a1)知，f(1)loga(12)2022.所以函数f(x)的图象必过定点(1，2)5计算：.答案4解析.6函数的定义域是_.答案解析由log(2x1)0得log(2x1)log1，所以02x11，解得x1.故原函数的定义域为.考向一对数的化简与求值例1(
4、1)(多选)下列运算错误的是()A2log10log0.252Blog427log258log95Clg 2lg 5010D答案ABC解析对于A,2log10log0.25log(1020.25)log522，A错误；对于B，log427log258log95，B错误；对于C，lg 2lg 50lg 1002，C错误；对于D，log(2)(2)(log2)212，D正确故选ABC.(2)(2021济南二模)苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时天文学家处理“大数运算”提供了巨大的便利已知正整数N的31次方是一个35位数，则由下面的对数表，可得N的值为() M23678911lg M0.
5、300.480.780.850.900.951.04M121314151617lg M1.081.111.151.181.201.23A12 B13 C14 D15答案B解析因为正整数N的31次方是一个35位数，所以1034N311035，则lg N，即1.10lg N1时，函数单调递增，当0a1时，函数单调递减，当底数0a1时，越远离x轴，故对应函数ylog0.5x的图象，对应函数ylog3xlogx的图象，根据对称性，对应函数ylog2x的图象，与题中所给函数的图象相矛盾，故错误故选B.(2)若方程4xlogax在内有解，则实数a的取值范围为_.答案解析构造函数f(x)4x和g(x)log
6、ax.当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数的大致图象，如图所示可知，只需两图象在上有交点即可，则fg，即2loga，则0a，所以实数a的取值范围为. 利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合思想求解4.(2021银川二模)函数f(x)cosxln (x)在1,1的图象大致为()答案B解析因为f(x)cos(x)ln (x)cosxln (x)cosxln cosxln (x)f(x)，故f(
7、x)为奇函数，排除C，D；又f(1)cos1ln (1)2sin1 B2C.2 Dlog43log65答案BCD解析sin1(0,1)，log2(sin1)1，log2(sin1)2sin1，故A错误；021，2，故B正确；要判断2，即判定2，即判定(2)2()2，即114112，即42，即2830成立，故C正确；log431log4，log651log6，log4log4，且log4log6，log4log6，log43log65，故D正确故选BCD.(2)(多选)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中可能成立的是()Aabc BbacCcba Dacb答案BCD解
8、析由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cba1.作出函数的图象(如图所示)由图象可知选项B，C，D可能成立(3)(2020全国卷)已知5584,13485.设alog53，blog85，clog138，则()Aabc BbacCbca Dcab答案A解析a，b，c(0,1)，2221，ab.由blog85，得8b5，由5584，得85b84，5b4，可得b.由clog138，得13c8，由13485，得134135c，5c4，可得c.综上所述，abc.故选A. 比较对数值大小的方法6.(2021贵阳市南明区校级模拟)设a
9、2ln，blog56，clog6，则a，b，c的大小关系是()Aacb BbacCcab Dabc答案C解析因为ln1，clog60，所以cab.故选C.7(多选)(2021辽宁三模)对于0a1，下列四个不等式中成立的是()Aloga(1a)logaCa1a a1答案BD解析0a1，a，从而1aloga.又0a a1.故选BD.8(2021山东模拟)设x，y均为正实数，且3x4y，则比较3x与4y的大小关系是_.答案3x1)，则xlog3M，ylog4M，3x4y3log3M4log4M340，故3xf(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)
10、D(，1)(0,1)答案C解析由题意可得或解得a1或1a0的解集为()A(3,0)(3，)B(3，)C(3,3)D(，3)(3，)答案D解析函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，由f(x)lg (3x1)10得x3，根据偶函数对称性可知，当x0得x0的解集为(，3)(3，)故选D. 解对数不等式的类型及方法(1)形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式9.设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1,2 B0,2C1，) D0，)答案D解析当x1时，由21x2得1x1，0x1
11、；当x1时，由1log2x2得x，x1.综上，x的取值范围为0，)故选D.10若loga(a21)loga2a0且a1，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，所以a.综上，a.角度与对数有关的复合函数问题例5(1)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是_.答案解析当a1时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由f(x)1在区间1,2上恒成立，得f(x)minloga(82a)1，解得1a.当0a1在区间1,2上恒成立，得f(x)minloga(8a)1，得82a4.故a不存在综上可知，实数
12、a的取值范围是.(2)(2021海南省高三第一次联考)已知函数f(x)3log2x，x1,16，若函数g(x)f(x)22f(x2)求函数g(x)的定义域；求函数g(x)的最值解函数g(x)f(x)22f(x2)满足解得1x4，即函数g(x)的定义域为1,4因为x1,4，所以log2x0,2g(x)f(x)22f(x2)(3log2x)262log2x2(log2x)210log2x15(log2x5)210，当log2x0时，g(x)min15，当log2x2时，g(x)max39，即函数g(x)的最大值为39，最小值为15. 利用对数函数的性质，求解与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调
13、性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用11.(2020新高考卷)已知函数f(x)lg (x24x5)在(a，)单调递增，则a的取值范围是()A(，1 B(，2C2，) D5，)答案D解析由x24x50，解得x5或x0，则函数定义域为(0,4)，f(1)ln，f(3)ln 3，即f(3)f(1)，有关于点(2,0)对称的可能，进而推测f(x2)为奇函数，关于原点对称，f(x2)ln 的定义域为(2,2)，是奇函数且单调递增，f(
14、x)为f(x2)向右平移两个单位得到的，则函数在(0,4)单调递增，关于点(2,0)对称故选A.13(多选)(2021泉州二模)已知函数f(x)x，g(x)则()Af(g(2)2Bg(f(1)1C当x0时，g(f(x)的最小值为1答案ABD解析g(2)log221，f(g(2)f(1)2，A正确；f(1)2，g(f(1)g(2)log221，B正确；当xf(1)2，C错误；当x0时，f(x)x22，当且仅当x，即x1时取等号，设mx，m2，)，则g(m)log2mlog221，D正确故选ABD.一、单项选择题1(2021诸暨模拟)已知x，y为正实数，则()Alg (x2y)(lg x)2lg
15、yBlg (x)lg xlg yCeln xln yxyDeln xln yxy答案B解析x，y为正实数，lg (x2y)lg x2lg y2lg xlg y，故A错误；lg(x)lg xlg lg xlg y，故B正确；eln xln yelnxeln yxy，故C，D错误故选B.2若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2x B Clogx D2x2答案A解析由题意知f(x)logax(x0)f(2)1，loga21.a2.f(x)log2x.3(2021江西重点中学协作体第二次联考)若a3，则alog()A1 B1 C D3答案B解析a3
16、，alog53，alogaa(a)11.故选B.4(2021宝鸡模拟)很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”“64片金片在三根金针上移动的寓言”)都涉及264这个数，请你估算这个数264大致所在的范围是(参考数据：lg 20.30，lg 30.48)()A(1012,1013) B(1019,1020)C(1020,1021) D(1030,1031)答案B解析设264N，两边同时取常用对数得lg 264lg N，64lg 2lg N，lg N640.3019.2，N1019.2.故选B.5若loga0且a1)，则实数a的取值范围是()A. BC.(1，) D(1，)答案D解析因为loga
17、1，所以loga1，则上式显然成立；若0a0，y0，a1，若aylog2xlog8y32x，则()Aln |1x3y|0 Dln (13yx)0答案C解析由题意可知，a3ylog2xlog2yx，log2xxlog2ya3ylog2(3y)a3ylog2(3y)3y，令f(x)log2xx，则f(x)f(3y)，易知f(x)在(0，)上为增函数，由f(x)f(3y)，得x0，13yx1，ln (13yx)ln 10.故选C.二、多项选择题9若函数f(x)ax2，g(x)loga|x|，其中a0且a1，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是()答案AD解析由题意知f(x)ax2是
18、指数函数，g(x)loga|x|是对数函数，且是一个偶函数当0a1时，f(x)ax2单调递增，g(x)loga|x|在(0，)上单调递增，此时D符合题意故选AD.10(2021潍坊模拟)已知为圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是()Ae3e B3e23e2Cloge3loge答案CD解析为圆周率，e为自然对数的底数，3e2，e1，e3e，故A错误；01,0e2，3e23e2，故B错误；3，loge3，log3eloge，得log3e3loge，故D正确故选CD.11(2021广东普宁市模拟)已知函数f(x)loga|x1|在区间(，1)上单调递增，则()A0a1Cf(a2021)f(
19、2022)Df(a2021)1时，可得函数f(x)loga|x1|在区间(，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增；当0a1时，可得函数f(x)loga|x1|在区间(，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减由题意可得0a1，故A正确，B错误；由于0a1，可得1a2021f(2022)，故C正确，D错误故选AC.12(2021江苏南京一模)已知函数f(x)log2(14x)x，则下列说法正确的是()A函数f(x)是偶函数B函数f(x)是奇函数C函数f(x)在(，0上为增函数D函数f(x)的值域为1，)答案AD解析根据题意，函数f(x)log2(14x)x，其定义域为R，有f(x)log2x
20、log2(14x)xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，则A正确，B错误；对于C，f(1)log21f(0)，f(x)在(，0上不是增函数，C错误；对于D，f(x)log2(14x)xlog2，设t2x2，当且仅当x0时等号成立，则t的最小值为2，故f(x)log221，即函数的值域为1，)，D正确故选AD.三、填空题13计算：lg 5(lg 8lg 1000)(lg 2)2lg lg 0.06_.答案1解析原式lg 5(3lg 23)3(lg 2)2lg 3lg 5lg 23lg 53(lg 2)223lg 23lg 521.14已知函数f(x)且关于x的方程f(x)a0有两个实根，则实数a
21、的取值范围为_.答案(0,1解析作出函数yf(x)的图象(如图)，欲使yf(x)和直线ya有两个交点，则00，且a1)在2,0上的值域是1,0，则实数a_；若函数g(x)axm3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为_.答案1，)解析函数f(x)loga(x1)(a0，且a1)在2,0上的值域是1,0当a1时，f(x)loga(x1)在2,0上单调递减，无解；当0a0且a1，故a2，所以f(x)log2x.因为函数g(x)f(x2)f(5x)log2(x2)log2(5x)，所以有x20且5x0，解得2x5，则函数g(x)的定义域为(2,5)，g(x)log2(x2)log2(5x)log2(x23x10)，因为函数yx23x10在上单调递增，在上单调递减，又函数ylog2x在定义域上单调递增，由复合函数的单调性可得，g(x)在上单调递增，在上单调递减(2)因为x1,3，不等式g(x)mlog230的解集非空，所以mlog23g(x)min，x1,3由(1)可得，g(x)在上单调递增，在上单调递减，因为g(1)log261log23，g(3)log210，所以g(x)min1log23，故mlog231log23，所以m1，故实数m的取值范围为1，)