1、第1讲不等式及其性质1比较两个实数的大小关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：ab0ab；ab0ab；ab0a0，则有1ab；1ab；1abbb，bcac.(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd.(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd.(5)可乘方性：ab0anbn(nN，n2)1ab，ab0.2a0bb0,0c.40axb或axb0b0，m0，则(bm0)；0)1(2022葫芦岛模拟)设M2a(a2)，N(a1)(a3)，则有()AMN BMNCM0，所以MN.故选A.2(2022汕头月考)是成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不
2、充分也不必要条件答案A解析充分性显然成立，必要性可以举反例：x10，y，显然必要性不成立故选A.3如果xy0，那么下列不等式成立的是()Ay2x2xy Bx2y2xyCx2xyxyy2答案D解析因为xy0，所以xy0y.在不等式xxy.在不等式xy两边同时乘以y，得xyy2.所以x2xyy2.故选D.4若，则的取值范围是_.答案(，0)解析由已知，得，所以，又，所以0，故解析因为()2172，()2172，所以()2()2，所以.6已知a，b，cR，有以下命题：若，则；若，则ab，则a2cb2c.其中正确的是_(请把正确命题的序号都填上)答案解析若c0，则命题不成立由得0，于是a0知命题正确故
3、正确命题的序号为.考向一不等式的性质例1(1)(2021哈尔滨模拟)已知a，b，cR，则“”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析因为0ac0，而ac0；反之，ac0时，不一定成立，所以“”是“b，则b，则ac2bc2C若a0b，则a2ab0，则答案BD解析根据ab，取a1，b1，则b，由不等式的基本性质知ac2bc2成立，故B正确；由a0b，取a1，b1，则a2ab0，(ab)c0，acabbcab，即a(cb)b(ca)，ca0，cb0，故D正确故选BD. 判断不等式是否成立常用的三种方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判
4、断不等式是否成立时要特别注意前提条件(2)利用特殊值法(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能判断时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断1.如果a0b且a2b2，那么以下不等式中正确的个数是()a2b0；a3ab2.A0 B1 C2 D3答案C解析由得a2b0，0，又b0，0，正确；由得a3ab2，不正确故选C.2(2022成都模拟)若ab Ba2abC.bn答案C解析(特值法)取a2，b1，n0，逐个检验，可知A，B，D均不正确；对于C，|b|(|a|1)|a|(|b|1)|a|b|b|a|b|a|b|a|，ab0，|b|a|成立故选C.多角度探究突破考向二比
5、较两个数(式)的大小角度作差法例2(1)(2022山东齐鲁名校联考)已知0aN BMNCMN D不能确定答案A解析0a0,1b0,1ab0.MN0，MN.故选A.(2)(2022吉林模拟)已知等比数列an中，a10，q0，前n项和为Sn，则与的大小关系为_.答案解析当q1时，3，5，所以0且q1时，0，所以.综上可知”“解析MN(x2y2z2)(2x2y2z)(x22x1)(y22y1)(z22z1)3(x1)2(y1)2(z1)23.因为(x1)20，(y1)20，(z1)20，30，所以MN0，故MN.角度作商法例3设a，b都是正数，且ab，则aabb与abba的大小关系是_.答案aabb
6、abba解析aabbbaab.若ab，则1，ab0，ab1，aabbabba；若ab，则01，ab1，aabbabba. 作商法的步骤(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论4.ee与ee的大小关系为_.答案eeee解析e，又01,0e1，e1，即1，即eeee.角度特殊值法例4(1)(2022湖南郴州质检)若m0且mn0，则下列不等式中成立的是()Anmnm BnmmnCmnmn Dmnnb2，则()Ab2a2bab2Cabab D答案BC解析ab2，取a3，b2，则b20，故B成立；ababa(b1)b(b1)(b1)0，故C成立；取a3，b2，故D不成立故选BC. 特殊
7、值法比较大小的思路利用特殊值法比较两数(式)的大小时需要注意以下问题：赋值应该满足前提条件；当一次赋值不能确定准确的选项，则可以通过二次赋值检验，直至得到正确选项5.若a0，b0，则p与qab的大小关系为()Apq Dpq答案B解析解法一：(特殊值排除法)令ab1，则pq2，排除A，C；令a1，b2，则pq，排除D.故选B.解法二：(作差法)pqab(b2a2)，因为a0，b0，所以ab0.若ab，则pq0，故pq；若ab，则pq0，故pq.综上，pq.故选B.角度中间量法例5已知实数aln (ln )，bln ，c2ln ，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCbac Dcab答案
8、A解析因为ee2，所以ln (1,2)，即b(1,2)由ln (1,2)，得aln (ln )(ln 1，ln 2)，而ln 2ln e1，所以a(0,1)由2ln e2ln 2ln e2，得c(2,4)所以abc.故选A. 中间量法比较大小的思路利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数f(x)logax的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小6.(2022大连质检)设a0.5，b0.4，clog(log34)，则()Acba BabcCcab Dacb答案
9、C解析因为00.501，所以0a01，所以b1，因为log34log331，所以log(log34)0，即c0.综上知，cab.故选C.考向三应用不等式的性质求范围例6(1)(多选)(2022湖南长沙调研)已知6a60,15b18，则下列结论正确的是()A. Bab(21,78)Cab(9,42) D答案AB解析因为6a60,15b18，所以，18b15，所以，615ab6018,618ab6015，即4,21ab78，12ab45.于是1.故A，B正确，C，D错误(2)已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(用区间表示)答案(3,8)解析解法一：设2x3y(xy)(xy)()x(
10、)y，对应系数相等，则2x3y(xy)(xy)(3,8)解法二：令2x3y23b(3,8) 利用不等式性质求代数式的取值范围由af(x，y)b，cg(x，y)y01，则的取值范围为()A.B(，3)C(，3D.答案B解析由题意，得3x0y020，y03x02，x0y01，x03x021，解得x0，3，x0，0，3，所以(，3).故选B.一、单项选择题1若ab0，cd B D答案D解析由cd00，又ab0，故由不等式性质，得0，所以b，0 Bab0 Dab0答案A解析因为，所以b，所以ba0.3已知a0，1babab2 Bab2abaCabaab2 Dabab2a答案D解析由于每个式子中都有a，
11、故先比较1，b，b2的大小因为1b0，所以bb21.又因为aab2a.故选D.4已知xyz，xyz0，则下列不等式成立的是()Axyyz BxzyzCxyxz Dx|y|z|y|答案C解析xyz且xyz0，3xxyz0,3z0，zz，xyxz.5(2021陕西教学质量检测)设0，0，则2的取值范围是()A. BC(0，) D答案D解析由已知，得02，0，0，由同向不等式相加得到2.6已知ax2x，blg3，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcabCcba Dbc1，blg 3lg ，ce.所以bca.故选D.7已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系
12、为()Aabc BbcaCbca Dba0，所以b1a2a，所以a1”是“ln (a1)ln (b1)”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析1100(ab)b0，ln (a1)ln (b1)ab1，因为(ab)b0推不出ab1，ab1能推出(ab)b0，所以“1”是“ln (a1)ln (b1)”的必要不充分条件故选B.9(2021中山一模)已知a，b，c为实数，则“abc”是“(ac)|ac|(bc)|bc|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析当abc时，(ac)|ac|(bc)|bc|(ac)2(
13、bc)2(ab2c)(ab)0，从而(ac)|ac|(bc)|bc|，充分性成立取a1，b1，c0，则(10)|10|1，(10)|10|1.11，且acb，必要性不成立故选A.10(2021白山市高三开学考试)已知a，b，c，d均为正实数，设S，则下列判断中正确的是()A0S1 B1S2C2S3 D3S1，S2，1S0，b0，ab21，则()Aab1C.b D答案BCD解析因为a1b20，b0，所以0b1，所以0a21，故B正确；因为b，取等号时a，b，满足a，b(0,1)，故C正确；因为b20，所以要证，只需证，只需证3a(b2)2，即证3(1b2)(b2)2，即证4b24b10，即证(2
14、b1)20，显然(2b1)20成立，当且仅当a，b时取等号，故D正确故选BCD.12(2021湖南长沙天心区校级期末)设a，b为正实数，现有下列命题，其中真命题是()A若a2b21，则ab1B若1，则ab1C若|1，则|ab|1D若|a3b3|1，则|ab|a10，a1ba1，即ab1，B错误；若|1，则可取a9，b4，而|ab|51，C错误；由|a3b3|1，若ab0，则a3b31，即(a1)(a2a1)b3，a21ab2，a1b，即ab1，若0aa2，b1a，即ba1，|ab|”“”或“”)答案解析2，.因为2，所以0且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，则P与Q的大小关系为
15、_.答案PQ解析当0a1时，a3a2，a31loga(a21)；当a1时，a3a2，a31a21.因为ylogax在(0，)上为增函数，所以loga(a31)loga(a21)综上知，PQ.15设0x1x2(1)20，ba，cb(1x)0，cb，cba.c最大解法二：取x，则a，b1，c1，显然c最大16(2021山东省威海市一模)为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400 m2的新型生鲜销售市场市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m2，月租费为x万元；每间肉食水产类店面的建造面积为20 m2，月租
16、费为0.8万元全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%.(1)两类店面间数的建造方案有_种；(2)市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建造方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x的最大值为_万元答案(1)16(2)1解析设蔬菜水果类和肉食水产类店面间数分别为a，b.(1)由题意知，0.8240028a20b0.852400，化简得，4807a5b510，又ab80，所以4807a5(80a)510，解得40a55，a40,41，55，共16种(2)由题意知0.9x，0.8b(80b)x72x，x0.8，bmax804040，x0.80.8
17、1，即x的最大值为1万元四、解答题17(2022广东广州联考)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd，得()2()2，所以.(2)必要性：若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得.充分性：若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|b0，cd|c|.(1)求证：bc0；(2)求证：；(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式|c|，且b0，cc，所以bc0.(2)证明：因为cdd0.又ab0，所以由同向不等式的可加性可得acbd0，所以(ac)2(bd)20，所以0b，dc，所以由同向不等式的可加性可得adbc，由(1)知bc0，所以0bcad，得.(3)由(2)知，0，所以或.(只要写出其中一个即可)