1、5.5.2 简单的三角恒等变换(二)基础预习初探问题1.利用和差角的正弦公式，如何化简三角函数式12 sin 32cos？提示：逆用两角和与差的正弦、余弦公式，即12 sin 32cos cos 3 sin sin 3 cos sin 3，或12 sin 32cos sin 6 sin cos 6 cos cos 6.提示：a sin xb cos xa2b2(aa2b2 sin xba2b2 cos x)，若令cos aa2b2，sin ba2b2，则原式可化为：a sin xb cos xa2b2(cos sin xsin cos x)a2b2 sin(x).若令sin aa2b2，cos
2、 ba2b2，则原式可化为：a sin xb cos xa2b2(sin sin xcos cos x)a2b2 cos(x).问题2.a sin xb cos x的化简结果是什么？【概念生成】(1)积化和差公式sin cos 12 sin()sin()cos sin 12 sin()sin()cos cos 12 cos()cos()sin sin 12 cos()cos()(2)和差化积公式sin sin 2sin2cos2sin sin 2cos2sin2cos cos 2cos2cos2cos cos 2sin2sin2(3)结论：辅助角公式的两种形式核心互动探究探究点一 两角和与差的
3、三角函数公式的应用【典例1】(1)求证sin2sin2sin()sin().(2)计算：sin2524 sin2 24 _【思维导引】(1)利用两角和与差的正弦公式，从右向左证明(2)利用证明的公式计算，也可以利用和差化积公式【解析】(1)因为sin()sin cos cos sin，sin()sin cos cos sin.所以sin()sin()sin2cos2cos2sin2sin2(1sin2)cos2sin2sin2sin2sin2cos2sin2sin2(sin2cos2)sin2sin2sin2.(2)方法一：由公式sin2sin2sin()sin()得sin2524 sin2
4、24 sin524 24sin 524 24sin 4 sin 6 24.方法二：sin2524 sin2 24 sin524sin 24sin 524sin 242sin 8 cos 12 2cos 8 sin 12 sin 4 sin6 24.方法三：sin2524 sin2 24 1cos51221cos 12212(cos 12 cos 512)12(cos 4 cos6 sin4 sin6 cos4 cos6 sin4 sin6)24.答案：24【类题通法】两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用1由公式S()，两式相加减，可以推出积化和差公式，通过代换法，又可以得到和差化积公式由公式S
5、()，两式相乘，可以进一步推出三角函数的平方差正弦公式：sin2sin2sin()sin().2由公式C()，两式相加减，可以推出积化和差公式，通过代换法，又可以得到和差化积公式由公式C()，两式相乘，可以进一步推出三角函数的平方差余弦公式：sin2sin2sin()sin().【定向训练】1求证：cos2sin2cos()cos().【证明】因为cos()cos cos sin sin，cos()cos cos sin sin.所以cos()cos()cos2cos2sin2sin2cos2(1sin2)sin2sin2.cos2cos2sin2sin2sin2cos2sin2.2计算：co
6、s237.5sin27.5.【解析】方法一：cos237.5sin27.5cos(37.57.5)cos(37.57.5)cos 45cos 30 64.方法二：cos237.5sin27.51cos7521cos15212(cos75cos15)12cos（4530）cos（4530）12(cos45cos30sin45sin30cos45cos30sin45sin30)cos45cos30 64.【跟踪训练】计算：tan9 4sin 109.【解析】方法一：tan204sin200tan204sin20sin204sin20cos20cos20sin202sin40cos20sin（301
7、0）2sin（3010）cos2032cos10 32 sin 10cos 20 3sin70cos20 3.(构造特殊角，即两角和的一半与两角差的一半)方法二：tan 204sin200tan204sin20sin204sin20cos20cos20sin202sin40cos202sin30cos10sin40cos20cos10cos50cos20 3cos20cos20 3.(和差化积公式)探究点二 利用辅助角公式研究函数的性质【典例2】(1)化简sin cos(x)cos sin(x)_(2)已知f(x)sin 2x 3 cos 2x.求函数的最小正周期求函数的最大值以及相应的x的值
8、【思维导引】(1)逆用两角和的正弦公式化简(2)利用辅助角公式化简三角函数解析式，再研究函数的性质【解析】(1)sin cos(x)cos sin(x)sin(x)sin x.答案：sin x(2)f(x)sin 2x 3 cos 2x2(sin 2x12 cos 2x 32)2(sin 2x cos 3 cos 2x sin 3)2sin(2x3).函数的最小正周期T2.函数的最大值为2，由2x3 2k2，kZ，得xk 12，kZ，所以函数取得最大值的相应的x的值为x|x k 12，kZ.【类题通法】关于应用辅助角公式研究函数性质的注意事项(1)辅助角公式：a sin xb cos xa2b
9、2 sin(x)辅助角公式可以由两角和的正弦公式证明(2)确定辅助角：辅助角公式中，tan ba，且的终边经过点(a，b)，一般地，辅助角的范围是(0，2).(3)辅助角公式的作用：形如 f(x)a sin xb cos x(ab0)的函数，都可以化为 f(x)a2b2 sin(x)的形式若|2，可以用三角函数的诱导公式再化简【延伸探究】例2的条件不变，若存在x满足f(x)m，如何求m的取值范围？【解析】若存在x满足f(x)m，则只需满足mf(x)max即可，依题意，得m2.【定向训练】已知函数f(x)(2cos2x1)sin2x12 cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)
10、若2，且f()22，求的值【解析】(1)因为f(x)(2cos2x1)sin2x12 cos 4xcos 2x sin 2x12 cos 4x12(sin 4xcos 4x)22sin 4x4，所以f(x)的最小正周期为2，最大值为 22.(2)因为f()22，所以sin 441，因为2，所以44 94，174.所以44 52，故916.探究点三 三角恒等变换的综合应用【典例3】一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽ACBD1米(1)设BOD，试将L表示为的函数(2)求L的最小值，并说明此最小值的实际意义【思维导引】(1)在直角三角形中，利用锐角的三角函数定义求AO，BO即
11、可求得函数解析式(2)利用辅助角公式，通过换元法求函数的值域【解析】(1)AO1cos ，BO1sin ，LAOBO1cos 1sin sin cos sin cos，0，2.(2)设xsin cos 2 sin 4，0，2，则x(1，2，所以，sin cos x212，此时L(x)2xx21.任取x1，x2(1，2，且x1x2，L(x1)L(x2)2x1x21 1 2x2x22 1 2（x2x1）（x1x21）（x21 1）（x22 1），因为x1，x2(1，2，且x10，(x2x1)(x1x21)0，故L(x1)L(x2)0，即L(x)在x(1，2 时是减函数，所以Lmin2 2.L最小值
12、的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过22米，否则，铁棒无法通过，也就是说，能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为2 2 米【类题通法】应用三角函数解决实际问题的步骤三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下：(1)审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式(2)利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为yA sin(x)b的形式(3)在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值【定向训练】如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为 3 的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是POQ的平分线，E在PQ上，连接OC，记COE，则角为何值
13、时矩形ABCD的面积最大？并求最大面积【解题指南】首先明确S矩形ABCDABBC，其次将AB，BC统一用角表示出来，然后根据角的范围求面积的最大值【解析】如图所示，设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N均为AD，BC的中点，在RtONC中，CNsin ，ONcos，OM DMtan 6 3 DM 3 CN 3 sin，所以MNONOMcos 3 sin，即ABcos 3 sin，而BC2CN2sin，故S矩形ABCDABBC(cos 3 sin)2sin 2sin cos 2 3 sin2sin2 3(1cos 2)sin 2 3 cos 2 3212sin 2
14、32 cos 2 3 2sin 23 3.因为06，所以023，3 23 23.故当23 2，即 12 时，S矩形ABCD取得最大值，此时S矩形ABCD2 3.【跟踪训练】福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角 3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？【解析】连接OA，设AOP，过A作AHOP，垂足为点H，在RtAOH中，OHcos，AHsin，所以BHAHtan 60
15、 33sin，所以OBOHBHcos 33sin，设平行四边形ABOC的面积为S，则SOBAHcos 33 sin sin sin cos 33sin212 sin2 36(1cos 2)12 sin 2 36cos 2 36 13(32sin 212 cos 2)36 13 sin 2636.由于03，所以6 26 56，当26 2，即6 时，Smax 13 36 36，所以当A是PQ 的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为 36平方米【课堂小结】课堂素养达标1化简cos 3 sin 的结果可以是()A12 cos 6 B2cos 3C12 cos 3D2cos 6【解析】选B.cos 3
16、 sin 212cos 32 sin 2coscos3sin sin 32cos 3.2(多选题)已知函数f(x)sin 2x2cos2x，则()Af(x)的最大值为3Bf(x)的图象关于直线x8 对称Cf(x)的图象关于点8，1对称Df(x)在4，4上单调递增【解析】选 BC.f(x)sin2x2cos2xsin2xcos 2x1 2 sin 2x41，则 f(x)的最大值为 2 1，故 A 错误；f8 2 sin 2841 2 1，则 f(x)的图象关于直线 x8 对称，故 B 正确；f8 2 sin 28 411，则 f(x)的图象关于点8，1对称，故 C 正确；当 x4，4时，2x4 4，34，则可得 2x4 4，2时，函数单调递增；当 2x4 2，34时，函数单调递减，故 D 错误3将下列各式化为 A sin(x)的形式(1)sin 2xcos 2x_.(2)3 sin xcos x_.【解析】(1)sin 2xcos 2x 2 22 sin 2x 22 cos 2x 2 sin 2x cos 4cos 2x sin 4 2 sin 2x4.答案：2 sin 2x4(2)3 sin xcos x232 sin x12cos x2sin x cos 6cos x sin 62sin x6.答案：2sin x6
