1、第8讲二项分布与超几何分布、正态分布1n重伯努利试验及其特征(1)n重伯努利试验的概念我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验(2)n重伯努利试验的共同特征同一个伯努利试验重复做n次；各次试验的结果相互独立.2二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态密度曲线，简称正态曲线(2)正态分布若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(，2).特别地，当0，1时，称随机变量X服从标准正态分布(3)正态曲线的特点xR，f(x
2、)0，它的图象在x轴的上方.曲线与x轴之间的区域的面积为1.曲线是单峰的，它关于直线x对称曲线在x处达到峰值.当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图.当一定时，曲线的形状由确定，较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图.(4)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3原则P(X)0.6827；P(2X2)0.9545；P(3X3)0.9973.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取3，3中的值，这在统计学中称为3原则1二项分布与超几
3、何分布的关系在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布 区别当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布2若XN(，2)，则X是连续型随机变量1从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是()A. B C D答案B解析设随机变量X表示取出次品的个数，X服从超几何分布，其中N15，M2，n3，X的可能的取值为0,1,2，所求概率为P(X1).故选B.2甲、乙两人进行
4、乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以31的比分获胜的概率为()A. B C D答案A解析第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求概率为PC2.故选A.3(2021新高考卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，2)，下列结论中不正确的是()A越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等答案D解析对于A，2为数据的方差，所以越小
5、，数据在10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99的概率与大于10.01的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量在一次测量中落在(9.9,10)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以在一次测量中落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误故选D.4(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员
6、中使用移动支付的人数，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，则p()A0.7 B0.6 C0.4 D0.3答案B解析D(X)np(1p)，p0.4或p0.6.P(X4)Cp4(1p)6P(X6)Cp6(1p)4，(1p)20.5.故选B.5投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432 C0.36 D0.312答案A解析3次投篮投中2次的概率为P(k2)C0.62(10.6)，投中3次的概率为P(k3)0.63，所以通过测试的概率为P(k2)P(k3)C0.62(10.6)
7、0.630.648.故选A.6一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中目标记0分某人每次击中目标的概率为，则此人得分的数学期望与方差分别为_.答案20，解析记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则XB，Y10X，所以E(Y)10E(X)10320，D(Y)100D(X)1003.考向一n重伯努利试验与二项分布例1(2021泰安模拟)国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有BO1，BO3等等BO1表示双方进行一局比赛，获胜者晋级BO3表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜
8、负现在A，B，C，D四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行BO1，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行BO3，胜者为冠军已知A与B，C，D比赛，A的胜率分别为，；B与C，D比赛，B的胜率分别为，；C与D比赛，C的胜率为.任意两局比赛之间均相互独立(1)在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；(2)记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望解(1)C进入第二轮的概率为P1，A与B比赛，A获胜，C与D比赛，C获胜，且A与C比赛，A获胜，其概率为P22，故在C进入第二轮的前提下，A最终获得冠军的概率P.(2)A参加比赛获胜的局数X的取
9、值有0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).X的分布列为 X0123PE(X)0123. 1n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算2求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果XB(n，p)，则用公式E(X)np，D(X)np(1p)求解，可大大减少计算量1.张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线(如图)，L1路线有A1，A2，A3
10、三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.(1)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由解(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则P(A)C3C2.所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为.(2)依题意，知X的可能取值为0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).随机变量X的分布列为 X012PE(X)012.(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，即YB，
11、所以E(Y)3.因为E(X)E(Y)，所以选择L2路线上班最好考向二超几何分布问题例2从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计(两眼视力不同，取较低者统计)，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在4.1,4.3)的概率为.(1)求a，b的值；(2)若高校A专业的报考资格为任何一眼裸眼视力不低于4.9，高校B专业的报考资格为任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在4.9,5.1)中有的学生裸眼视力不低于5.0.现用分层随机抽样的方法从4.9,5.1)和5.1,5.3)中抽取4名同学，4人中有资格(仅考虑视力)报考B专业的人数为随机变量，求的分布列解
12、(1)由频率分布直方图的性质，得解得b0.5，a1.(2)在4.9,5.1)中，共有15人，其中5人裸眼视力不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在5.1,5.3)中，共有5人，抽取1人，随机变量的可能取值为1,2,3,4，P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，的分布列如下： 1234P 超几何分布的特点(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数(2)超几何分布的特征是：考查对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型2.某外语学校的一个社团中有7名同
13、学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问求：(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的均值解(1)设事件A为选派的3人中恰有2人会法语，则P(A).(2)依题意知X的取值为0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，X的分布列为 X0123PE(X)0123.3某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495，(495,500，(510,515由此得到样本的频率分布直方图(如下图)(1)
14、根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列解(1)质量超过505克的产品的频率为50.0550.010.3，所以质量超过505克的产品数量为400.312(件)(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的可能取值为0,1,2，X服从超几何分布P(X0)，P(X1)，P(X2)，X的分布列为 X012PX的均值为解法一：E(X)012.解法二：E(X).(3)根据样本估计
15、总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的产品数量Y的可能取值为0,1,2，且YB，P(Yk)C2kk，所以P(Y0)C2，P(Y1)C，P(Y2)C2.Y的分布列为 Y012P考向三正态分布例3(1)设随机变量服从正态分布N(3,4)，若P(a2)，则a的值为()A5 B3 C D答案D解析因为服从正态分布N(3,4)，P(a2)，所以x2a3与xa2关于x3对称，所以3，即3a7，解得a.故选D.(2)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且XN(800,502)则一天中从甲地去乙地的旅客人数
16、不超过900的概率为()参考数据：若XN(，2)，有P(X)0.6827，P(2X2)0.9545，P(3X3)0.9973.A0.97725 B0.6827C0.9973 D0.9545答案A解析XN(800,502)，P(700X900)0.9545，P(X900)0.02275，P(X900)10.022750.97725.故选A.(3)(2021新高考八省联考)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果已知最后结果的误差nN，为使误差n在(0.5，0.5)内的概率不小于0.9545，至少要测量_次(若XN(，2)，则P(|X|)0.84135，当17.42.63
17、14.77时，满足题意，即合格标准的质量指标值约为14.77.由P(X12.14)P(X2)0.50.97725，可知每件产品的质量指标值不低于12.14的事件概率约为0.97725，记这1000件产品的质量指标值不低于12.14的件数为，则B(1000，p)，其中p0.97725，恰有k件产品的质量指标值不低于12.14的事件概率P(k)Cpk(1p)1000k，则1，解得k1001p978.22725，当0k978时，P(k1)P(k)，由此可知，在这1000件产品中，质量指标值不低于12.14的件数最有可能是978.答题启示本题考查正态分布、概率统计问题的综合，是在知识网络的交汇处命制的
18、一道较为新颖的试题正态分布与统计案例有些知识点是所谓的高考“冷点”，由于考生对这些“冷点”的内容重视不够，复习不全面，一旦这些“冷点”知识出了考题，虽然简单但也做错，甚至根本不会做，因而错误率相当高此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点对点训练(2021T8第二次联考)国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了生活垃圾分类制度实施方案，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社
19、区某天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾量超过28吨/天的确定为“超标”社区 垃圾量x/吨12.5，155)15.5，185)18.5，215)21.5，245)频数56912垃圾量x/吨24.5，275)27.5，305)30.5，335频数864(1)通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值(精确到0.1)；(2)若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N(，2)，其中近似为(1)中的样本平均值，2近似为样本方差s2，经计算得s5.2.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数；(3)通
20、过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望参考数据：P(X)0.6827；P(2X2)0.9545；P(3X3)0.9973.解(1)由频数分布表得22.7622.8，估计这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨(2)由(1)知22.8，s5.2，s5.2，P(X28)P(X)0.15865，3200.1586550.76851，估计这320个社区中“超标”社区的个数为51.(3)由频
21、数分布表知，8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，Y的所有可能取值为1,2,3,4，P(Y1)，P(Y2)，P(Y3)，P(Y4)，Y的分布列为 Y1234P数学期望E(Y)1234.一、单项选择题1已知B，并且23，则方差D()()A. B C D答案A解析由题意知，D()4，23，D()4D()4.故选A.2某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200 C300 D400答案B解析将“没有发芽的种子数”记为，则1,2,3，1000，由题意可知B(1000,0.1
22、)，所以E()10000.1100，又因为X2，所以E(X)2E()200.故选B.3已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(24)0.6827，则P(4)()A0.15875 B0.15865C0.15855 D0.15845答案B解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x3对称，P(4)0.50.68270.15865.故选B.4将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，则n的最小值为()A4 B5 C6 D7答案A解析P1n，解得n4.故选A.5设随机变量XB(2，p)，YB(4，p)，若P(X1)，则P(Y2)的值为()A. B C D答案B解析P(X1
23、)P(X1)P(X2)Cp(1p)Cp2，解得p或p(舍去)故P(Y2)1P(Y0)P(Y1)1C4C3.故选B.6一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是()A. B C D答案A解析由题意得，P(X0)，P(X1)，P(X2).E(X)012.故选A.7若XB，则使P(Xk)最大的k的值是()A2 B3C2或3 D4答案B解析P(Xk)Ck6kC6，又，当kP(Xk)，当k时，P(Xk1)P(Xk)，当k3时，P(Xk)取得最大值故选B.8某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选
24、择题四个选项有且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，选择题的得分为Y分，则D(Y)D(X)的值为()A. B C D答案A解析设A学生答对题的个数为m，则得分X5m(分)，mB，D(m)12，所以D(X)25.同理，设B学生答对题的个数为n，可知nB，D(n)12，所以D(Y)25，所以D(Y)D(X).故选A.二、多项选择题9(2021邯郸市邯山区期中)某校每学期进行一次体能测试，随机抽查了其中一次的成绩进行分析，已知N(100,100)
25、，则下列说法正确的是()参考数据：若随机变量N(，2)，则P()0.6827，P(22)0.9545，P(33)0.9973.A本次成绩的标准差为100B若及格线为90分，则本次成绩及格的概率不足80%C若及格线为90分，则本次成绩不及格的概率超过15%D若优秀线为120分，则本次成绩优秀的概率超过2%答案CD解析因为N(100,100)，所以平均数100，方差2100，标准差为10，故A错误；及格的概率为10.84135，则不及格的概率为0.15865，故B错误，C正确；优秀的概率为0.02275，故D正确故选CD.10(2021唐山三模)下列说法正确的是()A某投掷类游戏闯关规则是游戏者最
26、多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为B从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为C已知随机变量X的分布列为P(Xi)(i1,2,3)，则P(X2)D若随机变量N(2，2)，且31，则P(2)0.5，E()6答案AC解析对于A,5次都没投中的概率为5，所以游戏者闯关成功的概率为1，故A正确；对于B，从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生分为：1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种情况，共有CCCCCCC1155种情况，而CC1820，所以其中至少有一名女生的概率
27、为，故B错误；对于C，由P(Xi)(i1,2,3)，则a1，解得a，所以P(X2)，故C正确；对于D，由随机变量N(2，2)，则P(2)0.5，E()2，所以E()E(31)3E()17，故D错误故选AC.11(2021福清龙西中学期中)为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则下列说法正确的是()A该产
28、品能销售的概率为B若表示一箱产品中可以销售的件数，则BC若表示一箱产品中可以销售的件数，则P(X40)P(3)DP(X80)答案ABD解析该产品能销售的概率为，故A正确；由A可得每件产品能销售的概率为，一箱中有4件产品，因为表示一箱产品中可以销售的件数，所以B，故B正确；由题意，得X4080(4)120320，当X40时，3，所以P(X40)P(3)C3，故C错误；由题意，得X80，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售，所以P(X80)C22，故D正确故选ABD.12某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数Aa1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k2,3
29、,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记Xa2a3a4a5，则当程序运行一次时()AX服从二项分布BP(X1)CX的均值E(X)DX的方差D(X)答案ABC解析由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0,1，且每个数位上的数字在填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：后4个数出现0，X0，记其概率为P(X0)4；后4个数只出现1个1，X1，记其概率为P(X1)C3；后4个数出现2个1，X2，记其概率为P(X2)C22，后4个数出现3个1，X3，记其概率为P(X3)C3；后4个数都出现1，X4，记其概率为P(X4)4，故XB，故A正确，B正确；XB，E(X)4，故C正确；X
30、B，X的方差D(X)4，故D错误故选ABC.三、填空题13已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球设为取出的4个球中红球的个数，则P(2)_.答案解析的可能取值为0,1,2,3，所以P(2).14某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为X，则随机变量X的方差D(X)_.答案47.5解析由题意可知，XB(1000,0.95)，D(X)10000.95(10.95)47.5.15拥有“千古第一才女”之称的宋代女词人李清照发明了
31、古代非常流行的游戏“打马”，在她的打马赋中写道“实博弈之上流，乃闺房之雅戏”“打马”游戏用每轮抛掷三枚完全相同的骰子决定“马”的行走规则，每一个抛掷结果都有对应走法的名称，如结果由两个2点和一个3点组成，叫做“夹七”，结果由两个2点和一个4点组成，叫做“夹八”则在某一轮中，能够抛出“夹七”或“夹八”走法的概率是_.答案解析记在某一轮中，抛出“夹七”的走法为事件A，抛出“夹八”的走法为事件B，则事件A与事件B是互斥事件故P(AB)P(A)P(B)C2C2.16为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52)已知成绩在117.5分以上(
32、含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为_；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有_人(若XN(，2)，则P(X)0.6827，P(2X2)0.9545)答案0.1586511解析由已知可得，P(10017.5X10017.5)P(82.5X135)0.02275.又P(X82.5)P(X117.5)0.15865，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是0.0227511.四、解答题17(2021广州模拟)某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在B区投篮，在A区每
33、投进一球得2分，投不进球得0分；在B区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和，且各次投篮的结果互不影响(1)若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在A区投篮的球数最多是多少？(2)若甲在A区投3个球且在B区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率解(1)甲在A区进球的概率为，投进一球得2分，则在A区投一次得分的期望为20，同理，在B区投一次得分的期望为30.设在A区投x次，在B区投5x次，则总的期望值x(5x)7，解得x3，则甲选择在A区投篮的球数最多是3.(2)由题可得甲在A区投3个球，得分可能是0,2,4,6，在
34、B区投2个球，得分可能是0,3,6，则甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的情况有：A区2分B区0分，概率为C22，A区4分B区0分，概率为C22，A区4分B区3分，概率为C2C，A区6分B区0分，概率为32，A区6分B区3分，概率为3C，则甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为.18PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物根据现行国家标准GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在3575微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标从某自然保护区2021年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽
35、取10天的数据作为样本，监测值的频数分布如下表所示： PM2.5日均值(微克/立方米)25，35)35，45)45，55)55，65)65，75)75，85频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列解(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A).(2)由条件知，服从超几何分布，其中N10，M3，n3，且随机变量的可能取值为0,1,2,3.P(k)(k0,1,2,3)P(0)，
36、P(1)，P(2)，P(3).故的分布列为 0123P19为了监测垃圾处理过程中对环境造成的影响，某大型垃圾处理厂为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年工厂的环境监测费用预算定为80万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染处理系统设每个时间段(以1小时为计量单位)被每套系统监测出排放超标的概率均为p(0p1)，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立(1)当p时，求某个时间段需要
37、检查污染处理系统的概率；(2)若每套环境监测系统运行成本为20元/小时(不启动则不产生运行费用)，除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要6万元现以此方案实施，问该工厂的环境监测费用是否会超出预算(全年按9000小时计算)？并说明理由解(1)设某个时间段在需要开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的事件为A，P(A)Cp2(1p)Cp3C2C3.设某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的事件为B，P(B)Cp(1p)21(1p)2C3，某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为.(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，则X的可能取值为60,10
38、0.P(X100)Cp(1p)2，P(X60)1Cp(1p)2，E(X)601Cp(1p)2100Cp(1p)260120p(1p)2，令g(p)p(1p)2，p(0,1)，则g(p)(1p)22p(1p)(3p1)(p1)，当p时，g(p)0，g(p)在上单调递增，当p时，g(p)0，g(p)在上单调递减，g(p)的最大值为g，实施此方案，最高费用为6900010476(万元)，7680，故不会超出预算20(2021辽宁考前模拟)中国制造2025提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列
39、；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强国前列质检部门对设计出口的甲、乙两种“无人机”分别随机抽取100架检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值；记甲、乙两种“无人机”100架样本的质量指标的方差分别为s，s，试比较s，s的大小(只需给出答案)；(2)若质检部门规定质量指标高于20的无人机为优质产品，根据上面抽取的200架无人机的质量指标及小概率值0.05的独立性检验，能否推断甲、乙两种“无人机”的优质率有差异；质量无人机合计甲乙优质产品不是优质产品合计10010
40、0200附：2(nabcd) 0.0500.0100.001x3.8416.63510.828(3)由频率分布直方图可以认为，乙种“无人机”的质量指标值Z服从正态分布N(，2)其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s，设X表示从乙种无人机中随机抽取10架，其质量指标值位于(11.6,35.4)的架数，求X的数学期望注：同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s211.9；若ZN(，2)，则P(Z)0.6827，P(2Z2)0.9545.解(1)a0.010，且ss.(2)甲种无人机中优质率为0.250.10.350.7，所以甲种无人机中优质产品有70架，不是优质产品的有30架；乙种无人机中优质
41、率为0.30.20.10.6，所以乙种无人机中优质产品有60架，不是优质产品的有40架列联表如下：质量无人机合计甲乙优质产品7060130不是优质产品304070合计100100200零假设为H0：甲、乙两种“无人机”的优质率没有差异22.203.841x0.05，故依据小概率值0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为甲、乙两种“无人机”的优质率没有差异(3)计算得50.15150.25250.3350.2450.123.5，由题意，知ZN(23.5,142.75)，从而P(11.6Z35.4)0.6827，故从乙种“无人机”中随机抽取1架，其质量指标值位于(11.6,35.4)的概率是0.6827，根据题意得XB(10,0.6827)，所以E(X)100.68276.827.