1、甘肃省会宁县第二中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）第I卷（选择题)一、单选题1. 已知复数,则复数在复平面内对应的点在（ ）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】对应的点为，在第一象限.2. 有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录像机，我就一定能把它打开看，我把它打开了所以它是我的录像机请问这一推理错在（ ）A. 大前提B. 小前提C. 结论D. 以上都不是【答案】A【解析】试题分析：根据演绎推理的模式知：大前提“是我的录像机，我就一定能把它打开”错误.故选A.考点：演绎推理.3. 用数学归纳法证明等式（nN*）的过程中，第二
2、步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由数学归纳法知第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到考点：推理与证明4. 已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直线经过，两点，可以写出直线的方程，根据导数的几何意义进行求解.【详解】解：直线经过，两点，.直线与曲线切于点，可得曲线在处的导数为：，所以.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.5. 将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的
3、放球方法有（ ）A. 16种B. 12种C. 9种D. 6种【答案】B【解析】分析：分六种情况讨论，求解每一种类型放球方法数，然后利用分类计数加法原理求解即可.详解：由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；因此，不同的放球方法有12种，故选B.点睛：本题主要考查
4、分类计数加法原理的应用，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.6. 若展开式中常数项为60.则常数a的值为（ ）A. 4B. 2C. 8D. 6【答案】A【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到，解得答案.【详解】展开式的通项为：.取得到常数项为，解得.故选：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7. 袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件，“摸得的两球同色”为事件，则（ ）A
5、. B. C. D. 【答案】C【解析】= ,选C.8. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由，故选D.9. 电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（ ）A. 40B. 36C. 32D. 20【答案】A【解析】【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中6个空位符合条件，将3人插入6个空位中，注意甲必须在三人中间，然后再排乙，丙，最后用分步计数原理求解.【详解】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有种坐法，又甲坐在中间，所以
6、乙、丙有种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有种.故选：A.【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，还考查了分析问题的能力，属于中档题.10. 函数的图象大致为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项【详解】因为定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，图象关于轴对称，故CD错误；当时，故B错误.故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案11. 把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆
7、放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（ ）A. 2680种B. 4320种C. 4920种D. 5140种【答案】B【解析】试题分析：个点可组成的三角形有，三盆兰花不能放在一条直线上，可放入三角形三个角上，有中放法，再放盆不同的玫瑰花，没有限制，放在剩余个位置，有种放法，不同的摆放方法为种故选B.考点：排列、组合及简单计数原理.【方法点睛】本题考查了有限制的排列组合问题，做题时要认真分析，力争做到“不重不漏”，难度中档.因为三盆兰花不能放在一条直线，所以可先放在一个三角形的三个角上，分析图中个点可组成多少个三角形，个点中任选
8、个，再去掉共线的即可，然后，任取一个三角形，放三盆兰花，剩下的位置放盆不同的玫瑰花即可12. 已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由题意用表示两点坐标，再由两点间距离得到，令，用导数的方法求出函数的最小值即可得出结果.【详解】因为函数 的图像与直线分别交于两点，所以，其中，且，所以，令，则，令得：；所以易得：时，；时，；即函数在上单调递减，在上单调递增，因此，即的最小值为.故答案为：B.【点睛】本题主要考查导数的应用，先构造出函数，根据导数的方法研究函数的最值即可，属于常考题型.第II卷（非选择题)二、填空题13. 设某项
9、试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量描述一次试验的成功次数，则_.【答案】【解析】【分析】根据成功率为失败率的倍构造方程可求出成功率，则为失败率.【详解】设成功率为，则失败率为，解得： 本题正确选项：【点睛】本题考查两点分布的概率求解问题，属于基础题.14. 设x6a0a1(1x)a2(1x)2a6(1x)6，则a1a2a6_.【答案】-1【解析】令，即，得，令，即，得，则.15. 四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是_.【答案】12600【解析】问题等价于编号为的10个小球
10、排列，其中号，号，号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是.16. 将正整数有规律地排列如下：则在此表中第行第列出现的数字是_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的求和求解前行的数字个数,再分析第行第列出现的数字即可.【详解】依题意可知第行有个数字,前行的数字个数为个,可得前行共个,即第行最后一个数为,第行第列出现的数字是,故答案为：.【点睛】本题主要考查了等差数列运用,属于中档题.三、解答题17. 已知a，b，c是不全相等的实数，求证：.【答案】证明见解析.【解析】分析】由基本不等式即可证明.【详解】，即，当且仅当等号成立，a，b，c是不全相等的实数，.【点睛】本题考
11、查基本不等式证明不等式，属于基础题.18. 甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，0.75.（1）求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；（2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率.【答案】（1）0.38；（2）0.6864.【解析】【分析】(1)分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件，则为相互独立事件，E表示事
12、件“恰有一人通过笔试”；E分解为3个互斥事件：，这三个互斥事件内部也是相互独立事件，从而进行计算；(2)一名学生被该高校预录取指笔试和面试均合格，这两次考试过程相互独立，分别计算出三名学生各自被录取的概率，首先求出三人均未被录取的概率，然后由对立事件的概率性质即可得解.【详解】（1）分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件，则为相互独立事件，E表示事件“恰有一人通过笔试”，则即恰有一人通过笔试的概率是0.38.（2）分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事件A，B，C，则.事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”，则表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，于是.即经过
13、两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率是0.6864.【点睛】利用互斥事件、对立事件的概率公式求概率，属于中档题.19. 已知函数在处取到极值.（1）求实数的值，并求出函数的单调区间；（2）求函数在上的最大值与最小值及相应的的值.【答案】（1），函数在单调递减，在和上单调递增（2），此时；，此时【解析】【分析】（1）先求导，再根据导数和函数的极值的关系即可求出，（2）根据导数和函数的最值得关系即可求出【详解】解：（1）由条件得，又在处取到极值，故，解得.此时由，解得或，由，解得，因此，函数在单调递减，在和上单调递增.（2）由（1）可知函数在单调递增，在单调递减，在单调递增.故，此时；此时.
14、【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，最值问题，考查转化思想，属于中档题20. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7:10之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7:10之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7:10之前到校的天数比乙同学在7:10之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率.【答案】（1）分布列见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）先根据已知条件分析出服从二项分布，再利用二项分布概率计算公式求出相应概率，即可求出其分布列与数学期望；（
15、2）先分析出乙同学之前到校的天数也服从二项分布，再根据互斥事件与相互独立事件的概率计算公式求概率即可.【详解】（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天之前到校的概率为，所以，从而，所以，随机变量的分布列为：P012345X所以；（2）设乙同学上学期间的五天中之前到校的天数为，则，且事件，由题意知，事件之间互斥，且与相互独立，由（1）可得.【点睛】该题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.21. 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进目前，国家教育主管部门正在研制的新时代全面加强
16、和改进学校体育美育工作意见，以及将出台的加强劳动教育指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求为激发学生加强体育活动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.（1）求的值；（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）先根据题意确定第二局比赛结束时比赛停止对应胜负情况，再根据概率列方程解得结果，（2）先确定随机变量取法，再分别求对
17、应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式得期望.【详解】解：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束所以有解得或（舍）（2）依题意知，依题意知，的所有可能值为2，4，6，8 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有， 所以随机变量的分布列为：2468则【点睛】本题考查随机变量的分布列和数学期望，考查基本分析求解能力，属中档题.22. 已知函数 .（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：；（）判断曲线是否位于轴下方，并说明理由. 【答案】（）；（）见解析；（
18、）见解析.【解析】试题分析：（1）求导，得到切线斜率，利用点斜式得到直线的方程；（2）“要证明”等价于“”，构造新函数确定函数的最小值大于等于；（3）曲线是位于轴下方即证明)，利用（）可知，转证即可.试题解析：函数的定义域为，.（），又，曲线在处的切线方程为， 即. （）“要证明”等价于“”设函数.令，解得.因此，函数的最小值为.故.即.（）曲线位于轴下方. 理由如下：由（）可知，所以.设，则.令得；令得.所以在上为增函数，上为减函数.所以当时，恒成立,当且仅当时，.又因为， 所以恒成立. 故曲线位于轴下方.点睛：在导函数中证明不等式方法：(1)直接构造新函数，转为新函数的最值问题；(2)构造两个函数，转化为两个函数的最值比较，即最小值大于最大值；（3）利用上一问进行合理的放缩，简化后再进行证明
