1、三峡名校联盟2022年春季联考2023届数学试题参考答案与评分标准一、单选题1-5 BAADB 6-8 DCC二、多选题9、ABC 10、AD 11、BD 12、AB三、填空题13、9 14、35 15、(n1)(n2)2（Cn12也可）16、1+2e33,1+e22)(3e212,4e31317.解：（1）因为是五位偶数所以末尾只能是2或者4从而一共有C21A44=48个五位偶数.5分（2）比32145大的五位数分为以下几类：首位是3：C21A33+C21A22+1=17;首位是4或者5：C21A44=48.所以一共有48+17=65个这样的五位数.10分18.解：（1）由x=2时函数fx有
2、极值163可得f2=163f2=0.又因为fx=3ax2+b故f2=8a2b=163f2=12a+b=0，2分可得a=13b=4所以fx=13x34x4分（2）设曲线y=fx=13x34x与过点P（3,3）的切线相切于点A(x0,13x034x0)，则切线斜率k=fx0=x024所以切线方程为 y=x024xx0+13x034x06分又由于点P（3,3）在切线上，代入化简可得2x039x02+27=08分2x036x023x0227=02x02x033x03x0+3=0即x0322x03=0 解得x0=3或x0=3210分故所求切线方程为5xy18=0或4y+7x9=0.12分19解：（1）由
3、题意可知：只有第7项的二项式系数最大即Cn6最大，故由二项式系数的性质可知n=122分因此(3x1)12的展开式通项是Tk+1=C12k3x12k(1)k=C12k312k(1)kx12k根据题意，得 12k=2 k=104分因此x2的系数是C121032(1)10=5946分（2）n=2023，由题意不难得fx展开式中的奇数项系数为负即a0,a2a2022为负8分所以a0+a1+a2023=a0+a1a2+a2023 =f110分 =42023=4202312分20.解：（1）由题意可得f10=1004+352+aln10+b=16.5f30=904+2104+aln30+b=372分解得a
4、=5b=10，5分所以fx=x240+74x+5lnx10,(5x40)6分（2）结合（1）的结论可得x=fxx=x240+34x+5lnx10,(5x40)7分从而x=x20+34+5x=x215x+10020x所以=(x+5)(x20)20x(5x40)8分列表得x，x ，x的变化情况：x（5,20）20（20,40）x+0x单调递增极大值单调递减由上表可知x=20是函数x在5,40内的极大值点，也是最大值点.10分此时最大值为20=10+15+5ln2010 =5ln205 =52ln2+ln51 =10（万元）所以当投入资金为20万元时，旅游利润最大，最大值为10万元.12分21.解：
5、（1）设两个箱子的蓝球数量为x个则由题意可知本题为古典概型那么样本空间“任取两个小球”所包含的样本点数量为Cx+32，“两个小球均是蓝球”所包含的样本点数量为Cx2 1分所以由古典概型的概率计算公式可得Cx2Cx+32=0.1解得x=2或者x=13（舍）从而可知两个箱子中均装有蓝球2个。3分记事件A为“取到的两个球都是蓝球”，事件B为“取到的两球中至少一球为蓝球”4分则由题意可知所求概率为PABPAB=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=C22C31C21+C22故PAB=17所以在已知一个小球是黄球的条件下，另一个小球也是黄球的概率为17.6分（2）由题意可得X的可能取值为0,1,2,3
6、,4.7分PX=0=1155=125,PX=1=C21C2155=425,PX=2=C21C21+C21C2155=825,PX=3=C21C21C2155=825,PX=4=C21C2155=425.10分故X的分布列为X01234P12542582582542512分22.解：（1）证明：设函数gx=sinx+tanx2x，x(0,2)则gx=cosx+1cos2x2由x(0,2)，可得cosx(0,1)故gx=cosx+1cos2x221cosx202分从而g(x)在(0,2)上单调递增所以gxg0=0即 sinx+tanx2x02xsinx+tanx，证毕4分（2）证明：根据题意：不妨
7、设0x1x22.由fx1=f(x2)可得 x1sinx1tanx1+alnx1+b=x2sinx2tanx2+alnx2+b所以 alnx1lnx2=sinx1+tanx1x1(sinx2+tanx2x2) alnx1lnx2=sinx1+tanx12x1sinx2+tanx22x2+x1x26分由（1）可知gx=sinx+tanx2x在(0,2)上单调递增所以gx1g(x2)即sinx1+tanx12x1sinx2+tanx22x20所以sinx1+tanx12x1sinx2+tanx22x2+x1x2x1x2从而alnx1lnx2x1x2lnx1lnx208分下证: x1x2lnx1lnx2x1x2 令x2x1=t(t1)即证 1tlntt 只要证 lntt1t1)则t=1ttt12tt =(t1)22tt0所以t在(1,+)上单调递减从而t1=0即lntt1tx1x210分所以 ax1x2lnx1lnx2x1x2即 a2x1x2所以 x1x2a21. 证毕12分
