1、甘肃省会宁县第一中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理一、单选题(每小题5分,共60分)1已知集合,集合,则( )ABCD2已知复数满足(为虚数单位),则的虚部为( )ABCD3在点处的切线与该曲线及轴围成的封闭图形的面积为( )ABCD4已知随机变量服从正态分布,且,则( )A0.5B0.3C0.4D0.25函数在上的最小值为( )AB-1C0D6已知在上是可导函数,的图象如图所示,则不等式解集为( )A BC D7为了实施“科技下乡,精准脱贫”战略,某县科技特派员带着,三个农业扶贫项目进驻某村,对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶,若每个贫困户只能选择一个扶贫项目
2、,每个项目至少有一户选择,则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为( )ABCD8等差数列前项和分别为与,且,则( )ABC1D9设,随机变量X的分布列是( )a则方差( )A既与有关,也与有关B与有关,但与无关C与有关,但与无关D既与无关,也与无关10学校从高一高二高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会,其中三个年级参会同学中女生人数分别为567,学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得,结果选出一名女同学,则该名女同学来自高三年级的概率为( )ABCD11如果,那么当X,Y变化时,使P(X=xk)=P(Y=yk)成立的(xk,yk)的个数为( )A10B20C21D012
3、已知函数,若存在,使,则的取值范围是( )ABCD二、填空题(每小题5分,共20分)13在的二项展开式中,的系数是_14已知二次函数的图像经过点,且函数是偶函数,则函数的解析式为_.15为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神,2020年中办、国办联合印发了关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见,为落实该文件精神,某中学对女生立定跳远项目的考核要求为:1.33米得5分,每增加0.03米,分值增加5分,直到1.84米得90分后每增加0.1米,分值增加5分,满分为120分,若某女生训练前的成绩为70分,经过一段时间的训练后,成绩为105分则该女生经过训练后跳远增加了_米.16函数在上
4、的最大值是_.三、解答题(共70分)17(本题10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程与曲线的的直角坐标方程;(2)若与交于两点,点的极坐标为,求的值.18(本题12分)已知的面积是,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.(1)求A;(2)若,求的周长.19(本题12分)2019年11月26日,联合国教科文组织宣布3月14日为国际数学日,以“庆祝数学在生活中的美丽和重要性”.为庆祝该节日,某中学举办了数学嘉年华活动,其中一项活动是“数学知识竞答”闯关赛,规定:每位参赛者闯关,需回答三个问题,
5、至少两个正确则闯关成功.若小明回答第一,第二,第三个问题正确的概率分别为,各题回答正确与否相互独立.(1)求小明回答第一,第二个问题,至少一个正确的概率;(2)记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为,求的分布列及小明闯关成功的概率.20(本题12分)已知函数,且和是的两根.(1),的值;(2)的单调区间.21(本题12分)某初中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关,现对40名七年级学生进行了问卷调查,得到数据如表所示(平均每天喝以上为常喝,体重超过为肥胖.单位:人)经常饮用不经常饮用合计肥胖818不肥胖15合计40(1)将列联表补充完整,并回答能否有的把握认为学生是否肥胖和经常饮用碳酸饮料
6、有关?(2)已知经常饮用碳酸饮料且肥胖的8名同学中,有5名男同学,3名女同学.现从这5名男同学和3名女同学中选5人进行家访,求被选中的男生人数的分布列和期望.参考公式及数据:,.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822(本题12分)已知函数(1)若对任意恒成立,求的最大值;(2)若,求在上的极值点的个数.参考答案1【答案】B【分析】根据交集的概念和运算直接求解出的结果.【详解】解:,故选:B2.【答案】B【详解】,所以的虚部为.故选B.3A【分析】先根据导数的几何意义求出曲线在处的切线方程,再求出积分的上下限,然后利用定积分表示出图形面积,最后利用
7、定积分进行求解即可【详解】解:的导数为,可得在点处的切线的斜率为,切线的方程为,即,可得切线与该曲线及轴围成的封闭图形的面积为 故选:A4B【分析】利用正态分布密度函数的对称性将求 转化为,进而可得结果.【详解】如图,正态分布的密度函数示意图所示,函数图象关于直线对称,所以,则.故选:B.【点睛】关键点点睛:应用正态分布密度函数图象的对称性是解决本题的关键.5B【分析】求导后求得函数的单调性,利用单调性求得函数的最小值.【详解】因为,所以在上单调递减,在上单调递增,所以.故答案为:B.6D【分析】根据符号法则将不等式转化为两个不等式组,结合图象即可解出【详解】原不等式等价于或,结合的图象可得,
8、或,解得或或故选:D7D【分析】由题意分析:每个贫困户只能选择一个扶贫项目,每个项目至少有一户选择,基本事件总数,而甲乙两户选择同一个扶贫项目包含的基本事件个数,利用古典概型的概率公式求概率即可.【详解】由题意分析:若每个贫困户只能选择一个扶贫项目,每个项目至少有一户选择,基本事件总数,甲乙两户选择同一个扶贫项目包含的基本事件个数,则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率故选:D8【答案】A【分析】由已知结合等差数列和的性质即可求解【详解】因数列都为等差数列,且,故设,因此,由等差中项得,.故选:A.9B【分析】根据方差公式求出方差,再判断即可.【详解】由分布列可得,故.故选:B【点睛】关键点点睛:
9、解决本题的关键是熟练掌握期望和方差的公式.10A【分析】设事件A为“30人中抽出一名女同学”,事件为“30人中抽出一名高三同学”,分别求得,代入条件概率公式,即可得答案.【详解】设事件A为“30人中抽出一名女同学”,事件为“30人中抽出一名高三同学”,则,所以,故选:A.11C【分析】根据二项分布的特点,列举出(xk,yk)的所有情况,可得答案【详解】根据二项分布的特点,知(xk,yk)分别为(0,20),(1,19),(2,18),(20,0),共21个,故选:C.12D【分析】作出函数的图象,根据对称性可以知道,结合图象可得到,进而得到,由对数函数的性质进一步判定,从而根据在时,根据其单调
10、性和已经得到的的范围得到结论.【详解】作出的大致图象如下:由图可知,令,得,所以,则因为,所以,又当时,单调递减,所以,故选:D【点睛】本题考查利用函数的图象和性质求范围问题,涉及分段函数的图象,指数型函数图象和性质,对数函数的性质,属综合题,关键是数形结合思想的应用,函数的图象的对称性和单调性的应用.13【分析】求出展开式的通项,然后令的指数为2,求出的值,在代入通项中进行化简,即可求得结果.【详解】的展开式的通项公式为:,令,解得,所以的系数是.故答案为:.14【分析】由偶函数易得关于对称求参数b,根据图象过点求参数c,写出解析式即可.【详解】是偶函数,有,关于对称,即,故,又图像经过点,
11、可得.故.故答案为:150.42【分析】根据所给得分规则求出70分时立定跳远距离,再求出105分时的立定跳远距离,即可求解.【详解】该生成绩为70分时,其立定跳远距离为米,该生成绩为105分时,其立定跳远距离为米,所以增加了米,故答案为:0.4216【分析】利用导函数可知在上,有单调递减,即可求区间内最小值.【详解】在上,有,知:在上单调递减,在和上单调递增,故最大值在极大值点或端点值处取得,极大值为,最大的端点值为,明显地,所以,在上的最大值是故答案为:17.【答案】(1)曲线普通方程为曲线的直角坐标方程为(2)【分析】(1)将曲线的参数方程中的t消掉得到曲线的普通方程,利用cosx,sin
12、y,能求出C2的直角坐标方程(2)将代入,得,利用直线参数的几何意义结合韦达定理,能求出【详解】(1)曲线的参数方程为(为参数),两式相加消去t可得普通方程为;又由cosx,siny,曲线的极坐标方程为转化为直角坐标方程为(2)把曲线的参数方程为(为参数),代入得,设,是对应的参数,则,所以 18.【答案】(1);(2)【分析】(1)利用正弦定理将边化角,再根据两角和的正弦公式、诱导公式计算可得;(2)由,得,再利用余弦定理求出,即可求出的周长【详解】解:(1)因为,所以,所以,即,因为,所以,所以,所以(2),的周长为:19(1);(2)分布列见解析,.【分析】(1)利用至少有一个正确的概率
13、为直接计算即可;(2)先根据题意判断的取值,并计算各取值对应的概率,即得到分布列,再计算即得小明闯关成功的概率.【详解】解:(1)设事件为小明回答正确第一个问题,事件为小明回答正确第二个问题,则为小明回答错误第一个问题,为小明回答错误第二个问题,.所以小明回答第一,第二个问题,至少有一个正确的概率为:;(2)设事件为小明回答正确第三个问题,由题知,小明在闯关赛中,回答题目正确的个数的取值为0,1,2,3,所以,.故的分布列为:0123所以小明闯关成功的概率为.【点睛】思路点睛:求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤:(1)根据题中条件确定随机变量的可能取值;(2)求出随机变量所有可能取值对应
14、的概率,即可得出分布列.20(1),;(2)单调递增区间为和,单调递减区间为和.【分析】(1)求出,然后利用求解即可;(2),然后求解即可.【详解】(1),又和为的两根,故有,解方程组得,.(2),令得,当时,;当时,的单调递增区间为和,单调递减区间为和.21(1)列联表答案见解析,没有的把握认为学生是否肥胖和经常饮用碳酸饮料有关;(2)分布列答案见解析,数学期望:.【详解】(1)经常饮用不经常饮用合计肥胖81018不肥胖71522合计152540由调查数据可知,的观测值没有的把握认为学生是否肥胖和经常饮用碳酸饮料有关.(2)被选中的男生人数的取值为2,3,4,5则,分布列为2345期望.22(1);(2)在上的极值点的个数为1.【分析】(1)等价于对任意恒成立,设,求出即得解;(2)设,求出函数在上的极值点的个数即得解.【详解】(1)所以,设,所以,因为,所以,所以,所以函数在单调递减,所以,所以.(2)若, ,设,所以,所以在上单调递增,在单调递减,设,对称轴为,时,所以当时,当时,所以在,函数没有零点,使得,即,使得,且是唯一的,所以在上的极值点的个数为1.【点睛】关键点睛:解答本题的关键有二,其一,是二次求导,得到在上单调递增,在单调递减,其二,是分析得到函数在上的极值点的个数.