1、第2课时 函数奇偶性的应用 核心互动探究探究点一 利用奇偶性求参数 【典例1】已知函数f(x)ax3bx1，若f(m)8，则f(m)_【思维导引】本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式f(x)与f(x)的关系，从而通过f(m)的值求出f(m)的值【解析】令F(x)f(x)1ax3bx，易知F(x)是奇函数，F(x)F(x)，即f(x)1f(x)11f(x)，故f(m)11f(m)，而f(m)8，所以f(m)6.答案：6【类题通法】利用奇偶性求参数的两种类型及解法(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数(2)解析式中含参数：根据f(x)f(x
2、)或f(x)f(x)列式，利用待定系数法求解【定向训练】1已知函数f(x)ax2(b3)x3，xa22，a是偶函数，则a_，b_【解析】由题意得出a22a0，a220时，f(x)x1，求f(x)的解析式(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)1x1，求函数f(x)，g(x)的解析式.【思维导引】【解析】(1)设x0，所以f(x)(x)1x1，又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(x)f(x)x1，所以当x0时，f(x)x1.又x0时，f(0)0，所以f(x)x1，x0.(2)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x).由f(x
3、)g(x)1x1，用x代替x得f(x)g(x)1x1，所以f(x)g(x)1x1，()2，得f(x)1x21；()2，得g(x)xx21.【类题通法】利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设(2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x).提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0，但若为偶函数，未必有f(0)0.【定向训练】1已知函数g(x)是奇函数，函数f(x)g(x)1，若f(1)2，则f(1)()A2 B1 C0 D1【解析】选C.因为函数f(x)g(x)1，f
4、(1)2，所以g(1)12，所以g(1)1，因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，所以g(1)g(1)1，所以f(1)g(1)1110.2已知f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，求f(x)的解析式【解析】当x0时，f(0)0.当x0，则f(x)x(1x).又f(x)是R上的奇函数，所以当x0，0，x0 x（1x），x0.探究点三 函数奇偶性的应用 【典例3】(1)函数yf(x)在0，2上单调递增，且函数f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是()Af(1)f52f72 Bf72f(1)f52Cf72f52f(1)Df52f(1)0，则x的取值范围是_【思维导引】(1)
5、先转化为同一单调区间，再利用单调性进行判断【解析】(1)选B.因为函数f(x2)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x2对称，所以f52f32，f72f12，又f(x)在0，2上单调递增，所以f12f(1)f32，即f72f(1)0，所以f(x1)f(2)，又因为f(x)是偶函数，且在0，)上单调递减，所以f(|x1|)f(2)，所以|x1|2，所以2x12，所以1xf(x2)或f(x1)f(2)转化得f(|x1|)f(2)，再由f(x)在0，)上单调递减即可脱去“f”，得到|x1|2.其优点在于避免讨论【定向训练】1设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)
6、，f()，f(3)的大小关系是()Af()f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)f(3)【解析】选A.由偶函数与单调性的关系知，若x0，)时，f(x)是增函数，则x(，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，其函数值越小，因为|2|3|，所以f()f(3)f(2).2若f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(2)从小到大的排列是_【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)恒成立，即(m1)x26mx2(m1)x26mx2恒成立，所以m0，即f(x)x22.因为f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴
7、，在0，)上单调递减，所以f(2)f(1)f(0)，又因为f(x)x22为偶函数，所以f(2)f(2).即f(2)f(1)f(0).答案：f(2)f(1)0 时，f(x)4，求 x 的取值范围【解析】(1)由于函数f(x)对任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)，令xy0，可得f(0)0.再令yx，可得f(xx)f(x)f(x)，即0f(x)f(x)，化简可得f(x)f(x)，故函数f(x)为奇函数(2)设x10，因为f(xy)f(x)f(y)，所以f(x2x1)f(x2)f(x1).再由当x0时，f(x)0，可得f(x2x1)0，即f(x1)f(x2)f(x2)，故f(x)在R上是减函数
8、(3)若f(2x5)f(67x)4，则f(2x567x)f(115x)4.再由f(1)2，可得f(115x)f(2)，结合f(x)在R上是减函数可得115x135，故x的取值范围为135，.课堂素养达标1函数f(x)1x x的图象()A关于y轴对称B关于直线yx对称C关于坐标原点对称D关于直线yx对称【解析】选C.因为f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，且f(x)1x(x)x1x f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称2已知偶函数在(，0)上单调递增，则()Af(1)f(2)Bf(1)f(2).3定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，若f(a)f(b)，则一定可
9、得()AabC|a|b|D0ab0【解析】选C.因为f(x)是R上的偶函数，且在0，)上单调递增，所以由f(a)f(b)可得|a|b|.4已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x4)f(x)，又f(1)4，那么f(f(7)_【解析】因为f(7)f(34)f(3)f(14)f(1)f(1)4，所以f(f(7)f(4)f(44)f(0)0.答案：05已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x2x2，求f(x)，g(x)的表达式【解析】f(x)g(x)x2x2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)g(x)x2x2，又f(x)g(x)x2x2，两式联立得f(x)x22，g(x)x.