1、第2课时 分段函数与映射内 容 标 准学 科 素 养1.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用2了解映射的概念.应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点一 分段函数预习教材P2122，思考并完成以下问题某市空调公共汽车的票价按下列规则判定：5 千米以内，票价 2 元；5 千米以上，每增加 5 千米，票价增加 1 元(不足 5 千米的按 5 千米计算)已知两个相邻的公共汽车站间相距 1 千米，沿途(包括起点站和终点站)有 11 个汽车站(1)从起点站出发，公共汽车的行程 x(千米)与票价 y(元)有函数关系
2、吗？(2)函数的表达式是什么？提示：有函数关系提示：y2，0 x5，3，5x10.知识梳理 如果函数 yf(x)，xA，根据自变量 x 在 A 中不同的，有着不同的，则称这样的函数为分段函数思考：分段函数对于自变量 x 的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？提示：分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域取值范围对应关系知识点二 映射预习教材P2223，思考并完成以下问题Ax|x 是三角形，Bx|x 是圆对应关系：每一个三角形都对应它的外接圆(1)从集合 A 到集合 B 能构
3、成函数吗？(2)从集合 A 到集合 B 的对应有什么特点？提示：不能提示：对于集合 A 中的任何一个三角形，在集合 B 中都有唯一的外接圆与之对应 知识梳理 设 A，B 是两个的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的元素 x，在集合 B 中都有的元素 y 与之对应，那么就称对应为从集合 A 到集合 B 的一个映射思考：映射与函数是什么关系？任意一个非空唯一确定f：AB提示：函数是特殊的映射，其是建立在两个非空数集上的对应关系，而映射不一定是函数自我检测1已知映射 f：AB，对任意 xA，则 B 中与 x 对应的元素有()A0 个 B1 个C2 个D无数个解析：根据映射的定义
4、，对于 A 中任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素与之对应，故选 B.答案：B2已知函数 f(x)x1，x0，0，x0，x1，x0，则它的定义域是_解析：x|x00 x|0R，函数 f(x)的定义域是实数集 R.答案：R3已知函数 f(x)x2，x0，0，x0，则 f(2)_.解析：f(2)(2)24.答案：4探究一 分段函数求值例 1(1)设函数 f(x)x21，x2x，x1则 f(f(3)()A.15 B3C.23D.139(2)已知函数 f(x)x1，xx2，x1，若 f(x)3，则 x_.解析(1)由题意 f(3)23，f23 2321139，所以 f(f(3)f23 139.(
5、2)若 x1，由 x13 得 x4.若 x1，由 1x23 得 x24，解得 x2，x2(舍去)综上可得所求 x 的值为4 或 2.答案(1)D(2)4 或 2方法技巧 1.求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现 f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论(2)然后代入到不同的解析式中(3)通过解方程求出字母的值(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内跟踪探究 1.已知函数 f(x)3x2，xx2ax，x1，若 ff(0)4a，则实数 a_.解析：由题意可知，f
6、(0)2，f(2)42a.又 ff(0)f(2)42a4a，所以 a2.答案：2探究二 分段函数的图象及应用阅读教材 P21 例 5画出函数 y|x|的图象题型：分段函数图象例 2 若 f(x)的解析式为 f(x)3x5，x0，x5，0 x1，2x8，x1.(1)求 f32，f1，f(1)的值；(2)画出这个函数的图象；(3)求 f(x)的最大值解析(1)321，f32 23285.011，f1 1551.10，f(1)352.(2)如图所示：在函数 y3x5 的图象上截取 x0 的部分，在函数 yx5 的图象上截取 0 x1 的部分，在函数 y2x8 的图象上截取 x1 的部分图中实线组成的
7、图形就是函数 f(x)的图象(3)由函数图象可知，当 x1 时，f(x)取最大值，最大值为 6.方法技巧 分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏跟踪探究 2.已知 f(x)x2，1x1，1，x1或x1，(1)画出 f(x)的图象；(2)求 f(x)的定义域和值域解析：(1)利用描点法，作出 f(x)的图象，如图所示：(2)由条件
8、知，函数 f(x)的定义域为 R.由图象知，当1x1 时，f(x)x2 的值域为0,1，当 x1 或 x1 时，f(x)1，所以 f(x)的值域为0,1探究三 映射的概念及应用阅读教材 P22 例 7题型：映射的概念例 3 判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射，若是，是不是集合 A 到集合 B 的函数(1)AN*，BN*，对应关系 f：x|x3|；(2)A平面内的圆，B平面内的矩形，对应关系 f：“作圆的内接矩形”；(3)A北京奥运会金牌，B北京奥运会金牌获得者，对应关系 f：每枚金牌对应该项获得者(4)Ax|0 x2，By|0y6，对应关系 f：xy12x.解析(1)由于 A 中
9、元素 3 在对应关系 f 作用下其与 3 的差的绝对值为 0，而 0B，故不是映射(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合 A 中任何一个元素在集合 B 中有无数个元素与之对应，故不是映射(3)对于 A 中的每枚金牌，都对应 B 中的一个获得者，故是映射，A、B 不是数集不是函数关系(4)是映射，因为 A 中每一个元素在 f：xy12x 作用下对应的元素构成的集合 Cy|0y1B，符合映射定义是函数，符合函数定义方法技巧 判断一个对应是否为映射的两个关键点(1)对于 A 中的任意一个元素，在 B 中是否有元素对应；(2)B 中的对应元素是否是唯一的注意：“一对一”或“多对一”的对应都是映射跟踪
10、探究 3.设 Mx|0 x3，Ny|0y3，给出 4 个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的映射关系的有()A0 个B1 个C2 个D3 个解析：、满足映射定义；中当 x(2,3时，找不到图象；中 x(0,1时，与之对应的数不唯一，故、构不成映射关系答案：C课后小结1本节课主要学习了分段函数及映射的有关概念，明确了分段函数的特点及映射与函数的区别2分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集3映射的判断应抓住三个关键词：“任意性”“唯一确定”及“非空集合”素养培优分段函数求值问题已知 f(x)|x1|2，|x|1，11x2，|x|1，若 f(a)15，则 a 的值为_易错分析：错误的根本原因是忽视了每一段解析式所对应的自变量的取值范围，实际在本题中，求出 a 的值后应注意检验自我纠正：因为 f(a)|a1|2，|a|1，11a2，|a|1，所以当|a|1 时，令|a1|215，解得 a165 或 a65.又因为|a|1，所以 a165 和 a65均不符合题意，舍去；当|a|1 时，令11a215，解得 a2，均符合|a|1.综上，符合题意的 a 的值为2.答案：204课时 跟踪训练
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