1、15.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 基础预习初探问题1.下面的命题是全称量词命题还是存在量词命题？你能写出它的否定吗？xR，x22x10.提示：它是全称量词命题命题的否定为：xR，x22x10.问题2.下列各命题是全称量词命题还是存在量词命题？你能写出它们的否定吗？(1)有些实数的绝对值是正数(2)某些平行四边形是菱形(3)xR，x21nB任意nN，f(n)N或f(n)nC存在nN，f(n)N且f(n)nD存在nN，f(n)N或f(n)n(2)写出下列命题的否定并判断真假：所有自然数的平方都是正数；任何实数x都是方程5x120的根；xR，x230；【思维导引】先找到量词与结论，对所给的
2、命题进行否定，再判断真假【解析】(1)选D.写全称量词命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”，可知选D.(2)命题的否定：至少存在一个自然数的平方不是正数真命题命题的否定：xR，5x120.真命题命题的否定：xR，x230.真命题【类题通法】1全称量词命题否定的两个关键(1)看格式：写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定(2)看含义：有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”2全称量词命题与存在量词命题的关系全称量词命题中的全称量词表明
3、给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，而存在量词命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外，两者正好构成了相反意义的表述，所以全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题【定向训练】1命题“所有实数的平方是非负实数”的否定是()A所有实数的平方是负实数B不存在一个实数，它的平方是负实数C存在一个实数，它的平方是负实数D不存在一个实数它的平方是非负实数【解析】选C.本命题是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，要在改变量词的同时否定结论，将“所有”变“存在”，“非负实数”变“负实数”则其否定为“存在一个实数，它的平方是负实数”2写出下列命题的否定，并判断其真
4、假(1)任意nZ，则nQ.(2)所有偶数的平方是正数【解析】(1)存在nZ，使nQ，这是假命题(2)存在偶数，其平方不是正数，这是真命题探究点二 存在量词命题的否定【典例2】(1)已知命题p：存在0 x2，使得cos xx，则 p为()A存在0 x2，使得cos xxB存在0 x2，使得cos xxC任意0 x2，总有cos xxD任意0 x2，总有cos xx(2)写出下列命题的否定并判断其真假：有的四边形没有外接圆；某些梯形的对角线互相平分；【思维导引】先判断是全称量词命题还是存在量词命题，再对命题否定【解析】(1)选C.原命题是一个存在量词命题，其否定是一个全称量词命题，而“cos xx
5、”的否定是“cos xx”(2)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题【类题通法】存在量词命题否定的方法及关注点(1)方法：与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定(2)关注点：注意对不同的存在量词的否定的写法例如，“存在”的否定是“任意”，“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等【知识延拓】对省略量词的命题的否定对于一个含有量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题，可以直接写出其否定而对省略量词的命题在写命
6、题的否定时，应首先根据命题中所叙述的对象的特征，挖掘其隐含的量词，确定是全称量词命题还是存在量词命题，先写成全称量词命题或存在量词命题的形式，再对其进行否定【定向训练】1命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A任意一个有理数，它的平方是有理数B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数D存在一个无理数，它的平方不是有理数【解析】选B.根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可解答“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”2命题p：xR，f(x)2，则 p为()AxR，f(x)2 BxR，f(x)2CxR，f(x)2
7、DxR，f(x)2【解析】选A.根据存在量词命题的否定，易知原命题的否定为：xR，f(x)2.【课堂小结】课堂素养达标1已知命题p“a0，a4a20”，则命题 p为()Aa0，a4a20 Ba0，a4a20Ca0，a4a20 Da0，a4a20【解析】选C.由已知，命题p为全称量词命题，其否定需由存在量词命题来完成，并将其结论否定，即 p：a0，a4a20.2命题“xR，x2x”的否定是()AxR，x2x BxR，x2xCxR，x2x DxR，x2x【解析】选D.原命题的否定为xR，x2x.3“三个数a，b，c不都为0”的否定为()A三个数a，b，c都不是0B三个数a，b，c至多有一个为0C三个数a，b，c至少一个为0D三个数a，b，c都为0【解析】选D.因为“不都为”的否定是“都为”，所以“三个数a，b，c不都为0”的否定为“三个数a，b，c都为0”4命题“xR，使得f(x)x”的否定是()AxR，都有f(x)x B不存在xR，使得f(x)xCxR，都有f(x)xDxR，使得f(x)x【解析】选C.原命题的否定为xR，都有f(x)x.