1、第五章 三 角 函 数 51 任意角和弧度制 51.1 任 意 角 基础预习初探问题1.当钟表慢了(或快了)一点时，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确，在调整的过程中，分针转动的方向是否相同？提示：不同，当钟表慢了，要顺时针转动分针，当钟表快了，要逆时针转动分针问题2.在跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻转两周半”等动作，做上述动作时，运动员转体多少度？转过的度数还能用0到360的角表示吗？提示：因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同，因此运动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转720或逆时针旋转720，“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转900或逆时针旋转900.显然这些角
2、都不在0360，不能用0到360的角表示【概念生成】1角的概念(1)角的形成：角可以看成是_绕着它的_旋转所成的图形(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：正角：按照_而成的角；负角：按照_而成的角；零角：当射线没有做_时，我们也把它看成一个角，叫做零角一条射线 逆时针方向旋转顺时针方向旋转任何旋转端点2角的加减法运算(1)射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作AOB，其中_叫做AOB的始边，_叫做AOB的_(2)引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化为_这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和3终边相同的角 设表示任意角，所有与角终边相同的角，
3、连同在内，可构成一个集合，这个 集合可记为|_，kZ 即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和 OAOB终边()k360核心互动探究探究点一 任意角的概念【典例1】(1)已知集合A第一象限角，B锐角，C小于90的角，则下面关系正确的是()AABC BACCACB DBCC(2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？【思维导引】(1)正确理解第一象限角、锐角、小于90的角的概念(2)明确时钟的分针和时针的旋转方向及运行特点是解题的关键【解析】(1)选D.第一象限角可表示为k360k36090，kZ；锐角可表示为090；小于90的角可表示为90；由三者之间的关系可知D选项正
4、确(2)时针走一周用12小时，即12小时转360，那么时针每小时应转30，而5小时25分钟为5512小时，而分针每小时转360，所以时针转过的角度为 5 51230162.5，分针转过的角度为5 5123601 950.【类题通法】1判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解有关角的概念(2)技巧：通过特值或反例进行判断2处理任意角问题的两个关键点(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角(2)定大小：根据旋转角度的绝对值确定角的大小【定向训练】写出下列说法中所表示的角：(1)顺时针拧螺丝2圈(2)将时钟拨慢2小时30分钟，分
5、针转过的角(3)向右转体3周【解析】(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此表示的角为720.(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角为900.(3)向右转体即按顺时针方向旋转，因此向右转体3周，表示的角为1 080.【跟踪训练】写出图(1)、(2)中的角，的度数【解析】题干图(1)中，36030330；题干图(2)中，36060150150；36060()36060150570.探究点二 终边相同的角【典例2】(1)写出与1 910终边相同的角的集合，并把集合中符合不等式720360的元素写出来(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角
6、的集合【思维导引】(1)先用含k的式子写出与1 910终边相同的角，再解关于k的不等式，最后求出相应的角(2)先写出终边落在OA，OB上的角，然后结合图形将所求范围内的角写出【解析】(1)与1 910终边相同的角的集合为|1 910k360，kZ因为720360，所以7201 910k360360，31136 k61136.故k4，5，6，k4时，1 9104360470.k5时，1 9105360110.k6时，1 9106360250.(2)若角的终边落在OA上，则30360k，kZ.若角的终边落在OB上，则135360k，kZ.所以，角的终边在图中阴影区域内时，30360k135360k
7、，kZ.故角的取值集合为|30360k135360k，kZ【延伸探究】1若本例(2)条件不变，试判断角1 310的终边是否落在阴影区域内？【解析】由1 3104360130，所以角1 310与角130的终边相同，又30130135，所以角1 310的终边落在阴影区域内2若将本例(2)中阴影部分改为如图所示，则角的集合如何表示？【解析】因为阴影部分含x轴非负半轴，故终边为OA的角30k360，kZ，终边为OB的角135k360，kZ，所以终边落在阴影部分的角的集合为|30k360135k360，kZ【类题通法】关于终边相同的角的认识一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k3
8、60，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和【注意】(1)为任意角(2)k360与之间是“”号，k360可理解为k360().(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍(4)kZ这一条件不能少【定向训练】下列各角中，与30终边相同的角为()A210 B390 C390 D30【解析】选B.与30终边相同的角的集合为|30k360，kZ取k1，得390.【跟踪训练】在平面直角坐标系中，画出下列集合所表示的角的终边所在区域(用阴影表示).(1)|k360135k360，kZ；(2)|k180135k180，kZ【解析】探
9、究点三 象限角的判定【典例3】(1)若是第四象限角，则180是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角(2)已知为第二象限角，则2，2 分别是第几象限角？【思维导引】(1)可通过写出的取值范围，逐步求得180的范围来求解(2)可由的范围写出2，2 的范围后，直接求得2的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定2 的位置【解析】(1)选C.因为是第四象限角，则角应满足：k36090k360，kZ，所以k360k36090，则k360180180k36090180，kZ，当k0时，180180270，故180为第三象限角(2)因为是第二象限角，所以90k360180k360，所以18
10、02k36023602k360，kZ，所以2是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角同理45k2 3602 90k2 360.当k为偶数时不妨令k2n，nZ，则45n3602 90n360，此时2 为第一象限角；当k为奇数时，令k2n1，nZ，则225n3602 270n360，此时，2 为第三象限角，所以2 为第一或第三象限角【类题通法】象限角的判定有两种方法：一是根据图象，二是利用终边相同的角将角转化成0360范围内，利用图象实际操作时，依据的还是终边相同的角的思想【知识延拓】1各象限角的表示第一象限角：S|k36090k360，kZ；第二象限角：S|90k360180k360
11、，kZ；第三象限角：S|180k360270k360，kZ；第四象限角：S|270k360360k360，kZ.2轴线角的表示角的终边所在的坐标轴集合表示x轴的非负半轴|k360，kZx轴的非正半轴|180k360，kZy轴的非负半轴|90k360，kZy轴的非正半轴|270k360，kZx轴|k180，kZy轴|90k180，kZ坐标轴|k90，kZ【定向训练】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角(1)420；(2)75；(3)855；(4)510【解析】作出各角的终边如图所示：由图可知(1)420是第一象限角；(2)75是第四象限角；
12、(3)855是第二象限角；(4)510是第三象限角【课堂小结】课堂素养达标1钟表的分针在一个半小时转了()A180 B180 C540 D540【解析】选D.分针旋转的角为负角，其值为(360180)540.2与600角终边相同的角可表示为()Ak360220(kZ)Bk360240(kZ)Ck36060(kZ)Dk360260(kZ)【解析】选B.与600终边相同的角n360600n360360240(n1)360240k360240，nZ，kZ.3与角1 825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是_【解析】因为1 825536025，所以绝对值最小的角的度数是25.答案：254若，两角的终边互为反向延长线，且120，则_.【解析】先求出的一个角，18060.再由终边相同角的概念知k36060，kZ.答案：k36060，kZ